数学卷·2018届上海市金山中学高二上学期期中数学试卷（解析版） 19页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一.填空题（每小题4分，共56分）‎ ‎1．已知向量，，若，则m=　　．‎ ‎2．若直线l经过点P（1，2），方向向量为=（3，﹣4），则直线l的点方向式方程是　　．‎ ‎3．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为　　．‎ ‎4．若直线l过点A（2，3）且点B（﹣3，2）到直线l的距离最大，则l的方程为　　．‎ ‎5．直线l过点P（2，3）与以A（3，2），B（﹣1，﹣3）为端点的线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是　　．‎ ‎6．已知直角坐标平面内的两个向量=（1，2），=（m﹣1，m+3），使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成=λ+μ，则m的取值范围　　．‎ ‎7．已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，则=　　．‎ ‎8．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为　　．‎ ‎9．平面上三条直线x﹣2y+1=0，x﹣1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为　　．‎ ‎10．过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是　　．‎ ‎11．已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为　　．‎ ‎12．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2， =2+，则下列结论中正确的是　　．（写出所有正确结论得序号）‎ ‎①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．‎ ‎13．已知函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m的图象相交于点A，B两点，若动点P满足|+|=2，则P的轨迹方程是　　．‎ ‎14．记椭圆=1围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，3…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则=　　．‎ ‎　‎ 二.选择题（每小题5分，共20分）‎ ‎15．对任意平面向量，下列关系式中不恒成立的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎16．直线l1；x+ay+2=0和直线l2：（a﹣2）x+3y+6a=0，则“a=3”是“l1∥l2”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎17．已知点（a，b）是圆x2+y2=r2外的一点，则直线ax+by=r2与圆的位置关系 （　　）‎ A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心 ‎18．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）‎ A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 ‎　‎ 三.解答题（12分+14分+14分+16分+18分，共74分）‎ ‎19．已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．‎ 求（1）AC边所在直线的方程；‎ ‎（2）AB边所在直线的方程．‎ ‎20．已知直线l过点（0，﹣1）且被两条平行直线l1：2x+y﹣6=0和l2：4x+2y﹣5=0截得的线段长为，求直线l的方程．‎ ‎21．若、是两个不共线的非零向量，‎ ‎（1）若与起点相同，则实数t为何值时，、t、三个向量的终点A，B，C在一直线上？‎ ‎（2）若||=||，且与夹角为60°，则实数t为何值时，||的值最小？‎ ‎22．已知点A（0，2），B（4，4），；‎ ‎（1）若点M在第二或第三象限，且t1=2，求t2取值范围；‎ ‎（2）若t1=4cosθ，t2=sinθ，θ∈R，求在方向上投影的取值范围；‎ ‎（3）若t1=a2，求当，且△ABM的面积为12时，a和t2的值．‎ ‎23．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N； 过点M 作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段NJ为直径的圆的方程；‎ ‎（3）已知l1、l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P、Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R；求△PQR面积取最大值时，直线l1的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题（每小题4分，共56分）‎ ‎1．已知向量，，若，则m=　3　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】直接利用向量的数量积运算法则求解即可．‎ ‎【解答】解：向量，，若，‎ 则1•m﹣3×1=0‎ 解得m=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎2．若直线l经过点P（1，2），方向向量为=（3，﹣4），则直线l的点方向式方程是　　．‎ ‎【考点】直线的点斜式方程．‎ ‎【分析】利用直线的点斜式方程求解．‎ ‎【解答】解：∵直线l经过点P（1，2），方向向量为=（3，﹣4），‎ ‎∴直线l的方程为：y﹣2=﹣，‎ 转化为点方向式方程，得：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎3．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为　　．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】根据题意，方程表示椭圆，则 x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．