专题27+基本不等式-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过 18页

考点27 基本不等式 基本不等式： ‎（1）了解基本不等式的证明过程.‎ ‎（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.‎ 一、基本不等式 ‎1．基本不等式： ‎（1）基本不等式成立的条件：.‎ ‎（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．‎ ‎2．算术平均数与几何平均数 设，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．‎ ‎3．利用基本不等式求最值问题 ‎（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)‎ ‎（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)‎ ‎4．常用结论 ‎（1） ‎（2） ‎（3） ‎（4） ‎（5） ‎（6） ‎（7） 二、基本不等式在实际中的应用 ‎1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．‎ 题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；‎ ‎2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 等．‎ 解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．‎ 考向一利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的常用技巧：‎ ‎（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．‎ ‎（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.‎ ‎①拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．‎ ‎②并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．‎ ‎③配——配式配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.‎ ‎（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.‎ 典例1若正数a，b满足，则的最小值为 A．1 B．6 ‎ C．9 D．16‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】解法一：因为，所以a＋b=ab⇒(a−1)·(b−1)=1，‎ 所以=2×3=6(当且仅当，b=4时取“=”).‎ 解法二：因为，所以a＋b=ab，‎ 所以 (当且仅当，b=4时取“=”)．‎ 解法三：因为，所以，所以(当且仅当b=4时取“=”)．‎ ‎【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎1．已知为正实数，则的最大值为 A． B． C． D． 考向二基本不等式的实际应用 有关函数最值的实际问题的解题技巧：‎ ‎（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．‎ ‎（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．‎ ‎（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．‎ ‎（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.‎ 典例2 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．‎ ‎【答案】5　8 ‎ ‎【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型上靠拢.‎ ‎2．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房，经初步估计得知，如果将楼房建为xx≥12‎层，则每平方米的平均建筑费用为 ‎（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用建筑总面积）‎ 考向三基本不等式的综合应用 基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：‎ ‎（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．‎ ‎（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．‎ ‎（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.‎ 典例3下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． ‎【答案】C ‎【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.‎ ‎3．已知实数，且，若不等式，对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 典例4 已知正项等比数列‎{an}‎满足：a‎7‎‎=a‎6‎+2‎a‎5‎，若存在两项am‎,‎an，使得，则的最小值为 A． B．9 ‎ C． D．不存在 ‎【答案】C ‎，当且仅当m=2,n=4‎时等号成立.‎ 综上，的最小值为.本题选择C选项.‎ ‎【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． ‎ ‎4．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，则的最小值为________.‎ ‎1．“a>b>0”是“ab<”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．函数取得最小值时，的值为 A． B． C．1 D．2‎ ‎3．已知，则的最小值是 A．2 B． C．4 D．5‎ ‎4．若正实数a，b满足，则 A．有最大值4 B．有最大值‎2‎ C．ab有最小值 D．有最小值 ‎5．在平面直角坐标系中，已知第一象限的点在直线上，则的最小值为 A．24 B．25 ‎ C．26 D．27‎ ‎6．在区间上随机地取一个数，使恒成立的概率是 A． B． C． D． ‎7．已知，如果不等式恒成立，那么的最大值等于 A．10 B．7 ‎ C．8 D．9‎ ‎8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A．60件 B．80件 ‎ C．100件 D．120件 ‎9．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时， 的最大值为 A．0 B．1‎ C． D．3‎ ‎10．已知，，且，，成等比数列，则有 A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 ‎11．当x>0时，的最大值为.‎ ‎12．已知x>0，y>0，且，则的最小值为.‎ ‎13．若实数a ，b满足，则ab的最小值为.‎ ‎14．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，当内角C最大时，的面积等于.‎ ‎15．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：‎ ‎（1）仓库底面积S的取值范围是多少？‎ ‎（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？‎ ‎1．（2017年高考山东卷）若，且，则下列不等式成立的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．（2015年高考陕西卷）设，若，，，则下列关系式中正确的是 A． B． C． D． ‎3．(2017年高考天津卷)若，，则的最小值为___________．‎ ‎4．（2017年高考江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是___________．‎ 变式拓展 ‎1．【答案】C ‎【方法点睛】分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值. ‎ ‎2．【答案】当x=20‎时，最小值为5000元.‎ ‎【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为，‎ 则 ，当且仅当x=20‎时，等号取到.‎ 所以，当x=20‎时，最小值为5000元.‎ ‎3．【答案】D ‎4．【答案】4‎ ‎【解析】由题意知A(1,1)，∴，‎ ‎∵m>0，n>0，∴，当且仅当，即时取等号.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】A ‎ ‎【解析】a>b>0⇒a2+b2>2ab，充分性成立，ab<⇒a≠b，a，bR，必要性不成立，故选A.‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】，当且仅当时取等号,此时，故选B.‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，即时等号成立．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】∵正实数a，b满足，∴,当且仅当时取等号.故‎1‎a‎+‎‎1‎b有最小值4，故A不正确；‎ 由于,∴a‎+‎b⩽‎2‎,故a‎+‎b有最大值‎2‎，故B正确；‎ 由基本不等式可得a+b=1⩾2ab,∴,故ab有最大值，故C不正确；‎ ‎∵,故a‎2‎‎+‎b‎2‎有最小值，故D不正确.‎ 故选B.‎ ‎5．【答案】B ‎6．【答案】A ‎【解析】由恒成立，得，‎ 设，则，当且仅当，即时，等号成立，所以问题转化为，即，所以在区间上随机地取一个数时，使恒成立的概率是，故选择A.‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】不等式恒成立，即不等式恒成立，而当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值等于，选D．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，每件产品的总费用为，当且仅当，即时取等号.故选B.‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】由题意得，，当且仅当时等号成立，此时，，当且仅当时等号成立，故所求的最大值为1.‎ ‎【名师点睛】解题的关键是通过条件转化成能利用基本不等式的形式进行求解.‎ ‎10．【答案】A ‎11．【答案】1‎ ‎【解析】∵x>0，∴，当且仅当，即x=1时取等号．‎ ‎12．【答案】 ‎【解析】∵x>0，y>0，且，∴，当且仅当，即时，取等号．‎ ‎13．【答案】4‎ ‎【解析】因为，所以a>0,b>0‎.所以,即，所以ab≥4‎.当且仅当时取等号，故ab的最小值为4.‎ ‎14．【答案】 ‎【解析】根据正弦定理及得，∴，‎ ，当且仅当，即时，等号成立，此时，‎ . ‎ ‎15．【答案】（1）；（2）当S取到最大允许值100 m2时，正面铁栅长为15 m.‎ ‎∵x>0，y>0，‎ ‎∴当且仅当时取等号，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴，‎ ‎∴0