数学文·甘肃省河西五市部分普通高中2017年高考数学一模试卷（文科） Word版含解析 26页

甘肃省河西五市部分普通高中2017年高考数学一模试卷（文科）(解析版)‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={y|y=|x|+1，x∈R}，则A∩∁RB=（　　）‎ A．（0，2） B．[1，2） C．（0，1] D．（0，1）‎ ‎2．下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（　　）‎ A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4‎ ‎3．下列命题推断错误的是（　　）‎ A．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 B．若p且q为假命题，则p，q均为假命题 C．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件 D．命题p：存在x0∈R，使得，则非p：任意x∈R，都有 ‎4．关于右面两个程序框图，说法正确的是（　　）‎ A．（1）和（2）都是顺序结构 B．（1）和（2）都是条件分支结构 C．（1）是当型循环结构，（2）是直到型循环结构 D．（1）是直到型循环结构，（2）是当型循环结构 ‎5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=4，S4=16，则a5+a6=（　　）‎ A．11 B．16 C．20 D．28‎ ‎6．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4‎ ‎8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（　　）个单位长度．‎ A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 ‎9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．‎ x ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ 当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎10．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（　　）‎ A．[，2） B．[，2] C．[，1） D．[，1]‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．令p（x）：ax2+2x+1＞0，若对∀x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎14．若tan（π+θ）=2，则的值为　　．‎ ‎15．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为　　．‎ ‎16．函数y=f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=f（﹣x）成立，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，f（1）=4，则f（2016）+f（2017）+f（2018）的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=2．‎ ‎（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应x值的集合；‎ ‎（2）若f（A）=2，b+c=6，求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．‎ ‎19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；‎ ‎（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P﹣A1BC的体积．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|=2，点（1，）在该椭圆上 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切圆的方程．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（m+）lnx+﹣x，（其中常数m＞0）．‎ ‎（1）当m=2时，求f（x）的极大值；‎ ‎（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；‎ ‎（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|‎ ‎（1）解不等式f（x）＞5；‎ ‎（2）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={y|y=|x|+1，x∈R}，则A∩∁RB=（　　）‎ A．（0，2） B．[1，2） C．（0，1] D．（0，1）‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】求解不等式可得集合A，求B的值域可得集合B，根据集合的基本运算即可求A∩∁RB．‎ ‎【解答】解：由不等式x2﹣2x＜0‎ 解得：0＜x＜2‎ ‎∴集合A={x|0＜x＜2}，‎ 由函数y=|x|+1，x∈R，可得值域为[1+∞），‎ ‎∴集合B=[1+∞），‎ ‎∴∁RB=（﹣∞，1）．‎ 那么：A∩∁RB=（0，1）‎ 故选D ‎【点评】本题考查了不等式的计算，值域的问题和集合的基本运算，比较基础．‎ ‎　‎ ‎2．下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（　　）‎ A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则可得：复数z=1+i，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假．‎ ‎【解答】解：复数z===1+i的四个命题：‎ p1：|z|=≠2，因此是假命题；‎ p2：z2=（1+i）2=2i，是真命题；‎ p3：z的共轭复数为1﹣i，是假命题；‎ p4：z的虚部为1，是真命题．‎ 其中真命题为p2，p4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义、命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．下列命题推断错误的是（　　）‎ A．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 B．若p且q为假命题，则p，q均为假命题 C．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件 D．命题p：存在x0∈R，使得，则非p：任意x∈R，都有 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用原命题与逆否命题的真假关系判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；充要条件判断C的正误；命题的否定判断D的正误；‎ ‎【解答】解：对于A，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，它的逆否命题为真命题，所以A正确；‎ 对于B，若p且q为假命题，则p，q均为假命题，只要一个命题是假命题，命题就是假命题，所以B不正确；‎ 对于C，“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，满足充要条件，正确；‎ 对于D，命题p：存在x0∈R，使得，则非p：任意x∈R，都有．满足命题的否定形式，正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎4．关于右面两个程序框图，说法正确的是（　　）‎ A．（1）和（2）都是顺序结构 B．