高中数学（人教A版）必修4：2-4-1同步试题（含详解） 5页

高中数学(人教A版)必修4同步试题 ‎1．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|‎2a－b|＝(　　)‎ A．0　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．8‎ 解析　|‎2a－b|2＝‎4a2－‎4a·b＋b2＝8，‎ ‎∴|‎2a－b|＝2.‎ 答案　B ‎2．已知|a|＝6，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b等于(　　)‎ A．6＋ B．6－ C．6 D．7‎ 解析　a·b＝|a||b|cos60°＝6×2×cos60°＝6.‎ 答案　C ‎3．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．150° D．120°‎ 解析　cosθ＝＝＝－，∵θ∈[0°，180°]，‎ ‎∴θ＝120°，故选D.‎ 答案　D ‎4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b＝(　　)‎ A．3 B. C．2 D. 解析　由题意，得|a|cos〈a，b〉＝，‎ ‎∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×＝.‎ 答案　B ‎5．若非零向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则向量a的模为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．12‎ 解析　(a＋2b)·(a－b)＝a2＋‎2a·b－a·b－2b2‎ ‎＝a2＋a·b－2b2＝－32，‎ 又a·b＝|a||b|cos＝|a|×4×＝－2|a|，‎ ‎∴|a|2－2|a|－2×42＝－32.‎ ‎∴|a|＝2，或|a|＝0(舍去)．‎ 答案　A ‎6．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝________.‎ 解析　设b＝(x，y)，则∴x2＝9.‎ ‎∴x＝±3，又a＝(－1,2)与b方向相反．‎ ‎∴b＝(3，－6)．‎ 答案　(3，－6)‎ ‎7．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．若a与b的夹角为60°，则k＝________.‎ 解析　由|ka＋b|＝|a－kb|，‎ 得k‎2a2＋2ka·b＋b2＝‎3a2－6ka·b＋3k2b2，‎ 即(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.‎ ‎∵|a|＝1，|b|＝1，a·b＝1×1cos60°＝，‎ ‎∴k2－2k＋1＝0，∴k＝1.‎ 答案　1‎ ‎7．已知两点A(2,3)，B(－4,5)，则与共线的单位向量是________．‎ 解析　A＝(－6,2)，‎ ‎∴||＝＝2，‎ ‎∴与共线的单位向量为±.‎ 答案　(－，)或(，－)‎ ‎8．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a·(a＋b)＝1，则向量a，b的夹角的大小为________．‎ 解析　∵|a|＝，a·(a＋b)＝1，‎ ‎∴a2＋a·b＝2＋a·b＝1.‎ ‎∴a·b＝－1.‎ 设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，‎ 又θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ 答案　 ‎9．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，求a与b的夹角的取值范围．‎ 解　依题意，Δ＝|a|2－‎4a·b≥0，‎ ‎∴|a|2≥‎4a·b.设a与b的夹角为θ，则 cosθ＝≤＝，‎ 又0≤θ≤π，∴θ∈.‎ 即a与b的夹角的取值范围是.‎ ‎10．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：‎ ‎(1)a与b的夹角；‎ ‎(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．‎ 解　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，‎ ‎∴|a|2－|b|2＝.∵|a|＝1，‎ ‎∴|b|＝ ＝.‎ 设a与b的夹角为θ，则 cosθ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，‎ ‎∴θ＝45°.‎ ‎(2)∵(a－b)2＝a2－‎2a·b＋b2＝，‎ ‎∴|a－b|＝.‎ ‎∵(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2＝，‎ ‎∴|a＋b|＝.‎ 设a－b与a＋b的夹角为α，则 cosα＝＝＝.‎ 教师备课资源 ‎1.设a，b，c是三个向量，以下命题中正确的有(　　)‎ ‎①若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c；‎ ‎②若a·b＝0，则a＝0，或b＝0；‎ ‎③若a，b，c互不共线，则(a·b)c＝a(b·c)；‎ ‎④(‎3a＋2b)(‎3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　①，②，③均错，④正确．‎ 答案　A ‎2．△ABC中，·<0，则△ABC是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 答案　C ‎3．已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在b方向上的投影是________，向量b在a方向上的投影是________．‎ 解析　向量a在b方向上的投影是|a|cos60°＝4×＝2，向量b在a方向上的投影是|b|cos60°＝6×＝3.‎ 答案　2　3‎ ‎4．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________.‎ 解析　由|a－b|＝2，‎ 得|a|2－‎2a·b＋|b|2＝4.‎ 又|a|＝1，|b|＝2，‎ ‎∴‎2a·b＝1.‎ ‎∴|a＋b|2＝|a|2＋‎2a·b＋|b|2＝1＋1＋4＝6.‎ ‎∴|a＋b|＝.‎ 答案　 ‎5．已知a，b为两个单位向量，则下面说法正确的是(　　)‎ A．a＝b B．如果a∥b，那么a＝b C．a·b＝1‎ D．a2＝b2‎ 解析　∵a与b是单位向量，∴|a|＝|b|，∴a2＝b2.‎ 答案　D ‎6．已知两点A(2,3)，B(－4,5)，则与共线的单位向量是________．‎ 解析　＝(－6,2)，‎ ‎∴||＝＝2，‎ ‎∴与共线的单位向量为±.‎ 答案　或 ‎