数学文卷·2017届江西省九江市十校高三第一次联考（2016 15页

绝密 ★ 启封并使用完毕前 ‎ 九江市2017届高三年级“十校”第一次联考试卷 文科数学 注意事项： 命题：九江县一中 审题：瑞昌一中 ‎ 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，则= （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.“”是“”的 （ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3. （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若函数 ，则 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知，，则在方向上的投影为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知等比数列的首项为，公比为，满足且，则 （ ）‎ A.的各项均为正数 B.的各项均为负数 ‎ C.为递增数列 D.为递减数列 ‎7.已知各项不为的等差数列满足,数列是等比数列,且，则等于 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知，那么下列不等式成立的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则函数 的一个单调递增区间是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.设，则这四个数的大小关系是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.函数在的图像大致为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数存在唯一的零点，且，则实数 的取值范围是 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上.‎ ‎13.若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 .‎ ‎14.函数的定义域为 .‎ ‎15.已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为，则 . ‎ ‎16.已知为的内角所对的边，且，，为的中点，则的最大值为 .‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知．‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若，求的最小值．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且是等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，设，求数列的前项和为．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知中，为角所对的边，，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫 “团队之星”。每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶，皮革；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶，皮革。且一个“飞火流星”足球的利润为元，一个“团队之星”足球的利润为元。现旗下某作坊有橡胶材料，皮革．‎ ‎（1）求该作坊可获得的最大利润；‎ ‎（2）若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得30元的利润。若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知，．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数在内至少有1个零点，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知，且 ‎（1）证明；‎ ‎（2）若，求的最小值．‎ ‎ ‎ 九江市2017届高三年级“十校”第一次联考试卷答案 文科数学 ‎ 命题：九江县一中 王锋 审题：瑞昌一中 周珍 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】依题意，，则，故选D.‎ ‎2.“”是“”的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由，得，即，“”是“”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎3. ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】‎ ‎，故选C.‎ ‎4.若函数 ，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】，故选C.‎ ‎5.已知，，则在方向上的投影为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由知即，又，所以 ‎，得，即在方向上的投影为，故选D.‎ ‎6.已知等比数列的首项为，公比为，满足且，则 ‎ A.的各项均为正数 B.的各项均为负数 ‎ C.为递增数列 D.为递减数列 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由等比数列的通项公式，知 ‎，由且知，，即，所以数列为递减数列，故选D.‎ ‎7.已知各项不为的等差数列满足,数列是等比数列,且，则等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】等差数列中，，则，且，所以，又，故等比数列中，，故选D.‎ ‎8.已知，那么下列不等式成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】由知，，又由知，所以，故选C.‎ ‎9.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则函数 的一个单调递增区间是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】，由，得知在上是增函数，故选C.‎ ‎10.设，则这四个数的大小关系是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】，由知，，，又由，知，所以故选A.‎ ‎11.函数在的图像大致为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】由函数知，排除。当时，，，知当时，函数取得极小值，故选A.‎ ‎12.已知函数存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】当得，函数有两个零点，不合题意；‎ 当时，，由，得，‎ ①若，则，由得或；由得，故函数在上单调递减，在上单调递增，又，故函数存在零点，如图12-1，此情况不合题意；②若，则，由得 ‎；由得或，故函数在上单调递减，在上单调递增，如图12-2，要使函数存在唯一的零点，且，则必须满足，由得。故选D.‎ 图12-2‎ 图12-1‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上.‎ ‎13.若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】若向量与的夹角为钝角，则，且与不共线，即，且，故的取值范围是.‎ ‎14.函数的定义域为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由得，即，所以，解得，故函数的定义域为.‎ ‎15.已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为，则 . ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】直线与两坐标轴的交点分别为，，则该直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，故 ‎ .‎ 图16‎ ‎16.已知为的内角所对的边，且，，为的中点，则的最大值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 根据余弦定理知，又，得，故，‎ ‎ 由得，；‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知．‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若，求的最小值．‎ ‎【解析】（1）由知，解得，．………… 5分 ‎（2）设，则，又，由知，，即，………… 8分 ‎，‎ 即的最小值为．………… 12分 （亦可用点到直线的距离公式求的最小值．）‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且是等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，设，求数列的前项和为.‎ ‎【解析】（1）由是等差数列知…①，‎ 当时，，则；………… 2分 当时，…②，①-②得，即；………… 4分 故数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以． ………… 6分 ‎（2），，………… 8分 ‎…③‎ ‎…④‎ ③-④得 ‎. ………… 12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知中，为角所对的边，，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【解析】（1）由，知，又，‎ ‎，即，………… 4分 又，，故. ………… 5分 ‎（2）由知，为锐角，且，，‎ 则，………… 8分 ‎，，………… 10分 所以的面积． ………… 12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫 “团队之星”。每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶，皮革；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶，皮革。且一个“飞火流星”足球的利润为元，一个“团队之星”足球的利润为元。现旗下某作坊有橡胶材料，皮革.‎ ‎（1）求该作坊可获得的最大利润；‎ 图20‎ ‎（2）若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴；方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得30元的利润。若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由.‎ ‎【解析】（1）设该作坊生产“飞火流星”足球个，‎ ‎“团队之星”足球个，作坊获得的利润为元.‎ ‎ 则即，‎ 目标函数. ………… 3分 由图可知，当直线经过点时，取得最大 值1180，即该作坊可获得的最大利润为1180元。‎ ‎………… 6分 ‎（2）若作坊选择方案一，则其收益为元；………… 8分 若作坊选择方案二，则作坊生产的足球越多越好，设其生产的足球个数为，‎ 则，由（1）知，作图分析可知，当时，取得最大值，此时作坊的收益为元，故选择方案一更划算. ………… 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知，．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数在内至少有1个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）依题意知函数的定义域为，‎ 且，………… 2分 当时，，函数在上单调递增；………… 3分 当时，由得，由得，函数在上单调递增，在上单调递减；………… 4分 当时，由得，由得，函数在上单调递增，在上单调递减. ………… 5分 ‎（2）当时，函数在内有1个零点；………… 6分 当时，由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减；‎ ①若，即时，在上单调递增，由于当时，，且，知函数在内无零点；………… 7分 ②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，要使函数在内至少有1个零点，只需满足，即；………… 9分 当时，由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎ ③若，即时，在上单调递增，由于当时，，且，知函数在内有1个零点；………… 10分 ④若，即时，函数在上单调递增，在上单调递减；由于当时，，且当时，，知函数在内无零点；………… 11分 综上可得：的取值范围是. ………… 12分 请考生在第22、23题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）当时, 原不等式等价于，利用数轴及绝对值的几何意义知，即不等式的解集为；………… 5分 ‎（2），，即或，解得，‎ 所以的取值范围是. ………… 10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知，且 ‎（1）证明；‎ ‎（2）若，求的最小值．‎ ‎【解析】（1）证明：由得，，即，………… 2分 ‎，当且仅当时取等号. ………… 5分 ‎（2），………… 6分 ‎，………… 8分 或，则 ‎，即的最小值为. ………… 10分