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- 2021-06-22 发布
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单元质检卷九 解析几何
(时间:100分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2017河南焦作二模,理8)已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF=( )
A.45° B.30° C.15° D.60°
3.(2017江西新余一中模拟七,理11)设F是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,双曲线两渐近线分别为l1,l2,过点F作直线l1的垂线,分别交l1,l2于A,B两点,若A,B两点均在x轴上方且|OA|=3,|OB|=5,则双曲线的离心率e为( )
A.52 B.2 C.5 D.6
4.(2017辽宁鞍山一模,理10)已知点P在抛物线x2=4y上,则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )
A.(2,1) B.(-2,1)
C.-1,14 D.1,14
5.(2017云南昆明一中仿真,理5)若双曲线M:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线M相交于点P,且|PF1|=16,|PF2|=12,则双曲线M的离心率为( )
A.54 B.43
C.53 D.5〚导学号21500644〛
6.(2017河北保定二模,理9)当双曲线x2m2+8-y26-2m=1的焦距取得最小值时,其渐近线的方程为( )
A.y=±x B.y=±23x
C.y=±13x D.y=±12x
7.(2017广西南宁一模,理11)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),M,N在双曲线C上,O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为2cb,则双曲线C的离心率为( )
A.2 B.2 C.22 D.23
8.(2017福建厦门二模,理6)已知A,B为抛物线E:y2=2px(p>0)上异于顶点O的两点,△AOB是等边三角形,其面积为483,则p的值为( )
A.2 B.23 C.4 D.43
9.(2017河南洛阳三模,理11)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A.2+12 B.2+1
C.5-12 D.5-1
10.(2017山东临沂一模,理8)抛物线x2=-6by的准线与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右支分别交于B,C两点,A为双曲线的右顶点,O为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则双曲线的离心率为( )
A.233 B.3 C.433 D.23
11.(2017辽宁沈阳三模,理9)已知直线3x-y-3=0与抛物线y2=4x交于A,B两点(A在x轴上方),与x轴交于点F,OF=λOA+μOB,则λ-μ=( )
A.12 B.-12 C.13 D.-13〚导学号21500645〛
12.(2017全国Ⅲ,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为( )
A.3 B.22 C.5 D.2〚导学号21500646〛
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2017河北邯郸一模,理16)已知点A(a,0),点P是双曲线C:x24-y2=1右支上任意一点,若|PA|的最小值为3,则a= .
14.已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|= .
15.(2017北京东城区二模,理13)在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则|OA|= .
16.
(2017北京,理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.
(1)记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是 ;
(2)记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是 .〚导学号21500647〛
三、解答题(本大题共5小题,共70分)
17.(14分)(2017安徽蚌埠一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为154,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+215.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设圆T:(x-2)2+y2=49,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.
18.(14分)(2017河北保定二模,理20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,A(a,0),b(0,b),D(-a,0),△ABD的面积为23.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,设P(x0,y0)是椭圆C在第二象限的部分上的一点,且直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求四边形ABNM的面积.
〚导学号21500648〛
19.(14分)(2017河北邯郸一模,理20)已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,直线l:y=kx+p2交抛物线E于A,B两点.
(1)当k=1,|AB|=8时,求抛物线E的方程;
(2)过点A,B作抛物线E的切线l1,l2,且l1,l2交点为P,若直线PF与直线l斜率之和为-32,求直线l的斜率.
20.(14分)(2017湖南岳阳一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,|F1F2|=22,点A,B在椭圆上,F1在线段AB上,且△ABF2的周长等于43.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M,N,求△PMN面积的最大值.
21.(14分)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,且离心率e=12,点P为椭圆上的一个动点,△PF1F2的内切圆面积的最大值为4π3.
(1)求椭圆的方程;
(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,满足向量F1A与F1C共线,F1B与F1D共线,且AC·BD=0,求|AC|+|BD|的取值范围.
〚导学号21500649〛
参考答案
单元质检卷九 解析几何
1.C 当a=3时,两直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0,此时两条直线平行成立;
反之,当两条直线平行时,有-a2=31-a且-32a≠a-7a-1,∴a=3.
∴a=3是两条直线平行的充要条件.故选C.
2.A 由题意,|MF|=p,
则设点Mp2,p.
∵K-p2,0,∴kKM=1.
∴∠MKF=45°,故选A.
3.C 在Rt△AOB中,|OA|=3,|OB|=5,
可得|AB|=52-32=4,
可得tan∠AOB=|AB||OA|=43,
由直线l1:y=bax,直线l2:y=-bax,
tan∠AOB=-ba-ba1+-ba·ba=43,
化简可得b=2a,
即有e=ca=a2+b2a=5.
4.D 如图,由几何性质可得,从Q(1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将x=1代入x2=4y,可得y=14,点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为1,14,故选D.
5.D 双曲线M的左、右焦点分别是F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线M相交于点P,且|PF1|=16,|PF2|=12,可得2a=16-12=4,解得a=2,2c=162+122=20,可得c=10.
所以双曲线的离心率为e=ca=5.故选D.
6.B 由题意,6-2m>0,即m<3,焦距2c=2(m2+8)+(6-2m)=2m2-2m+14,当m=1时,双曲线的焦距最小,此时双曲线的方程为x29-y24=1,其渐近线的方程为y=±23x,故选B.
