数学文卷·2018届四川省成都龙泉中学高三上学期12月月考（2017 9页

成都龙泉中学2015级高三上学期12月月考试题 数 学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，则 （ C ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（ C ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 若向量，，则与的夹角等于（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在区间[﹣1，3]内任取一个实数x满足log2（x﹣1）＞0的概率是（　A　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(　C　)‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎6.锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足 ‎，若，则的取值范围是（ A ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下几个命题，其中正确的个数是（ B ）‎ ‎①若，，，则；②若，，，则 ‎③若，，，则；④若，，，则 ‎⑤若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8.已知如图所示的程序框图的输入值，则输出值的取值范围是（ A ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为（ D ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎10.给出下列四个命题：‎ ‎①回归直线恒过样本中心点 ；‎ ‎②“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎③“，使得”的否定是“对，均有”；‎ ‎④“命题”为真命题，则“命题”也是真命题．‎ 其中真命题的个数是（ B ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3 ‎ ‎11.定义一种运算，若，当有5个不同的零点时，则实数的取值范围是（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（ D ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8 ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数则 ．13.3‎ ‎14.圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），则圆C的方程为 ．14.（x﹣2）2+（y+3）2=5 ‎ ‎15．若抛物线的焦点在直线上，则的准线方程为____.‎ ‎15.‎ ‎16.已知两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如下图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上. 以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立. 则短轴长为，长轴为的椭球体的体积为 ． 16. ‎ ‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 等差数列中，公差，，‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记为数列前项的和，其中，，若，求的最小值．‎ ‎17.【解析】（Ⅰ）∵，联立 解得（舍去）或 ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎∴，，，∴的最小值为．‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，‎ ‎，，，为的中点，点在线段上．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）当三棱锥的体积等于四棱锥体积的时，求的值．‎ ‎18.【解析】（Ⅰ）证明：在平行四边形中，连接，因为，，，由余弦定理，得，‎ 所以，即，又，‎ 所以，又，，所以，，‎ 所以平面，所以 ‎（Ⅱ）因为为的中点，∴，‎ ‎∵侧面底面，侧面底面，，‎ ‎∴平面．‎ 设到平面的距离为，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，所以．‎ ‎19. 随着医院对看病挂号的改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在10～60岁间的位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图，如下图所示．‎ ‎（Ⅰ）若被调查的人员年龄在20～30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；‎ ‎（Ⅱ）若按分层抽样的方法从年龄在以内及以内的市民中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调研，求抽取的2人中，至多1人年龄在内的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）250；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）结合直方图求出求出满足条件的人数即可； （Ⅱ）先求出年龄在[20，30）、[40，50）内的人数，根据古典概率公式计算即可．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）依题意，所求人数为.‎ ‎（Ⅱ）依题意，年龄在内的有3人，记为，年龄在内的有2人，记为1,2；‎ 随机抽取2人，所有可能的情况为，，,,,，,,,,共10种.‎ 其中年龄都在内的情况为，，，‎ 故所求概率.‎ ‎20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎20．解：(1)由题意有＝，＋＝1，‎ 解得a2＝8，b2＝4.‎ 所以C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．‎ 将y＝kx＋b代入＋＝1得 ‎(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.‎ 故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.‎ 于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.‎ 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎21.已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝mx－(m为实数).‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程；‎ ‎(2)求函数g(x)的单调递减区间；‎ ‎(3)若m＝1，证明：当x＞0时，f(x)＜g(x)＋.‎ ‎21(1)解　由题意得所求切线的斜率k＝f′＝cos＝.切点P，则切线方程为y－＝.即x－y＋1－＝0.‎ ‎(2)解　g′(x)＝m－x2.‎ ‎①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；‎ ‎②当m＞0时，令g′ (x)＜0，解得x＜－或x＞，则g(x)的单调递减区间是(－∞，－)，(，＋∞).‎ ‎(3)证明　当m＝1时，g(x)＝x－.‎ 令h(x)＝g(x)＋－f(x)＝x－sin x，x∈[0，＋∞)，‎ h′(x)＝1－cos x≥0，则h(x)是[0，＋∞)上的增函数.‎ 故当x＞0时，h(x)＞h(0)＝0，‎ 即sin x＜x，f(x)＜g(x)＋.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线交曲线于两点，求.‎ ‎22.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎ ‎ 试题解析：（Ⅰ）∵曲线的参数方程为（为参数）‎ ‎∴曲线的普通方程为 曲线表示以为圆心，为半径的圆.‎ 将代入并化简得：‎ 即曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴，‎ 可得直线的直角坐标方程为；‎ ‎∴圆心到直线的距离为 ‎∴弦长为.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数（）．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若为的最小值，且（，），求的最小值 ‎23.证明：（Ⅰ），‎ 当且仅当时取“”号．‎ ‎（Ⅱ）由题意知，，即，即，‎ 则，‎ 当且仅当，时取“”号．‎