‎ ‎【解答】解：∵方程表示椭圆，‎ 则 ⇒‎ 解得 k∈‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎4．若直线l过点A（2，3）且点B（﹣3，2）到直线l的距离最大，则l的方程为　5x+y﹣13=0　．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】直线l过点A（2，3）且点B（﹣3，2）到直线l的距离最大，可得l⊥AB时满足条件．利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．‎ ‎【解答】解：kAB==．‎ ‎∵直线l过点A（2，3）且点B（﹣3，2）到直线l的距离最大，‎ ‎∴l⊥AB时满足条件．‎ ‎∴kl=﹣5．‎ ‎∴直线l的方程为：y﹣3=﹣5（x﹣2），‎ 化为：5x+y﹣13=0．‎ 故答案为：5x+y﹣13=0．‎ ‎　‎ ‎5．直线l过点P（2，3）与以A（3，2），B（﹣1，﹣3）为端点的线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是　　．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】利用斜率计算公式、三角函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：设直线l倾斜角为θ，θ∈[0，π）．‎ kPA==﹣1，kPB==2．‎ ‎∵直线l过点P（2，3）与以A（3，2），B（﹣1，﹣3）为端点的线段AB有公共点，‎ ‎∴tanθ≥2或tanθ≤﹣1．‎ 则直线l倾斜角的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．已知直角坐标平面内的两个向量=（1，2），=（m﹣1，m+3），使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成=λ+μ，则m的取值范围　{m|m≠5}　．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】根据已知条件便知不共线，从而m应满足m+3≠2（m﹣1），从而解出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：由题意知向量，不共线；‎ ‎∴m+3≠2（m﹣1）；‎ 解得m≠5；‎ ‎∴m的取值范围为{m|m≠5}．‎ 故答案为：{m|m≠5}．‎ ‎　‎ ‎7．已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，则=　﹣4　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由已知得AB=2，＜＞=1350， =||×||cos135°，代入计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，∴AB=2，＜＞=1350，‎ ‎=||×||cos135°=2×2×（﹣）=﹣4‎ 故答案为：﹣4‎ ‎　‎ ‎8．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为　[﹣3，3]　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由z=x﹣2y得y=，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：‎ 平移直线y=，‎ 由图象可知当直线y=，过点A（3，0）时，‎ 直线y=的截距最小，此时z最大为z=3﹣0=3，‎ 由图象可知当直线y=，‎ 过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，‎ 由，解得，即B（1，2），‎ 代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=1﹣4=﹣3，‎ 故﹣3≤z≤3，‎ 故答案为：[﹣3，3]．‎ ‎　‎ ‎9．平面上三条直线x﹣2y+1=0，x﹣1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为　{0，﹣1，﹣2}　．‎ ‎【考点】‎ 直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的性质；两条直线的交点坐标．‎ ‎【分析】如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，一是x+ky=0过另外两条直线的交点，做出交点坐标代入直线方程，得到k的值，二是这条直线与另外两条直线平行，求出k的值．‎ ‎【解答】解：若是三条直线两两相交，交点不重合，‎ 则这三条直线把平面分成了7部分，‎ ‎∴如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，‎ 一是x+ky=0过另外两条直线的交点，x﹣2y+1=0，x﹣1=0的交点是（1，1）‎ ‎∴k=﹣1，‎ 二是这条直线与另外两条直线平行，此时k=0或﹣2，‎ 故答案为：{0，﹣1，﹣2}‎ ‎　‎ ‎10．过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是　[﹣1，1]　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】由，得≥，可得OM≤2，即可求出y0的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴≥，‎ ‎∴OM≤2，‎ ‎∴3+y02≤4，‎ ‎∴﹣1≤y0≤1，‎ 故答案为：[﹣1，1]．‎ ‎　‎ ‎11．已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为　15　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|=‎ ‎10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案．‎ ‎【解答】解：∵椭圆方程为，‎ ‎∴焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）‎ 连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'|‎ 因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）‎ ‎∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'|‎ ‎∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15‎ 当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立 综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为15‎ 故答案为：15‎ ‎　‎ ‎12．