（1）和（2）都是条件分支结构 C．（1）是当型循环结构，（2）是直到型循环结构 D．（1）是直到型循环结构，（2）是当型循环结构 ‎【考点】流程图的概念；设计程序框图解决实际问题．‎ ‎【分析】欲判断选项的正确性，主要讨论程序进行判断前是否执行循环体，如果先执行循环体，则是直到型循环，否则是当型循环．解题的关键是弄清循环体是在判断框前还是后．‎ ‎【解答】解：（1）观察图（1），它是先判断后循环，故是当型循环的程序框图；‎ ‎（2）观察图（2），它是先循环后判断，故是直到型循环的程序框图．‎ 故（1）是当型循环结构，（2）是直到型循环结构．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=4，S4=16，则a5+a6=（　　）‎ A．11 B．16 C．20 D．28‎ ‎【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】可利用等差数列的性质S2，S4﹣S2，S6﹣S4仍然成等差数列来解决．‎ ‎【解答】解：∵{an}为等差数列，前n项和为Sn，∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列，∴2（S4﹣S2）=S2+（S6﹣S4），‎ 又S2=4，S4=16，∴24=4+S6﹣S4=a5+a6+4，∴a5+a6=20．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质，关键在于掌握：“等差数列中Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n…仍成等差数列”这一性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【考点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】本题已知两个向量的模及它们的夹角，求其线性组合的模，宜采取平方法求模，本题中采取了恒等变形的方法间接达到平方的目的．‎ ‎【解答】解：∵，均为单位向量，它们的夹角为60°，‎ ‎∴====．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查向量模的求法，求向量的模一般先求其平方，或者恒等变形，将其拿到根号下平方，以达到用公式求出其值的目的，解此类题时注意总结此规律，这是解本类题的通用方法，切记！‎ ‎　‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，‎ 底面半径为1，高为2，‎ 故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．‎ ‎　‎ ‎8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（　　）个单位长度．‎ A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】首先利用函数的图象求出周期，进一步利用函数周期公式求出ω，利用在x=函数的值求出Φ的值，最后通过平移变换求出答案．‎ ‎【解答】解：根据函数的图象：‎ 求得：T=π 进一步利用：‎ 当x=|φ|＜‎ 所以：φ=‎ 即函数f（x）=‎ 要得到f（x）=sin2x的图象只需将函数f（x）=向右平移个单位即可．‎ 故选：A ‎【点评】本题考查的知识点：利用函数的图象求函数的解析式，主要确定A、ω、Φ的值，函数图象的平移变换问题．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．‎ x ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ 当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1＜a＜2，即可得到函数y=f（x）﹣a的零点的个数．‎ ‎【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：‎ 因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，‎ 所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．‎ ‎　‎ ‎10．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用；几何概型．‎ ‎【分析】由 我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内和圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：满足约束条件区域为△ABO内部（含边界），‎ 与圆x2+y2=2的公共部分如图中阴影扇形部分所示，‎ 则点P落在圆x2+y2=2内的概率概率为：‎ P===．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．‎ ‎【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，‎ 则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，‎ 所以a2+b2=c2=36，‎ 又双曲线的一条渐近线方程是y=x，‎ 所以，‎ 解得a2=9，b2=27，‎ 所以双曲线的方程为．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质．‎ ‎　‎ ‎12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（　　）‎ A．[，2） B．[，2] C．[，1） D．[，1]‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】根据f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得Sn，进而Sn的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），‎ ‎∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），‎ 即==f（1）=，‎ ‎∴数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，‎ ‎∴an=f（n）=（）n，‎ ‎∴Sn==1﹣（）n∈[，1）．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到数列{an}是等比数列，属中档题．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．令p（x）：ax2+2x+1＞0，若对∀x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是　a＞1　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】首先把命题恒成立转化为不等式恒成立问题，然后分a=0和a≠0两种情况讨论，当a=0时为一次不等式，当a≠0为二次不等式，二次不等式恒成立时，结合不等式对应函数的图象的开口方向和与x轴没交点得出不等式组，最后求解．‎ ‎【解答】解：对∀x∈R，p（x）是真命题，是对∀x∈R，ax2+2x+1＞0恒成立，‎ 当a=0时，ax2+2x+1＞0化为2x+1＞0，解得，，不等式不是对∀x∈R恒成立；‎ 若a≠0，由题意，得解得a＞1．‎ 所以∀x∈R，ax2+2x+1＞0恒成立的a的范围是a＞1，‎ 即若对∀x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是a＞1．‎ 故答案为a＞1．‎ ‎【点评】分类讨论思想是重要的数学思想，特别是解决含有未知量的恒成立问题，分类讨论尤为重要．‎ ‎　‎ ‎14．若tan（π+θ）=2，则的值为　　．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】tan（π+θ）=2，可得tanθ=2，利用“弦化切”即可得出．