数学文卷·2017届河南省郑州市一中高三上学期第一次质量检测（2017 10页

‎2017年高中毕业年级第一次质量预测 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.已知命题：，命题：，，则成立是成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.在中，，，则（ ）‎ A．3 B． C． D． ‎ ‎5.我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为，则由此可估计的近似值为（ ）‎ A．3.119 B．3.124 C．3.132 D．3.151 ‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）‎ A．207 B． C． D． ‎ ‎7.函数如何平移可以得到函数图象（ ）‎ A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 ‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ ‎9.如图直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知双曲线的焦点到渐进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．2 C． D． ‎ ‎11.已知，，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．8 ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则 ．‎ ‎14.已知实数，满足不等式组则的最小值为 ．‎ ‎15.如果满足，，的锐角有且只有一个，那么实数的取值范围是 ．‎ ‎16.对于函数与，若存在，，使得，则称函数与互为“零点密切函数”，现已知函数与互为“零点密切函数”，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面梯形中，，平面平面，是等边三角形，已知，，是上任意一点，，且．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）试确定的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的3倍．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中指数的监测数据，统计结果如下：‎ 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为（单位：元），指数为．当在区间内时对企业没有造成经济损失；当在区间内时对企业造成经济损失成直线模型（当指数为150时造成的经济损失为500元，当指数为200时，造成的经济损失为700元）；当指数大于300时造成的经济损失为2000元．‎ ‎（1）试写出的表达式；‎ ‎（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于500元且不超过900元的概率；‎ ‎（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？‎ 附：‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎1.32‎ ‎2.07‎ ‎2.70‎ ‎3.74‎ ‎5.02‎ ‎6.63‎ ‎7.87‎ ‎10.828‎ ‎，其中．‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎100‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知坐标平面上动点与两个定点，，且．‎ ‎（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为8，求直线的方程．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为1的圆．‎ ‎（1）求曲线，的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的取值范围．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，，函数的最小值为4．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最小值．‎ ‎2017年高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）当时，；‎ 当时，. ‎ 也满足，故数列的通项公式为. ‎ ‎（2）由（1）知，故.‎ 记数列的前项和为，则.‎ 记，，‎ 则， ‎ ‎. ‎ 故数列的前项和. ‎ ‎18.（1）证明：在中，由于，‎ ‎∴,故． ‎ 又平面平面，平面平面，‎ ‎，∴， ‎ 又，‎ 故平面平面． ‎ ‎（2），‎ ‎∴，解得．‎ ‎19. 解：（1）根据在区间对企业没有造成经济损失;在区间对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为时造成的经济损失为元,当PM2.5指数为时,造成的经济损失为元）;当PM2.5指数大于时造成的经济损失为元,可得：‎ ‎ ‎ ‎（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于元且不超过元”为事件，‎ 由得频数为39， ‎ ‎（3）根据以上数据得到如下列联表：‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 的观测值 ‎ 所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关． ‎ ‎20. 解：(Ⅰ)由题意，得．即：， ‎ 化简，得：，‎ 所以点的轨迹方程是. ‎ 轨迹是以为圆心，以为半径的圆． ‎ ‎（II）当直线的斜率不存在时，，‎ 此时所截得的线段的长为，‎ 所以符合题意． ‎ 当直线的斜率存在时，设的方程为，‎ 即圆心到的距离， ‎ 由题意，得，解得． ‎ 所以直线的方程为，‎ 即． 综上，直线的方程为或. ‎ ‎21. 解：（Ⅰ）令,则 ‎ 当所以 ‎ 即在递增；在递减； ‎ 所以，‎ ‎（Ⅱ）记则在上，，‎ ‎ ‎ ‎①若，，时，，单调递增，，‎ 这与上矛盾；‎ ‎②若，，上递增，而，这与上矛盾； ‎ ‎③若，，时，单调递减；时，单递增；‎ ‎∴，即恒成立；‎ ‎④若，，时，，单调递增；时，，单调递减，∴，这与上矛盾；‎ ‎⑤若，，时，，单调递增；时，，单调递减，∴这与上矛盾．‎ 综上，实数的取值范围是．‎ ‎22.解：（1）消去参数可得的直角坐标方程为.‎ 曲线的圆心的直角坐标为，‎ ‎∴的直角坐标方程为． ‎ ‎（2）设 则 ‎.‎ ‎，∴，.‎ 根据题意可得，‎ 即的取值范围是．　‎ ‎23. 解：（1）因为，，‎ 所以，当且仅当时，等号成立，又，‎ 所以，所以的最小值为,所以． ‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎,‎ 当且仅当时，的最小值为．‎