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  • 2021-06-22 发布

华大新高考联盟2020届高三11月教学质量测评数学(理)试题

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‎2019-2020学年湖北省华大新高考联盟高三(上)11月质检数学试卷(理科)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合A={x|x﹣2<0},B={x|x2﹣x﹣2<0},则A∩B=(  )‎ A.(﹣∞,2) B.(﹣∞,1) C.(﹣2,1) D.(﹣1,2)‎ ‎2.复平面内表示复数z=的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.设两个单位向量的夹角为,则=(  )‎ A.1 B. C. D.7‎ ‎4.设有不同的直线a,b和不同的平面α,β,给出下列四个命题:‎ ‎①若a∥α,b∥α,则a∥b;②若a∥α,a∥β,则α∥β;‎ ‎③若a⊥α,b⊥α,则a∥b;④若a⊥α,a⊥β,则α∥β.‎ 其中正确的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎5.如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数越小表示空气质量越好,空气质量指数小于100表示空气质量优良,下列叙述中不正确的是(  )‎ A.这14天中有7天空气质量优良 ‎ B.这14天中空气质量指数的中位数是103 ‎ C.从10月11日到10月14日,空气质量越来越好 ‎ D.连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日 ‎6.已知甲、乙、丙三人中,一位是河南人,一位是湖南人,一位是海南人,丙比海南人年龄大,甲和湖南人不同岁,湖南人比乙年龄小,由此可以推知:甲、乙、丙三人中(  )‎ A.甲不是海南人 B.湖南人比甲年龄小 ‎ C.湖南人比河南人年龄大 D.海南人年龄最小 ‎7.已知数列{an}对于任意正整数m,n,有am+n=am+an,若a20=1,则a2020=(  )‎ A.101 B.1 C.20 D.2020‎ ‎8.函数的图象大致是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎9.已知F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P是C上一点,满足PF2⊥F1F2,Q是线段PF1上一点,且,,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x﹣1)都是偶函数,则(  )‎ A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 ‎ C.f(x+3)是偶函数 D.f(x)=f(x+2)‎ ‎11.将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫,每个贫困村至少分配1名党员干部,则不同的分配方案共有(  )‎ A.2640种 B.4800种 C.1560种 D.7200种 ‎12.已知函数f(x)=sinx•sin2x,下列结论中错误的是(  )‎ A.y=f(x)的图象关于点对称 ‎ B.y=f(x)的图象关于直线x=π对称 ‎ C.f(x)的最大值为 ‎ D.f(x)是周期函数 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上,则该球的体积为   .‎ ‎14.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点,若线段PF1的中点Q在C的渐近线上,则C的两条渐近线方程为   .‎ ‎15.若直线y=kx+b是曲线y=ex﹣2的切线,也是曲线y=ex﹣1的切线,则b=   .‎ ‎16.设等比数列{an}满足a3=2,a10=256,则数列{4n2an}的前n项和为   .‎ 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB=4,bsinA=3.‎ ‎(1)求tanB及边长a的值;‎ ‎(2)若△ABC的面积S=9,求△ABC的周长.‎ ‎18.《九章算术》中,将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=AA1=,∠ABC=60°.‎ ‎(1)证明:三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵;‎ ‎(2)求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值.‎ ‎19.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到F(1,0)的距离减去它到y轴的距离的差都是1.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8,求直线l的方程.‎ ‎20.已知函数f(x)=sin2x﹣|ln(x+1)|,g(x)=sin2x﹣x.‎ ‎(1)求证:g(x)在区间上无零点;‎ ‎(2)求证:f(x)有且仅有两个零点.‎ ‎21.一种掷骰子走跳棋的游戏:棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站,共101站,设棋子跳到第n站的概率为Pn ‎,一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次,若掷出奇数点,则棋子向前跳动一站;若掷出偶数点,则向前跳动两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或100站(失败)时,游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具,它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6).