2017-2018学年山东省淄博市普通高中高二下学期期末联考数学（理）试题 解析版 19页

绝密★启用前 山东省淄博市普通高中2017-2018学年高二下学期期末联考数学（理）试卷 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．集合，那么（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A与B的并集．‎ ‎【详解】‎ 把集合A和集合B中的解集表示在数轴上，如图所示， 则A∪B={x|-2＜x＜3} 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，属基础题．‎ ‎2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）‎ A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，对应点为，在第四象限．故选D．‎ 考点：复数的运算与几何意义．‎ ‎3．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )‎ A． 12,24,15,9 B． 9,12,12,7 C． 8,15,12,5 D． 8,16,10,6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得抽样比为，所以高级职称抽取的人数为，中级职称抽取的人数为，初级职称抽取的人数为，其余人员抽取的人数为，所以各层中依次抽取的人数分别是8人，16人，10人，6人，故选D．‎ 考点：分层抽样．‎ ‎【方法点睛】分层抽样满足“”，即“或”，据此在已知每层间的个体数量或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个．‎ ‎4．若在等差数列中，，则等于（ ）‎ A． 45 B． 75 C． 180 D． 360‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．‎ ‎【详解】‎ 由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=450， 得到a5=90， 则a2+a8=2a5=180． 故选C.．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道基础题．学生化简已知条件时注意项数之和等于10的两项结合．‎ ‎5．若非零向量满足，则与的夹角为（ ）‎ A． 30°° B． 60° C． 120° D． 150°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量的数量积的值，整理出两个向量之间的关系，得到两个向量的数量积2倍等于向量的模长的平方，写出求夹角的公式，得到结果．‎ ‎【详解】‎ 设与的夹角为， ∵非零向量与满足满足， ∴‎ ‎∴ ∵0°≤≤180° ∴=120°， 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数量积表示两个向量的夹角，本题解题的关键是整理出两个向量的数量积与模长之间的关系．‎ ‎6．设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直,则( )‎ A． 2 B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以选B.‎ 考点：导数几何意义 ‎【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.‎ ‎（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.‎ ‎7．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）‎ A． 若，则 B． 若，则 C． 若，则 D． 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在A中，l∥β或l⊂β；在B中，l∥β或l⊂β；在C中，由线面垂直的判定定理得l⊥β；在D中，l与β相交平行或l⊂β．‎ ‎【详解】‎ 由设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知： 在A中，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故A错误；‎ 在B中，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故B错误；‎ 在C中，若l⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故C正确； 在D中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交平行或l⊂β，故D错误． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎8．在区间上随机取一个数x，cos x的值介于0到之间的概率为( ).‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，随机变量为一个数x，所以利用对应区间长度比求概率即可．‎ ‎【详解】‎ 在区间上随机取一个数x，对应区间长度为π，而cos x的值介于0和之间的即0＜cosx＜的x范围为 ‎ 区间长度为，由几何概型的公式得到概率为 ； 故选 A .．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型的概率求法，属基础题.‎ ‎．‎ ‎9．已知、为双曲线C： 的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．‎ 视频 ‎10．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1,f(2)=,则 ( )‎ A． a< B． a<且a≠1 C． a>且a<-1 D． -10)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)‎ A． x＝1 B． x＝－1‎ C． x＝2 D． x＝－2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵y2=2px的焦点坐标为,‎ ‎∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.‎ ‎12．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n（）个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数。有下列函数:‎ ‎① ② ③ ④‎ 其中是一阶整点的是（ ）‎ A． ①②③④ B． ①③④ C． ④ D． ①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新定义的“一阶整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可．‎ ‎【详解】‎ 对于函数，它只通过一个整点（1，2），故它是一阶整点函数； 对于函数，当x∈Z时，一定有g（x）=x3∈Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数； 对于函数，当x=0，-1，-2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数； 对于函数，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题，解决本题的关键是对于新定义的概念的理解，即什么叫做：“一阶整点函数”．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设变量满足约束条件：,则目标函数的最小值为_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 的几何意义为区域内点到点G（0，-1）的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象可知，AG的斜率最小， 由 解得 ，即A（2，1）， 则AG的斜率k=＝1， 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及直线斜率的计算，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎14．若，则展开式中的常数项为______。‎ ‎【答案】-160‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项的值．‎ ‎【详解】‎ 若， 则 ，即a=2， ∴展开式的通项公式为： ‎ 令6-2r=0，解得r=3； ∴展开式的常数项为： 故答案为：-160．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式展开式的通项公式与定积分的计算问题，是基础题目．‎ ‎15．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为____________________．