‎ ‎【解答】解：∵tan（π+θ）=2，∴tanθ=2，‎ 则===．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了“弦化切”、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为　4　．‎ ‎【考点】基本不等式；指数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，知A（1，1），点A在直线mx+ny﹣1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．‎ ‎【解答】解：由已知定点A坐标为（1，1），由点A在直线mx+ny﹣1=0上，‎ ‎∴m+n=1，‎ 又mn＞0，∴m＞0，n＞0，‎ ‎∴=（）（m+n）==2++≥2+2•=4，‎ 当且仅当两数相等时取等号．‎ 故答案为4．．‎ ‎【点评】均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值．‎ ‎　‎ ‎16．函数y=f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=f（﹣x）成立，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，f（1）=4，则f（2016）+f（2017）+f（2018）的值为　4　．‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】由函数f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，且由y=f（x﹣1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象可知，函数y=f（x）的图象关于原点对称，即函数y=f（x）为奇函数，由已知条件可得函数的周期为4，利用所求周期即可求解．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称 且把y=f（x﹣1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，‎ ‎∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，‎ ‎∴f（0）=0，‎ ‎∵f（x+2）=f（﹣x），又f（﹣x）=﹣f（x），‎ 从而可得f（x+2）=﹣f（x），‎ 将x换成x+2，可得f（x+4）=f（x），‎ 即函数是以4为周期的周期函数，‎ ‎∴f（2016）=f（504×4）=f（0）=0，‎ f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=4，‎ f（2018）=f（504×4+2）=f（2）=﹣f（0）=0，‎ 即有f（2016）+f（2017）+f（2018）=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题主要考出了函数的图象的平移及函数图象的对称性的应用，利用赋值求解抽象函数的函数值，函数周期的求解是解答本题的关键所在．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）（2017•甘肃一模）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=2．‎ ‎（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应x值的集合；‎ ‎（2）若f（A）=2，b+c=6，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】（1）首先根据三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出最值和对应的区间．‎ ‎（2）直接利用（1）的结论，进一步利用余弦定理求出bc的值，进一步求出三角形的面积．‎ ‎【解答】解：（1）‎ ‎=‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ 由 ‎∴‎ 在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣bc 又 ‎∴12=（b+c）2﹣3bc=36﹣3bc，‎ bc=8‎ 所以 ‎【点评】本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最值，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用．属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•甘肃一模）“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，由此能求出这40辆小型汽车车速的众数；由频率分布直方图求出[60，75）对应的频率为0.35，[75，80）对应的频率为0.3，由此能求出中位数的估计值．‎ ‎（2）车速在[60，70）内频率为0.15，从而车速在[60，70）内的车辆有6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有2辆，车速在[65，70）内的车辆有4辆，由此能求出从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，‎ ‎∴这40辆小型汽车车速的众数为： =77.5（km/h）．‎ 由频率分布直方图知[60，75）对应的频率为：‎ ‎（0.010+0.020+0.040）×5=0.35，‎ ‎[75，80）对应的频率为：0.060×5=0.3，‎ ‎∴中位数的估计值为： =77.5（km/h）．‎ ‎（2）车速在[60，70）内频率为（0.010+0.020）×5=0.15，‎ ‎∴车速在[60，70）内的车辆有0.15×40=6辆，‎ 其中车速在[60，65）内的车辆有：0.010×5×40=2辆，‎ 车速在[65，70）内的车辆有：0.020×5×40=4辆，‎ ‎∴从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，‎ 基本事件总数n=，‎ 车速在[65，70）内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数m==8，‎ ‎∴车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率p==．‎ ‎【点评】本题考查众数、中位数的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017•甘肃一模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；‎ ‎（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P﹣A1BC的体积．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）欲证BC⊥A1B，可寻找线面垂直，而A1A⊥BC，AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AB，问题得证；‎ ‎（Ⅱ）根据直三棱柱的性质可知A1A⊥面BPC，求三棱锥P﹣A1BC的体积可转化成求三棱锥A1﹣PBC的体积，先求出三角形PBC 的面积，再根据体积公式解之即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，‎ ‎∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，‎ ‎∴A1A⊥BC （2分）‎ ‎∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，‎ ‎∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，‎ AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，‎ ‎∴BC⊥平面A1AB，‎ 又A1B⊂平面A1BC，‎ ‎∴BC⊥A1B；（6分）‎ ‎（Ⅱ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．