‎ ‎(1)求P0,P1,P2,并根据棋子跳到第n站的情况,试用Pn﹣2和Pn﹣1表示Pn;‎ ‎(2)求证:{Pn﹣Pn﹣1}(n=1,2…,100)是等比数列;‎ ‎(3)求玩该游戏获胜的概率.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.‎ ‎(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)求C上的点,到l距离的最大值.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知a,b为正数,且满足a+b=1.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎2019-2020学年湖北省华大新高考联盟高三(上)11月质检数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合A={x|x﹣2<0},B={x|x2﹣x﹣2<0},则A∩B=(  )‎ A.(﹣∞,2) B.(﹣∞,1) C.(﹣2,1) D.(﹣1,2)‎ ‎【解答】解:A={x|x<2},B={x|﹣1<x<2},‎ ‎∴A∩B=(﹣1,2).‎ 故选:D.‎ ‎2.复平面内表示复数z=的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解答】解:∵z===,‎ ‎∴复平面内表示复数z=的点的坐标为(),位于第三象限.‎ 故选:C.‎ ‎3.设两个单位向量的夹角为,则=(  )‎ A.1 B. C. D.7‎ ‎【解答】解:两个单位向量的夹角为,‎ 则=9+24•+16=9×12+24×1×1×cos+16×12=13,‎ 所以=.‎ 故选:B.‎ ‎4.设有不同的直线a,b和不同的平面α,β,给出下列四个命题:‎ ‎①若a∥α,b∥α,则a∥b;②若a∥α,a∥β,则α∥β;‎ ‎③若a⊥α,b⊥α,则a∥b;④若a⊥α,a⊥β,则α∥β.‎ 其中正确的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解答】解:对于①,若a∥α,b∥α,则直线a和直线b可以相交也可以异面,故①错误;‎ 对于②,若a∥α,a∥β,则平面a和平面β可以相交,故②错误;‎ 对于③,若a⊥α,b⊥α,则根据线面垂直出性质定理,a∥b,故③正确;‎ 对于④,若a⊥α,a⊥β,则α∥β成立;‎ 故选:B.‎ ‎5.如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数越小表示空气质量越好,空气质量指数小于100表示空气质量优良,下列叙述中不正确的是(  )‎ A.这14天中有7天空气质量优良 ‎ B.这14天中空气质量指数的中位数是103 ‎ C.从10月11日到10月14日,空气质量越来越好 ‎ D.连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日 ‎【解答】解:由 图可知,空气质量指数小于100表示空气质量优良,有7天,A正确,‎ 空气质量指数从小到大为:25,37,40,57,79,86,86,121,143,158,160,160,217,220,‎ ‎3月1日至14日空气质量指数的中位数为:,B不成立,‎ C,正确,‎ D,正确,偏差最大,‎ 故选:B.‎ ‎6.已知甲、乙、丙三人中,一位是河南人,一位是湖南人,一位是海南人,丙比海南人年龄大,甲和湖南人不同岁,湖南人比乙年龄小,由此可以推知:甲、乙、丙三人中(  )‎ A.甲不是海南人 B.湖南人比甲年龄小 ‎ C.湖南人比河南人年龄大 D.海南人年龄最小 ‎【解答】‎ 解:由于甲和湖南人不同岁,湖南人比乙年龄小,可知湖南人不是甲乙,故丙是湖南人;‎ 由于丙比海南人年龄大,湖南人比乙年龄小,可知甲是海南人;‎ 故:乙(河南人)的年龄>丙(湖南人)的年龄>甲(海南人)的年龄;‎ 所以ABC错,D对.‎ 故选:D.‎ ‎7.已知数列{an}对于任意正整数m,n,有am+n=am+an,若a20=1,则a2020=(  )‎ A.101 B.1 C.20 D.2020‎ ‎【解答】解:∵amn=am+an对于任意正整数m,n都成立,‎ 当m=1,n=1时,a2=a1+a1=2a1,‎ 当m=2,n=1时,a3=a2+a1=3a1,‎ ‎…‎ ‎∴an=na1,‎ ‎∴a20=20a1=1,‎ ‎∴a1=,‎ ‎∴a2020=2020a1=2020×=101.‎ 故选:A.‎ ‎8.函数的图象大致是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除B,‎ 当x>0,x→0,f(x)>0,且f(x)→0,排除A,‎ 函数的导数f′(x)=x2+cosx,则f′(x)为偶函数,‎ 当x>0时,设h(x)=x2+cosx,则h′(x)=2x﹣sinx>0恒成立,即h(x)≥h ‎(0)=1>0,‎ 即f′(x)>0恒成立,则f(x)在R上为增函数,‎ 故选:D.‎ ‎9.已知F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P是C上一点,满足PF2⊥F1F2,Q是线段PF1上一点,且,,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:如图所示,∵PF2⊥F1F2,∴P(c,).‎ ‎∵,∴=,‎ ‎∴=+=(﹣c,0)+(2c,)=(,),‎ ‎∵,‎ ‎∴(2c,)•(﹣,)=﹣+=0,又b2=a2﹣c2.‎ 化为:e4﹣4e2+1=0,e∈(0,1).‎ 解得e2=2﹣,‎ ‎∴e=.‎ 故选:A.‎ ‎10.