高中数学选修2-2教案章末检测卷(三) 8页

章末检测卷(三)‎ ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．物体运动的方程为s＝t4－3，则t＝5时的瞬时速度为(　　)‎ A．5 B．25 C．125 D．625‎ 答案　C 解析　v＝s′＝t3，∴t＝5时的瞬时速度为125.‎ ‎2．函数y＝3x－x3的单调递增区间是(　　)‎ A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)‎ C．(－1,1) D．(1，＋∞)‎ 答案　C 解析　f′(x)＝3－3x2>0⇒x∈(－1,1)．‎ ‎3．若f(x0)存在且f′(x0)＝0，下列结论中正确的是(　　)‎ A．f(x0)一定是极值点 B．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值 C．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值 D．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值 答案　B 解析　由题意x0附近的左侧f′(x)>0，即x0附近的左侧函数单调递增，同理x0附近右侧函数单调递减，故f(x0)为极大值．‎ ‎4．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5‎ C．y＝3x＋5 D．y＝2x 答案　A ‎5．函数f(x)＝(00得00 B．－11 D．00的解集为，，∴a>0.‎ ‎7．函数y＝x－2sin x的图像大致是(　　)‎ 答案　C 解析　因为y′＝－2cos x，所以令y′＝－2cos x>0，‎ 得cos x<，此时原函数是增函数；‎ 令y′＝－2cos x<0，得cos x>，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C正确．‎ ‎8．已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．a> B．a≥ C．a<且a≠0 D．a≤且a≠0‎ 答案　C 解析　f′(x)＝3ax2－2x＋1，‎ 函数f(x)在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，‎ 等价于f′(x)＝0有两个不等实根，‎ 即　解得a<且a≠0.‎ ‎9．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)‎ A．[0，) B．[，)‎ C．(，] D．[，π)‎ 答案　D 解析　∵y＝，∴y′＝.‎ 令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1，‎ ‎∴y′＝＝－.‎ 再令＝m，则00的解集是{x|00⇔2x－x2>0⇔00，f(x)单调递增，‎ ‎∴f(－)是极小值，f()是极大值，故②正确．‎ 由题意知，f()为最大值，且无最小值，‎ 故③错误，④正确．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．函数y＝x2cos x的导数为________________．‎ 答案　y′＝2xcos x－x2sin x 解析　f′(x)＝2xcos x－x2sin x.‎ ‎14．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．‎ 答案　(－2,2)‎ 解析　由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0‎ ‎，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．‎ ‎15．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．‎ 答案　2‎ 解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)，‎ ‎∴f(x)在x＝2处取得极小值．‎ ‎16．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为________．‎ 答案　 解析　∵x∈，‎ ‎∴f′(x)＝excos x≥0，‎ ‎∴f(0)≤f(x)≤f，‎ 即≤f(x)≤e.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．(10分)已知函数y＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．‎ 解　曲线方程为y＝x3－3x，点A(0,16)不在曲线上．‎ 设切点为M(x0，y0)，‎ 则点M的坐标满足y0＝x－3x0.‎ 因为f′(x0)＝3(x－1)，‎ 故切线的方程为y－y0＝3(x－1)(x－x0)．‎ 点A(0,16)在切线上，则有 ‎16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)．‎ 化简得x＝－8，解得x0＝－2.‎ 所以，切点为M(－2，－2)，‎ 切线方程为9x－y＋16＝0.‎ ‎18．(12分)设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)讨论函数f(x)的单调性．‎ 解　(1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.‎ 由于f(x)的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，‎ 所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，‎ 即解得a＝1，b＝－3.‎ ‎(2)由a＝1，b＝－3得 f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)‎ ‎＝3(x＋1)(x－3)．‎ 令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；‎ 又令f′(x)<0，解得－10)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．‎ 解　由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.‎ 因为f′(x)－9x＝0，即ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，‎ 所以(*)‎ 由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．‎ 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.‎ 又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．‎ 由得1≤a≤9，‎ 即a的取值范围是[1,9]．‎ ‎20．(12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．‎ ‎(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；‎ ‎(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．‎ 解　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．‎ 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．‎ 又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，‎ 所以h＝(300－4r2)，‎ 从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．‎ 因为r>0，又由h>0可得r<5，‎ 故函数V(r)的定义域为(0,5)．‎ ‎(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，‎ 故V′(r)＝(300－12r2)，‎ 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．‎ 当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；‎ 当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．‎ 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.‎ 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．‎ ‎21．(12分)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．‎ ‎(1)确定a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间与极值．‎ 解　(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，‎ 故f′(x)＝2a(x－5)＋.‎ 令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，‎ 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－16a＝(6－8a)(x－1)，‎ 由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，‎ f′(x)＝x－5＋＝.‎ 令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.‎ 当03时，f′(x)>0，‎ 故f(x)在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数；‎ 当20.‎ ‎(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)若在区间[－，]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)＝x3－ x2＋1，f(2)＝3.‎ f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，‎ 所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.‎ ‎(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．‎ 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.‎ 以下分两种情况讨论：‎ ‎①若00等价于即 解不等式组得－52，则0<<.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－，0)‎ ‎0‎ ‎(0，)‎ ‎(，)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递增↗‎ 极大值 单调递 减↘‎ 极小值 单调递 增↘‎ 当x∈[－，]时，‎ f(x)>0等价于即 解不等式组得