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2， =2+，则下列结论中正确的是　①④⑤　．（写出所有正确结论得序号）‎ ‎①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．‎ ‎【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2， =2+，‎ 则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；‎ 因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；‎ 夹角为120°，故③错误；‎ ‎⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．‎ 故答案为：①④⑤．‎ ‎　‎ ‎13．已知函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m的图象相交于点A，B两点，若动点P满足|+|=2，则P的轨迹方程是　（x﹣1）2+（y﹣1）2=4　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】联立直线方程和双曲线方程，求得A，B的坐标，写出向量的坐标，求出两向量的坐标和，由向量的模等于2化简整理得到P的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：联立函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m得x=1±．‎ 当x=1﹣时，y=1﹣m，‎ 当x=1+时，y=1+m，‎ 设动点P（x，y），‎ 则=（1﹣﹣x，1﹣m﹣y），‎ ‎=（1+﹣x，1+m﹣y），‎ 则+=（2﹣2x，2﹣2y），‎ 由|+|=2，得（2﹣2x）2+（2﹣2y）2=4，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，‎ ‎∴P的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，‎ 故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．‎ ‎　‎ ‎14．记椭圆=1围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，3…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则=　2　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】将椭圆的标准方程转化成参数方程，x+y=2cosθ+sinθ=sin（θ+φ），根据正弦函数的性质可知：（x+y）max==． Mn==2．‎ ‎【解答】解：把椭圆=1得，‎ 椭圆的参数方程为：（θ为参数），‎ ‎∴x+y=2cosθ+sinθ=sin（θ+φ），‎ 由正弦函数的性质可知：当sin（θ+φ）=1时，x+y取最大值，‎ ‎∴（x+y）max==．‎ ‎∴Mn==2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 二.选择题（每小题5分，共20分）‎ ‎15．对任意平面向量，下列关系式中不恒成立的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】向量的模．‎ ‎【分析】根据平面向量数量积的定义与运算性质，对每个选项判断即可．‎ ‎【解答】解：对于A，∵|•|=||×||×|cos＜，＞|，‎ 又|cos＜，＞|≤1，∴|•|≤||||恒成立，A正确；‎ 对于B，由三角形的三边关系和向量的几何意义得，|﹣|≥|||﹣|||，∴B错误；‎ 对于C，由向量数量积的定义得（+）2=|+|2，C正确；‎ 对于D，由向量数量积的运算得（+）•（﹣）=2﹣2，∴D正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎16．直线l1；x+ay+2=0和直线l2：（a﹣2）x+3y+6a=0，则“a=3”是“l1∥l2”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若a=3，则两直线方程分别为x+3y+2=0和x+3y+18=0，满足两直线平行，即充分性成立，‎ 若l1∥l2，‎ 当a=0时，两直线分别为x+2=0和﹣2x+3y=0，此时两直线不平行，不满足条件．‎ 当a≠0时，若两直线平行则≠，‎ 由得a2﹣2a=3，即a2﹣2a﹣3=0，解得a=3或a=﹣1，‎ 当a=﹣1时， =，不满足条件．‎ 则a≠﹣1，‎ 即a=3，‎ 故“a=3”是“l1∥l2”的充要条件，‎ 故选：C ‎　‎ ‎17．已知点（a，b）是圆x2+y2=r2外的一点，则直线ax+by=r2与圆的位置关系 （　　）‎ A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由点（a，b）是圆x2+y2=r2外的一点，知a2+b2＜r2，由此得到 圆心（0，0）到直线ax+by=r2的距离d∈（0，r），由此能判断直线ax+by=r2与圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：∵点（a，b）是圆x2+y2=r2外的一点，‎ ‎∴a2+b2＜r2，‎ ‎∵圆心（0，0）到直线ax+by=r2的距离：‎ d=＜r，且d＞0，‎ ‎∴直线ax+by=r2与圆相交且不过圆心．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎18．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）‎ A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】可先根据数量积为零得出与λ（+），垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论．