函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x﹣1)都是偶函数,则(  )‎ A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 ‎ C.f(x+3)是偶函数 D.f(x)=f(x+2)‎ ‎【解答】解:f(x+1)与f(x﹣1)都是偶函数,根据函数图象的平移可知,f(x ‎)的图象关于x=1,x=﹣1对称,‎ 可得f(x)=f(2﹣x)=f(﹣4+x),即有f(x+4)=f(x),‎ ‎∴函数的周期T=4,‎ ‎∴f(﹣x+3)=f(﹣x﹣1)=f(x+3),则f(x+3)为偶函数,‎ 故选:C.‎ ‎11.将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫,每个贫困村至少分配1名党员干部,则不同的分配方案共有(  )‎ A.2640种 B.4800种 C.1560种 D.7200种 ‎【解答】解:依题意,6人分成每组至少一人的4组,可以分为3,1,1,1或2,2,1,1两种,‎ 分为3,1,1,1四组时,有=480种,‎ 分为2,2,1,1四组时,有=1080种,‎ 故共有480+1080=1560种,‎ 故选:C.‎ ‎12.已知函数f(x)=sinx•sin2x,下列结论中错误的是(  )‎ A.y=f(x)的图象关于点对称 ‎ B.y=f(x)的图象关于直线x=π对称 ‎ C.f(x)的最大值为 ‎ D.f(x)是周期函数 ‎【解答】解:对于A,因为f(π﹣x)+f(x)=sin(π﹣x)sin(2π﹣2x)+sinxsin2x=0,所以A正确;‎ 对于B,f(2π﹣x)=sin(2π﹣x)sin(4π﹣2x)=sinxsin2x=f(x),所以B正确;‎ 对于C,f(x)=sinx•sin2x=2sin2xcosx=2(1﹣cos2x)cosx=2cosx﹣2cos3x,令t=cosx,则t∈[﹣1,1],f(x)=g(t)=2t﹣2t3,令g′(t)=2﹣6t2=0,得,t=,当t=时,g(t)有最大值2(1﹣)=,故C错误;‎ 对于D,f(2π+x)=f(x),故2π为函数f(x)的一个周期,故D正确;‎ 故选:C.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上,则该球的体积为 4π .‎ ‎【解答】解:若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上,‎ 则球的直径等于正方体的对角线长 即2R=2‎ ‎∴R=‎ 则球的体积V==4π.‎ 故答案为:4π.‎ ‎14.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点,若线段PF1的中点Q在C的渐近线上,则C的两条渐近线方程为 y=±2x .‎ ‎【解答】解:双曲线的渐近线方程为y=±x,‎ 点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点,可得PF1⊥PF2,‎ 线段PF1的中点Q在C的渐近线,可得OQ∥PF2,‎ 且PF1⊥OQ,OQ的方程设为bx+ay=0,‎ 可得F1(﹣c,0)到OQ的距离为=b,‎ 即有|PF1|=2b,|PF2|=2|OQ|=2a,‎ 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2b﹣2a=2a,‎ 即b=2a,‎ 所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.‎ 故答案为:y=±2x.‎ ‎15.若直线y=kx+b是曲线y=ex﹣2的切线,也是曲线y=ex﹣1的切线,则b=  .‎ ‎【解答】解:设直线y=kx+b与y=ex﹣2和y=ex﹣1的切点分别为()和(),‎ 则切线分别为,,‎ 化简得:,,‎ 依题意有:,‎ ‎∴x1﹣2=x2,x2=﹣ln2,‎ 则b==.‎ 故答案为:.‎ ‎16.设等比数列{an}满足a3=2,a10=256,则数列{4n2an}的前n项和为 Sn=(n2﹣2n+3)•2n+1﹣6 .‎ ‎【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,a3=2,a10=256,‎ 可得q7==128,解得q=2,‎ 则an=a3qn﹣3=2n﹣2,‎ 可得4n2an=n22n,‎ 设数列{4n2an}的前n项和为Sn,‎ 则Sn=1•2+22•22+32•23+…+n22n,‎ ‎2Sn=1•22+22•23+32•24+…+n22n+1,‎ 相减可得﹣Sn=1•2+3•22+5•23+…+(2n﹣1)•2n﹣n22n+1,‎ ‎﹣2Sn=1•22+3•23+5•24+…+(2n﹣1)•2n+1﹣n22n+2,‎ 相减可得Sn=1•2+2(22+23+…+2n)+n22n+1﹣(2n﹣1)•2n+1‎ ‎=2+2•+(n2﹣2n+1)•2n+1‎ ‎=(n2﹣2n+3)•2n+1﹣6.‎ 故答案为:Sn=(n2﹣2n+3)•2n+1﹣6.‎ 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB=4,bsinA=3.‎ ‎(1)求tanB及边长a的值;‎ ‎(2)若△ABC的面积S=9,求△ABC的周长.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,由acosB=4,bsinA=3,‎ 两式相除,有==•=•=,‎ 所以tanB=,‎ 又acosB=4,‎ 故cosB>0,则cosB=,‎ 所以a=5. …‎ ‎(2)由(1)知sinB=,‎ 由S=acsinB,得到c=6.‎ 由b2=a2+c2﹣2accosB,得b=,‎ 故l=5+6+=11+‎ 即△ABC的周长为11+.…‎ ‎18.《九章算术》中,将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=AA1=,∠ABC=60°.