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- 2021-06-22 发布
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江西省临川一中2017届高三4月模拟检测
数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ,集合,则中元素的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
2. 已知为虚数单位,且复数满足,若为实数,则实数的值为( )
A. 4 B. 3 C.2 D.1
3. 已知函数为定义在上的偶函数,且在上单调递增,则的解集为( )
A. B. C. D.
4.将函数的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,再把所得函数图象向右平移个单位,得到函数的图象,则函数图象的一条对称轴的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知焦点在轴上,渐近线方程为的双曲线的离心率和曲线的离心率之积为1,则的值为 ( )
A. B. C. 3或4 D.或
6.运行如图所示的程序框图,输出的值为( )
A.0 B. C. -1 D.
7.下列说法正确的个数为 ( )
①对于不重合的两条直线,“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件;
②命题“”的否定是“”;
③“且为真”是“或为真”的充分不必要条件;
④已知直线和平面,若,则.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.已知直线与圆相切,则的最大值为( )
A. 1 B.-1 C. D.
9. 已知等比数列的前项和为,则的极大值为( )
A. 2 B.3 C. D.
10.“今有垣厚七尺八寸七有五,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日半尺,大鼠日增倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”,意思是“今有土墙厚7.875尺,两鼠从墙两侧同时打洞,大鼠第一天打洞一尺,小鼠第一天打洞半尺,大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍,小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半,问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢需要的天数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D.5
11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
12. 已知函数,若,则方程有五个不同根的概率为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知直线与抛物线围成的区域的面积为,则的展开式的常数项为 .
14.已知满足约束条件,且目标函数的最大值为4,则的最小值为 .
15.已知直线与抛物线交于两点,抛物线的焦点为,则的值为 .
16.已知数列中,,若对于任意的,不等式恒成立,则的取值范围为 .
三、解答题 (共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 若函数,其中,函数的图象与直线相切,切点的横坐标依次组成公差为的等差数列,且为偶函数.
(1)试确定函数的解析式与的值;
(2)在中,三边的对角分别为,且满足,的面积为,试求的最小值.
18.某相关部门推出了环境执法的评价与环境质量的评价系统,每项评价只有满意和不满意两个选项,市民可以随意进行评价,某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息,发现对环境质量满意的占60%,对执法力度满意的占75%,其中对环境质量与执法力度都满意的为80人.
(1)是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为环境质量与执法力度有关?
(2)为了改进工作作风,从抽取的200位市民中对执法力度不满意的再抽取3位进行家里访征求意见,用表示3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数,求的分布列与期望.
附:.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.如图,在梯形中,,.,且平面,,点为上任意一点.
(1)求证:;
(2)点在线段上运动(包括两端点),若平面与平面所成的锐二面角为60°,试确定点的位置.
20.已知动圆与圆外切,与圆内切.
(1)试求动圆圆心的轨迹方程;
(2)过定点且斜率为的直线与(1)中轨迹交于不同的两点,试判断在轴上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形为菱形?若存在,求出实数的范围;若不存在,请说明理由.
21.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若对于任意,,恒有成立,试求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程;
(2)已知与直线平行的直线过点,且与曲线交于两点,试求.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)解不等式;
(2)若对于任意的,都有,使得,试求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: CDCBD 6-10: BCCDB 11、12:DB
二、填空题
13. 160 14. 15. -11 16.
三、解答题
17.解析:(1)
,
由函数的图象与直线相切可得.
∵为偶函数,∴,∴, ∵,
∴,由题意可得, ∴,
∴函数的解析式为.
(2)由(1)知函数, ∵,
∴,又, ∴,
∵, ∴,
根据余弦定理可得,
∴,
∴,当且仅当时,取等号,故的最小值为.
18.解析:(1)对环境质量满意的为人,对执法力度满意的为人,对环境质量与执法力度都满意的为80人,列出列联表如下:
对执法力度满意
对执法力度不满意
合计
对环境质量满意
80
40
120
对环境质量不满意
70
10
80
合计
150
50
200
所以,所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,可以认为环境质量与执法力度有关.
(2)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,
;,
∴的分布列为
0
1
2
3
.
19.解析:(1)证明:∵,, ∴,
连接,在中,,
∴,∴,
∵平面,∴,又,
∴平面,∵平面,∴.
(2)以为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,,
设,则,
∴,故,∴,
设平面的法向量为,则,
即,
令,可得,∴.
易知平面的一个法向量为,
∴,
∴,
∴点与点重合.
20.解析:(1)由得,由得,设动圆的半径为,两圆的圆心分别为,则
,∴,根据椭圆的定义可知,点的轨迹为以为焦点的椭圆,∴,
∴, ∴动圆圆的轨迹方程为.
(2)存在,直线的方程为,设,的中点为.假设存在点,使得以为邻边的平行四边形为菱形,则,
由,得,
,∴,,
∵,∴,即,
∴,
当时,,∴;
当时,,∴.
因此,存在点,使得以为邻边的平行四边形为菱形,且实数的取值范围为.
21.解析:(1)函数的定义域为,,
当时,函数在上单调递减,在上单调递增;
当时,函数在上单调递增,在上单调递减;
当时,函数的上单调递增;
当时,函数在上单调递增,在上单调递减.
(2)恒成立,即恒成立,
不妨设,因为当时,在上单调递减,则,可得,设,
∴对于任意的,,恒成立,∴在上单调递增,在上恒成立,
∴在上恒成立,
即在上恒成立,
∵当时,, ∴只需在上恒成立,
即在上恒成立,
设,则,
∴,故实数的取值范围为.
22.解析:(1)把直线的参数方程化为普通方程为,∵,
∴直线的极坐标方程为,
由,可得,
∴曲线的直角坐标方程为.
(2)直线的倾斜角为,
∴直线的倾斜角也为,又直线过点,
∴直线的参数方程为(为参数),
将其代入曲线的直角坐标方程可得,
设点对应的参数分别为.
由一元二次方程的根与系数的关系知,
∴.
23.解析:(1)当时,,解得;
当时,,解得,不符合题意;
当时,,解得,
所以原不等式的解集为.
(2)由(1)知,根据函数的图象可知,当时,取得最小值,且,
易知,
∵对于任意的,都有,使得,
∴,∴,∴的取值范围为.