7.D 双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上.
设M(x0,y0),y0>0,由四边形OFMN为平行四边形,得点M,N关于y轴对称,且|MN|=|OF|=c,
∴x0=-c2,四边形OFMN的面积为2cb.
∴|y0|c=2cb,即|y0|=2b.
∴M-c2,2b.
代入双曲线可得,x2a2-y2b2=1,
整理得,c24a2-2=1.
由e=ca,∴e2=12.
由e>1,解得e=23,故选D.
8.A 设B(x1,y1),A(x2,y2).
∵|OA|=|OB|,
∴x12+y12=x22+y22.
又y12=2px1,y22=2px2,
∴x22-x12+2p(x2-x1)=0,
即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.
∵x1,x2与p同号,
∴x1+x2+2p≠0.
∴x2-x1=0,即x1=x2.
由抛物线对称性,知点B,A关于x轴对称,不妨设直线OB的方程为y=33x,联立y2=2px,解得B(6p,23p),
∴|OB|=(6p)2+(23p)2=43p.
∴34·(43p)2=483,∴p=2.
故选A.
9.B 过点P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|.
∵|PA|=m|PB|,
∴|PA|=m|PN|.
∴1m=|PN||PA|.
设直线PA的倾斜角为α,则sin α=1m.
当m取得最大值时,sin α最小,此时直线PA与抛物线相切.
设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0,
∴Δ=16k2-16=0,
∴k=±1,∴P(2,1).
∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(2-1),
∴双曲线的离心率为1(2-1)=2+1.
故选B.
10.C 抛物线的准线为y=32b,
∴B-132a,32b,
C132a,32b.
易得∠AOC=∠BOC=60°,
∴kOC=313b13a=tan 60°=3.
∴b2a2=133,
∴e=1+b2a2=1+133=433,故选C.
11.B 直线3x-y-3=0过抛物线的焦点F(1,0),把直线方程代入抛物线的方程y2=4x,
解得x=3,y=23或x=13,y=-233,
则A(3,23),
B13,-233.
∵OF=λOA+μOB,
∴(1,0)
=(3λ,23λ)+13μ,-233μ
=3λ+13μ,23λ-233μ.
∴3λ+13μ=1,23λ-233μ=0.
∴λ=14,μ=34,则λ-μ=-12.
故选B.
12.解 建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,1),B(0,0),D(2,1).
设P(x,y),
由|BC|·|CD|=|BD|·r,
得r=|BC|·|CD||BD|=2×15=255,
即圆的方程是(x-2)2+y2=45.
易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).
由AP=λAB+μAD,
得x=2μ,y-1=-λ,
所以μ=x2,λ=1-y,
所以λ+μ=12x-y+1.
设z=12x-y+1,
即12x-y+1-z=0.
因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,
所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r,
即|2-z|14+1≤255,解得1≤z≤3,
所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.
13.-1或25 设P(x,y)(x≥2),
则|PA|2=(x-a)2+y2
=54x-45a2+15a2-1,
当a>0时,x=45a,|PA|的最小值为15a2-1=3,∴a=25.
当a<0时,2-a=3,∴a=-1.
故答案为-1或25.
14.4 因为|AB|=23,且圆的半径R=23,
所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-3=0的距离为R2-|AB|22=3.
由|3m-3|m2+1=3,解得m=-33.
将其代入直线l的方程,
得y=33x+23,
即直线l的倾斜角为30°.
由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|=|AB|cos30°=4.
15.21 抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
设点A(x0,y0),若直线l的倾斜角为60°,
即斜率k=tan 60°=3,∴直线l的方程为y=3(x-1),即x=33y+1,
由y2=4x,x=33y+1,
解得x=3,y=23,或x=13,y=-233.
∵点A在x轴上方,则A(3,23).
∴|OA|=32+(23)2=21.
故答案为21.
16.(1)Q1 (2)p2 (1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然Ci的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.
(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每时加工的零件数为p=y1+y2x1+x2=y1+y22x1+x22=kOC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得kOC2>kOC1>kOC3,故p1,p2,p3中最大的是p2.
17.解 (1)由题意,e=ca=154=a2-b2a,可知a=4b,c=15b.
∵△PF1F2的周长是8+215,
∴2a+2c=8+215,
∴a=4,b=1.
∴所求椭圆方程为x216+y2=1.
(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,
则设其方程为l:y=kx+1,
由直线y=kx+1与圆T相切可知|2k+1|1+k2=23,
即32k2+36k+5=0,
∴k1+k2=-98,k1k2=532.
由y=k1x+1,x216+y2=1得(1+16k12)x2+32k1x=0,
∴xE=-32k11+16k12.
同理xF=-32k21+16k22,
kEF=yE-yFxE-xF=k1xE-k2xFxE-xF
=k1+k21-16k1k2=34.
故直线EF的斜率为34.
18.解 (1)由题意得ca=12,12(2a)b=23,a2=b2+c2,
解得a=2,b=3.
∴椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)由(1)知,A(2,0),B(0,3),
由题意可得S四边形ABNM=12|AN|·|BM|.
∵P(x0,y0),-2