‎ ‎【解答】解：由=+λ（+）⇒﹣=λ（+）⇒， =λ（+），‎ 又∵=λ（+）=﹣||+||=0，∴‎ ‎∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心 故选B．‎ ‎　‎ 三.解答题（12分+14分+14分+16分+18分，共74分）‎ ‎19．已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．‎ 求（1）AC边所在直线的方程；‎ ‎（2）AB边所在直线的方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（1）根据AC边的高所在的直线方程，设出AC所在的直线方程，再代入点A的坐标，求参数即可 ‎（2）由中点坐标公式表示出点B的坐标，再根据点B在AC的高线上，可求出中点坐标，从而可确定直线AB的斜率，又由点A的坐标，即可表示出直线的方程 ‎【解答】解：（1）由题意，直线x﹣2y+1=0的一个法向量（1，﹣2）是AC边所在直线的一个方向向量 ‎∴可设AC所在的直线方程为：2x+y+c=0‎ 又点A的坐标为（1，3）‎ ‎∴2×1+3+c=0‎ ‎∴c=﹣5‎ ‎∴AC所在直线方程为2x+y﹣5=0．‎ ‎（2）y=1是AB中线所在直线方程 设AB中点P（xP，1），B（xB，yB）‎ ‎∴‎ ‎∴点B坐标为（2xP﹣1，﹣1），且点B满足方程x﹣2y+1=0‎ ‎∴（2xP﹣1）﹣2•（﹣1）+1=0得xP=﹣1，‎ ‎∴P（﹣1，1）‎ ‎∴AB所在的直线的斜率为：‎ ‎∴AB边所在直线方程为y﹣3=1（x﹣1），即x﹣y+2=0‎ ‎　‎ ‎20．已知直线l过点（0，﹣1）且被两条平行直线l1：2x+y﹣6=0和l2：4x+2y﹣5=0截得的线段长为，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】利用点到直线的距离公式可得l1与l2之间的距离d，设直线l与两平行直线的夹角为α，则sin．对直线l的斜率分类讨论即可得出．‎ ‎【解答】解：l1与l2之间的距离，‎ 设直线l与两平行直线的夹角为α，‎ 则，∴．‎ ‎①当直线l斜率存在时，设l：y+1=kx，即l：kx﹣y﹣1=0，‎ 则：．‎ 即直线l的方程为：3x+4y+4=0．‎ ‎②当直线l斜率不存在时，l：x=0，符合．‎ 所以直线l的方程为：3x+4y+4=0或x=0．‎ ‎　‎ ‎21．若、是两个不共线的非零向量，‎ ‎（1）若与起点相同，则实数t为何值时，、t、三个向量的终点A，B，C在一直线上？‎ ‎（2）若||=||，且与夹角为60°，则实数t为何值时，||的值最小？‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数t使得，由此等式建立起关于λ，t的方程求出t的值；‎ ‎（2）由题设条件，可以把||的平方表示成关于实数t的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的值．‎ ‎【解答】解：（1），，‎ ‎∵，即 ‎∴，可得∴；‎ 故存在t=时，A、B、C三点共线；‎ ‎（2）设||=||=k ‎||2=||2+t2||2﹣2t||||cos60°=k2（t2﹣t+1）=k2（t﹣）2+，‎ ‎∴时，||的值最小．‎ ‎　‎ ‎22．已知点A（0，2），B（4，4），；‎ ‎（1）若点M在第二或第三象限，且t1=2，求t2取值范围；‎ ‎（2）若t1=4cosθ，t2=sinθ，θ∈R，求在方向上投影的取值范围；‎ ‎（3）若t1=a2，求当，且△ABM的面积为12时，a和t2的值．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（1）根据平面向量的坐标表示，结合题意，即可求出t2的取值范围；‎ ‎（2）根据向量投影的定义，利用三角函数的性质求出在方向上投影的取值范围；‎ ‎（3）根据，其数量积为0，结合△ABM的面积列出方程组，求出a和t2的值．‎ ‎【解答】解：（1）点A（0，2），B（4，4），‎ ‎=（4t2，2t1+4t2）；‎ 若点M在第二或第三象限，且t1=2，‎ 则，‎ 解得t2＜0，且t2≠﹣1；‎ ‎（2），，‎ ‎∴在方向上投影为 ‎||•cos＜，＞=‎ ‎=‎ ‎=4t2+t1‎ ‎=4（sinθ+cosθ）‎ ‎=8sin（θ+）；‎ ‎∴在方向上投影的范围为[﹣8，8]；‎ ‎（3），，‎ 且，‎ ‎∴，；‎ ‎∴点M到直线AB：x﹣y+2=0的距离为：‎ ‎；‎ ‎∴，‎ 解得a=±2，t2=﹣1．‎ ‎　‎ ‎23．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N； 过点M 作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段NJ为直径的圆的方程；‎ ‎（3）已知l1、l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P、Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R；求△PQR面积取最大值时，直线l1的方程．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）设M（x0，y0），则由条件，知x0＞0，y0＞0，且N（﹣x0，﹣y0），H（x0，0）．推导出，进而求得直线NH的方程：．由．再求出线段HJ的中点坐标，由此能求出以线段NJ为直径的圆的方程．‎ ‎（3）当直线l1的斜率为0时，．当直线l1的斜率存在且不为0时，设其方程为y=kx﹣1（k≠0），利用点到直线距离公式、弦长公式、直线垂直、三角形面积公式，结合已知条件能求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．‎ ‎∴由题意，得： ，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）设M（x0，y0），则由条件，知x0＞0，y0＞0，且N（﹣x0，﹣y0），H（x0，0）．‎ 从而．‎ 于是由．‎ 再由点M在椭圆C上，得．‎ 所以，‎ 进而求得直线NH的方程：．‎ 由．‎ 进而．‎ ‎∴以线段NJ为直径的圆的方程为：．‎ ‎（3）当直线l1的斜率不存在时，直线l2与椭圆C相切于点A，不合题意，‎ 当直线l1的斜率为0时，由题意得．‎ 当直线l1的斜率存在且不为0时，设其方程为y=kx﹣1（k≠0），‎ 则点O到直线l1的距 离为，从而由几何意义，得，‎ 由于l2⊥l1，故直线l2的方程为，由题意得它与椭圆C的交点R的坐标为，‎ 于是．‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当时，上式取等号．‎ ‎∵，故当时，，‎ 此时直线l1的方程为：．（也可写成．）‎