江西省萍乡市莲花县莲花中学2019-2020学年高二5月月考数学（理）试卷 10页

江西省萍乡市莲花县莲花中学2019-2020学年高二5月月考数学（理）试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. “，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎2. 已知，其中、是实数，是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 若在可导，且，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. 3‎ ‎4. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（ ）‎ A. 的极大值为，极小值为 B. 的极大值为，极小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极大值为，极小值为 ‎5. 用反证法证明命题“已知、、为非零实数，且，，求证、、中至少有二个为正数”时，要做的假设是（ ）‎ A. 、、中至少有二个为负数 B. 、、中至多有一个为负数 C. 、、中至多有二个为正数 D. 、、中至多有二个为负 ‎6.某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星.现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为 A.4 B.8 C. 12 D. 24‎ ‎7.下列几种推理中是演绎推理的序号为（ ）‎ A. 由，，，…猜想 B. 半径为的圆的面积，单位圆的面积 C. 猜想数列，，，…的通项为 D. 由平面直角坐标系中，圆的方程为推测空间直角坐标系中球的方程为 ‎8.平面内直角三角形两直角边长分别为，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为．空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为 A. B. C. D.‎ ‎9. 已知，则（ ）‎ A.1 B. C. D.‎ ‎10.若，且m，n，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.某人射击一次命中目标的概率为，且每次射击相互独立，则此人射击7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 A． B． C． D． ‎ 二、 填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分.）‎ ‎13.若，则= ．‎ ‎14.设是函数的极值点，数列 ，若为不超过x的最大整数，则= ‎ ‎15.在右图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n（）行左起第3个数为______.‎ ‎16.若存在一个实数t，使得成立，则称t为函数的一个不动点，设函数（，e为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，，若存在 ‎，且为函数一个不动点，则实数a的最小值为______.‎ 三、解答题（本题共6题，满分70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a12＋a22≥. ‎ 证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2 =2x2－2(a1＋a2)x＋(a12＋a22)=2x2－2x＋(a12＋a22)‎ 因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a12＋a22≥.‎ ‎(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；‎ ‎(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn.‎ ‎(1)求S1，S2，S3；‎ ‎(2)猜想Sn的表达式并用数学归纳法证明．‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，且，，是的中点，点在侧棱上运动.‎ ‎（Ⅰ）当是棱的中点时，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.‎ ‎20（本小题满分12分）‎ 为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为“非健身族”，调查结果如下：‎ 健身族 非健身族 合计 男性 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎（1）若居民每人每天的平均键身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”.已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健身时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？‎ ‎（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的情况下认为“健身族”与“性别”有关？‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ P（）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.321‎ ‎3.840‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中a为常数.‎ ‎（1）证明：函数的图象经过一个定点A，并求图象在A点处的切线方程；‎ ‎（2）若，求函数在上的值域 ‎22. 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）对于区间上的任意不相等的实数、，都有成立，求的取值范围.‎ 理科数学参考答案.‎ ‎1-12 DDCDABBCCDBC ‎13.5/6 14.2018 15. 16.‎ ‎17解　(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，------------2分 求证：a＋a＋…＋a≥.---------------------------5分 ‎(2)构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2 ---------------7分 ‎＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a ‎＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a，---------------------------------------9分 因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，--------------11分 从而证得：a＋a＋…＋a≥.-----------------------12分 ‎18解：(1)由(S1－1)2＝S，得S1＝；---------1分 由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；----------------3分 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.------------------5分 ‎(2)猜想：Sn＝.----------------6分 证明：①当n＝1时，显然成立；-----------------7分 ‎②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝成立．--------------9分 则当n＝k＋1时，由(Sk＋1－1)2＝ak＋1Sk＋1，得Sk＋1＝＝＝.---------------11分 从而n＝k＋1时，猜想也成立．‎ 综合①②得结论成立．-------------12分 ‎19.（Ⅰ）证：取线段的中点，连接、，‎ ‎∵，，∴，，‎ 又为的中点，∴，，‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴平面；‎ ‎（Ⅱ）解：∵、、两两垂直，∴以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∵在三棱柱中，侧棱底面，‎ ‎∴可得为直线与平面所成的角，‎ 设，，得，‎ ‎∴，，，，，‎ ‎，，‎ 设的法向量为，则，‎ 可取，‎ 又平面的法向量为，‎ ‎.‎ ‎∵二面角为钝角，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎20.【解析】‎ ‎（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为 小时，‎ 由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，‎ 因为1.15小时分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；‎ ‎（2）由联立表可得，‎ ‎，‎ 所以能在犯错误概率不超过的情况下认为“健康族”与“性别”有关.‎ ‎21.【解析】（1）因为，‎ 所以，所以函数的图像经过一个定点，‎ 因为，所以切线的斜率，‎ 所以在A点处的切线方程为，‎ 即；‎ ‎（2）因为，，所以，‎ 故，‎ 则，‎ 由得或，‎ 当x变化时，，的变化情况如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ e ‎0‎ ‎0‎ 单调减 单调增 从而在上，有最小值，且最小值为，‎ 因为，，所以，‎ 因为在上单调减，，‎ 所以，‎ 所以，所以最大值为，‎ 所以函数在上的值域为.‎ ‎22.（Ⅰ）解：由，得，‎ 设，，‎ 则问题等价于与的图象在上有唯一交点，‎ ‎∵，‎ ‎∴时，，函数单调递增，‎ 时，，函数单调递减，‎ ‎∵，且时，，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）解：不妨设，‎ 当时，，，‎ ‎∴可化为，‎ ‎∴，‎ 设，即，‎ ‎∵在上单调递减，∴恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∵，∴，‎ 当时，，，‎ ‎∴可化为，‎ ‎∴，‎ 设，即，‎ ‎∵在上单调递增，∴恒成立，‎ 即在上恒成立.‎ ‎∴，∴，‎ 综上所述：或.‎