‎ ‎∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，‎ ‎∴AD⊥A1B．‎ 在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，‎ ‎，∠ABD=60°，‎ 在Rt∠△ABA1中，．（8分）‎ 由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，‎ 从而BC⊥AB，．‎ ‎∵P为AC的中点，（10分）‎ ‎∴=．（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•甘肃一模）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|=2，点（1，）在该椭圆上 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以 F2为圆心且与直线l相切圆的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）因为|F1F2|=2，所以c=1．又点（1，）在该椭圆上，所以根据椭圆的定义可求出a的值，从而求出b．（2）首先应考虑直线l⊥x轴的情况，此时A（﹣1，﹣），B（﹣1，），△AF2B的面积为3，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，），s△AF2B=．设直线l的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，用弦长公式可得|AB|=，用点到直线的距离公式可得 圆F2的半径r=，这样根据题中所给面积可求出k的值，从而求出半径，进而得到圆的方程为．‎ ‎【解答】解：（1）因为|F1F2|=2，所以c=1．‎ 又点（1，）在该椭圆上，所以．‎ 所以a=2，b2=3．‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（2）①当直线l⊥x轴时，可得A（﹣1，﹣），B（﹣1，），△AF2B的面积为3，不符合题意 ‎②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0‎ 显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=﹣，x1x2=‎ 可得|AB|=，用点到直线的距离公式可得 圆F2的半径r=，‎ ‎∴△AF2B的面积=|AB|r=，‎ 化简得：17k4+k2﹣18=0，得k=±1，‎ ‎∴r=，圆的方程为（x﹣1）2+y2=2．‎ ‎【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆与圆，用弦长公式点到直线的距离公式、属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017•甘肃一模）已知函数f（x）=（m+）lnx+﹣x，（其中常数m＞0）．‎ ‎（1）当m=2时，求f（x）的极大值；‎ ‎（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；‎ ‎（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；‎ ‎（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；‎ ‎（3）曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可．‎ ‎【解答】解：（1）当m=2时，‎ ‎（x＞0）‎ 令f′（x）＜0，可得或x＞2；‎ 令f′（x）＞0，可得，‎ ‎∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递增 ‎ 故 ‎（2）（x＞0，m＞0）‎ ‎①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m），f′（x）＜0；‎ x∈（m，1）时，f′（x）＞0‎ 此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增； ‎ ‎②当m=1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，‎ 此时f（x）在（0，1）上单调递减； ‎ ‎③当m＞1时，则，‎ 故时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0‎ 此时f（x）在上单调递减，在单调递增 ‎ ‎（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）‎ 即⇒‎ ‎∵x1≠x2，由不等式性质可得恒成立，‎ 又x1，x2，m＞0‎ ‎∴⇒对m∈[3，+∞）恒成立 ‎ 令，则 对m∈[3，+∞）恒成立 ‎∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，‎ ‎∴‎ 故 从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“”‎ ‎∴x1+x2的取值范围为 ‎【点评】运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键 ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎22．（10分）（2016•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．‎ ‎【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，‎ ‎∴x2+y2+12x+11=0，‎ ‎∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，‎ ‎∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．‎ ‎（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），‎ ‎∴直线l的一般方程y=tanα•x，‎ ‎∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，‎ ‎∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，‎ 解得tan2α=，∴tanα=±=±．‎ ‎∴l的斜率k=±．‎ ‎【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎23．（2017•甘肃一模）已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|‎ ‎（1）解不等式f（x）＞5；‎ ‎（2）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）根据函数f（x）=，分类讨论求得不等式f（x）＞5的解集．‎ ‎（2）由（1）可得函数f（x）的最小值为f（﹣1）=2，结合题意求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|=，‎ 当x＜﹣1时，由﹣3x﹣1＞5，求得x＜﹣2．‎ 显然，当﹣1≤x≤1时，不等式f（x）＞5无解，‎ 当x＞1时，由3x+1＞5，求得x＞．‎ 综上可得，不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞}．‎ ‎（2）由（1）可得f（x）=，函数f（x）的最小值为f（﹣1）=2，‎ 故当a≤2时，不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集．‎ ‎【点评】本题主要考查队友绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