‎ ‎(1)证明:三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵;‎ ‎(2)求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值.‎ ‎【解答】解:(1)证明:∵AB=1,AC=,∠ABC=60°,‎ ‎∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°,即3=1+BC2﹣BC,解得BC=2,‎ ‎∴BC2=AB2+AC2,即AB⊥AC,则△ABC为直角三角形,‎ ‎∴三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵;‎ ‎(2)如图,作AD⊥A1C交A1C于点D,连接BD,由三垂线定理可知,BD⊥A1C,‎ ‎∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角,‎ 在Rt△AA1C中,,‎ 在Rt△BAD中,,‎ ‎∴,即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为.‎ ‎19.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到F(1,0)的距离减去它到y轴的距离的差都是1.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8,求直线l的方程.‎ ‎【解答】解:(1)依题意,设曲线C上的的坐标为(x,y),则x>0,‎ 所以﹣x=1,‎ 化简得:y2=4x,(x>0);‎ ‎(2)根据题意,直线l的方程为y=k(x﹣1),‎ 联立直线l和曲线C的方程得,k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2)‎ 所以,‎ 所以|AB|=8=x1+x2+2,即=6,‎ 解得k=±1,‎ 所以直线l方程为:x+y﹣1=0或者x﹣y﹣1=0.‎ ‎20.已知函数f(x)=sin2x﹣|ln(x+1)|,g(x)=sin2x﹣x.‎ ‎(1)求证:g(x)在区间上无零点;‎ ‎(2)求证:f(x)有且仅有两个零点.‎ ‎【解答】证明:(1)g′(x)=2cos2x﹣1,‎ 当时,,此时函数g(x)单调递增,‎ 当时,,此时函数g(x)单调递减,‎ 又,,‎ ‎∴函数g(x)在区间上无零点;‎ ‎(2)要证函数f(x)有且仅有两个零点,只需证明方程sin2x﹣|ln(x+1)|=0有且仅有两个解,‎ 设m(x)=sin2x,n(x)=|ln(x+1)|,则只需证明函数m(x)与函数n(x)的图象有且仅有两个交点,‎ 在同一坐标系中作出两函数图象如下,‎ 由图象可知,函数m(x)与函数n(x)的图象有且仅有两个交点,故原命题得证.‎ ‎21.一种掷骰子走跳棋的游戏:棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站,共101站,设棋子跳到第n站的概率为Pn,一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次,若掷出奇数点,则棋子向前跳动一站;若掷出偶数点,则向前跳动两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或100站(失败)时,游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具,它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6).‎ ‎(1)求P0,P1,P2,并根据棋子跳到第n站的情况,试用Pn﹣2和Pn﹣1表示Pn;‎ ‎(2)求证:{Pn﹣Pn﹣1}(n=1,2…,100)是等比数列;‎ ‎(3)求玩该游戏获胜的概率.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意,棋子跳到第n站的概率为pn,‎ ‎ 则p0即棋子跳到第0站的概率,则p0=1,‎ ‎ p1即棋子跳到第1站的概率,则,‎ ‎ p2即棋子跳到第2站的概率,有两种情况,即抛出2次奇数或1次偶数,则;‎ 故跳到第n站pn有两种情况,①在第n﹣2站抛出偶数,②在第n﹣1站抛出奇数;‎ 所以;‎ ‎(2)证明:∵,‎ ‎∴,‎ 又∵;‎ ‎∴数列{Pn﹣Pn﹣1}(n=1,2…,100)是以为首项,﹣为公比的等比数列.‎ ‎(3)玩游戏获胜即跳到第99站,‎ 由(2)可得(1≤n≤100),‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎⋮‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.‎ ‎(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)求C上的点,到l距离的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)由(t为参数),‎ 两式平方相加,得x2+y2=1(x≠﹣1);‎ 由ρcosθ+ρsinθ+4=0,得x+y+4=0.‎ 即直线l的直角坐标方程为得x+y+4=0;‎ ‎(2)设C上的点P(cosθ,sinθ)(θ≠π),‎ 则P到直线得x+y+4=0的距离为:‎ d==.‎ ‎∴当sin(θ+φ)=1时,d有最大值为3.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知a,b为正数,且满足a+b=1.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎【解答】证明:已知a,b为正数,且满足a+b=1‎ ‎(1)(1+)(1+)=1+=1+,‎ ‎()(a+b)≥()2=8,‎ 故;‎ ‎(2)∵a+b=1,a>0,b>0,‎ ‎∴根据基本不等式1=a+b≥2∴0<ab≤,‎ ‎(a+)(b+)==≥ab+,‎ 令t=ab∈(0,],y=t+递减,‎ 所以,‎ 故(a+)(b+)≥2+=.‎