‎ ‎【答案】84‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 四个不同的球全部放入4个不同的盒子内，恰有两个盒子不放球的不同放法的求法，分为两步来求解，先把四个球分为两组，再取两个盒子，作全排列，由于四个球分两组有两种分法，一种是2，2，另一种是3，1，故此题分为两类来求解，再求出它们的和，即可得到答案 ‎【详解】‎ 四个球分为两组有两种分法，（2，2），（3，1） 若两组每组有两个球，不同的分法有 种，恰有两个盒子不放球的不同放法是3×A42=36种 若两组一组为3，一组为1个球，不同分法有C43=4种恰有两个盒子不放球的不同放法是4×A42=48种 综上恰有两个盒子不放球的不同放法是36+48=84种 即答案为84.‎ ‎【点睛】‎ 题考查察排列、组合的实际应用，解题的关键是理解事件“四个不同的球全部放入4个不同的盒子内，恰有两个盒子不放球”，宜先将四个球分为两组，再放入，分步求不同的放法种数 ‎16．已知函数.设是函数图象的一条对称轴，则的值等于_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将f（x）的解析式进行降幂，再由x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴可得到x0的关系式，将x0的关系式代入即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题设知 ． 因为是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以 ，即 （k∈Z）． 所以 ． 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的二倍角公式和对称轴问题．属中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．知数列的前项和.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用当时，，再验证即可.‎ ‎（2）由（1）知 . 利用裂项相消法可求数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）. ‎ 当时， . ‎ 又符合时的形式，‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知 . ‎ 数列的前项和为 ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项的求法，利用裂项相消法求和，属于中档题．‎ ‎18．已知分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，.‎ ‎(1)求A； ‎ ‎(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由条件及正弦定理可得sinC=，约去得，即，可得；（2）在的基础上由余弦定理及三角形的面积可求得b=c=2。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由正弦定理及条件得sinC=，‎ ‎∵，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）∵△ABC的面积为，‎ ‎∴‎ ‎∴。‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴,‎ 解得，‎ 由解得 ‎ ‎∴‎ 点睛：‎ ‎（1）在运用正余弦定理解三角形时，若在已知关系式中既含有边又含有角，通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．‎ ‎（2）在运用余弦定理时，要注意公式的变形，即注意的灵活运用，将和看做一个整体，可为问题的解决带来方便。‎ ‎19．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》 第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 违章驾驶员人数 ‎120‎ ‎105‎ ‎100‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；‎ ‎（2）预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；‎ 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过1年 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 驾龄1年以上 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：‎ 能否据此判断有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？‎ 参考公式及数据：‎ ‎.‎ ‎（其中）‎ ‎【答案】（1）；（2）66人；（3）有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用所给数据计算、，求出回归系数，写出回归直线方程； （2）由（1）中的回归直线方程计算x=7时的值即可； （3）由列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表中数据知，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求回归直线方程为。‎ ‎（2）由（1）知，令，则人.‎ ‎（3）由表中数据得 ，‎ 根据统计有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程与独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎20．如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 证明:(1)设AC与BD交于点G.‎ 因为EF∥AG,‎ 且EF=1,AG=AC=1,‎ 所以四边形AGEF为平行四边形.‎ 所以AF∥EG.‎ 因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,‎ 所以AF∥平面BDE.‎ ‎(2)连接FG.‎ 因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,‎ 所以四边形CEFG为菱形.‎ 所以CF⊥EG.‎ 因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.‎ 又因为平面ACEF⊥平面ABCD,‎ 且平面ACEF∩平面ABCD=AC,‎ 所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.‎ 又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.‎ ‎21．已知函数有极值.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知中函数解析式，求出导函数 f′（x）的解析式，然后根据函数有极值，方程 f′（x）=x2-x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围； （Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，则f′（2）=0，求出满足条件的c值后，可以分析出函数的单调性，进而分析出当x＜0时，函数的最大值，又由当x＜0时，恒成立，可以构造出一个关于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ 因为有极值，则方程有两个相异实数解，‎ ‎ 从而，‎ ‎∴。‎ ‎∴c的取值范围为。‎ ‎（2）∵在处取得极值，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.‎ ‎∴当x<0时，在x=-1处取得最大值，‎ ‎∵x<0时，恒成立，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴d的取值范围为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．‎ ‎22．椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当的面积为时，求直线的方程。‎ ‎【答案】（1）；（2）或。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆C的方程． （2）由（1）知F1（-1，0），①当l的倾斜角是时，,不合题意；当l的倾斜角不是时，设l的方程为，由消去y得：，设A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韦达定理能求出直线l的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）椭圆过点 离心率为 ‎ 又 ‎ ‎ 椭圆C的方程。‎ ‎（2）由（1）知，①当l的倾斜角是时，l的方程为，‎ 交点，此时,不合题意；‎ ‎②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k,则其直线方程为，‎ 由消去y得：，‎ 设，则， ‎ ‎，‎ ‎ 又已知 ,‎ 解得， ‎ 故直线l的方程为，‎ 即或。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用．‎