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- 2021-06-22 发布
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七、数列中不等式证明
一、解答题
1．【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1n∈N*.
(1)求数列an的通项公式；
(2)证明：a1a2+a2a3+…+anan+1<n2.
【答案】（1）an=2n-1；(2)证明过程见解析
（2）本问主要通过不等式的放缩来对数列求和，根据an=2n-1得akak+1=2k-12k+1-1<2k-12k+1-2=12，所以a1a2+a2a3+…+anan+1<n2.
试题解析：（1）∵an-1=2an+1n∈N*.
∴an+1+1=2an+1，∴an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.
∴an+1=2n，即an=2n-1.
(2)证明：∵akak+1=2k-12k+1-1<2k-12-2k-1-1=2k-122k-1=12，k=1,2,…,n，
∴a1a2+a2a3+…+anan+1<n2.
2．【2017届北京西城35中高三上期中】等差数列满足， ．
（）求的通项公式．
（）设等比数列满足， ，问： 与数列的第几项相等？
（）试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（） （）（）
试题解析：
（）∵是等差数列，
，
∴解出， ，
∴
，
．
（）∵，
，
是等比数列，
，
∴
，
．
又∵，
∴，
∴与数列的第项相等．
（）猜想，即，即，
用数学归纳法证明如下：
①当时， ，显然成立，
②假设当时， 成立，即成立；
则当时，
，
成立，
由①②得，猜想成立．
∴．
3．【2018届河南省洛阳市高三期中】已知数列满足，设.
（I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
（II）设，数列的前项和，求证： .
【答案】（I）；（II）证明见解析.
试题解析：（I）由已知易得，由
得即；
,
又,
是以为首项，以为公比的等比数列.
从而
即，整理得
即数列的通项公式为.
4．【2018届江西省宜春中学高三上第一次诊断】已知等差数列的公差为2，且， ， 成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证： ．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）利用等差数列及等比中项的概念建立关系式，进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结.
试题解析：（1）数列为等差数列，所以： ， ， ，因为， 成等比数列，所以： ，解得： ，所以： .
（2）已知， ①②，①-②得： ，所以：
，由于，所以： ， .
5．【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知数列中， ，其前项的和为，且满足.
(Ⅰ) 求证：数列是等差数列；
(Ⅱ) 证明：
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
试题解析：（Ⅰ）当时， , ， ，
从而构成以4为首项，2为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（1）可知， .
.
6．【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知数列{an}满足：a1=1，an=an-12an-1+1（n≥2）.
（1）求数列an的通项公式；
（2）设数列anan+1的前n项和为Tn，求证：Tn<12.
【答案】（1）an=12n-1（2）见解析
试题解析：（Ⅰ）解：an=an-12an-1+1(n≥2)⇒1an=2an-1+1an-1=1an-1+2(n≥2)，
所以1an是以2为公差的等差数列，a1=1⇒1a1=1，
所以1an=2n-1，
所以数列{an}的通项公式为an=12n-1.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得anan+1=12n-1⋅12n+1=1212n-1-12n+1，
Tn=121-12n+1<12.
7．【2018届四川省双流中学高三9月月考】已知等差数列满足， 的前项和为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设， 为数列的前项和，求证： .
【答案】（1） （2）略
解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，因为，
所以有，解得，
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以
.
8．【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知数列的前项和满足： .
（1）数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，求证： .
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据当时， ，得到数列的递推关系式，再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式；（2）将数列的通项公式代入化简得,再根据大小关系放缩为，最后利用裂项相消法求和得
．
（Ⅱ）证明： ．
由，
所以，
所以．
因为，所以，即．
9．【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1+n-2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log2（an-1)，求证：1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯+1bnbn+1<1．
【答案】(Ⅰ)an=2n+1；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列an的通项公式 ；（Ⅱ）化简bn=log2an-1 =log22n=n，则1bnbn+1=1n-1n+1，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.
试题解析：(Ⅰ)由Sn=2n+1+n-2Sn-1=2n+(n-1)-2(n≥2)，则an=2n+1 (n≥2).
当n=1时，a1=S1=3，综上an=2n+1.
（Ⅱ）由bn=log2(an-1)=log22n=n.
1b1b2+1b2b3+1b3b4+...+1bnbn+1 =11×2+12×3+13×4+...+1n(n+1) =(1-12)+(12-13)+(13-14)+...+(1n-1n+1)
=1-1n+1<1. 得证.
10．【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知， 分别为等差数列和等比数列， ， 的前项和为.函数的导函数是，有，且是函数的零点.
（1）求的值；
（2）若数列公差为，且点，当时所有点都在指数函数的图象上.
请你求出解析式，并证明： .
【答案】（1）,（2）见解析
试题解析：（1）由得，又，所以
∴.
∵的零点为，而是的零点，又是等比数列的首项，所以， ，
∴.
（2）∵，
令的公比为，则.
又都在指数函数的图象上，即，即当时恒成立，
解得.所以.
∵，
因为，所以当时， 有最小值为，所以.
11．【2017届河南省郑州一中下期百校联盟高考复习】已知数列{an}满足f(x)，则an+2=an+2，且a2，a1，a3，a7成等比数列.
（Ⅰ）设bn=an+an+1，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=bn+22nbnbn+1，求证：c1+c2+…+cn<13.
【答案】（Ⅰ）bn =2n+1.（Ⅱ）见解析.
试卷解析：
（Ⅰ）由an+2=an+2及a2，a1，a3，a7成等比数列得{a2⋅a3=a12a1⋅a7=a32，
即{a2(a1+2)=a12a1(a1+6)=(a1+2)2，解得a1=2，a2=1，
又bn=an+an+1，所以b1=a1+a2=3，
bn+1-bn= (an+2+an+1)-(an+1+an) =an+2-an=2，
所以数列{bn}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以bn=3+2(n-1) =2n+1.
（Ⅱ）因为cn=bn+22nbnbn+1= 2n+5(2n+1)(2n+3)2n =2(2n+3)-(2n+1)(2n+1)(2n+3)2n
=1(2n+1)2n-1-1(2n+3)2n.
所以c1+c2+⋯+cn= 13×1-15×2+15×2-17×22+⋯ +1(2n+1)2n-1-1(2n+3)2n
=13-1(2n+3)2n<13.
12．【2017届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知正项数列满足： ， .为数列的前项和.
（Ⅰ）求证：对任意正整数，有；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时， .
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.
试题解析：
（Ⅰ）证法一：因为，
∴时， ，
∴ ，即，
当时， ，综上， .
证法二：考虑到数列的前项和为，猜想，
当时，结论显然成立.假设时， 成立，
则当时，由，得
，结论成立.
综上：对任意，有，
以下同解法一.
从而 ，
当时， ， ，
所以 ，
令
设为不小于的最小整数，取 (即)，
当时， .
13．【2016高考浙江理数】设数列满足，．
（I）证明：，；
（II）若，，证明：，．
【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．
【解析】
试题解析：（I）由得，故
，，
所以
，
因此
．
（II）任取，由（I）知，对于任意，
，
故
．
从而对于任意，均有
．
由的任意性得． ①
否则，存在，有，取正整数且，则
，
与①式矛盾．
综上，对于任意，均有．
14．【2017届北京市东城区东直门中学高三上期中】在数列an中，a1=0，an+1=an2+m，其中m∈R，n∈N*．
（1）当m=1时，求a2，a3，a4的值．
（2）是否存在实物m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？证明你的结论．
（3）当m>14时，证明：存在k∈N*，使得ak>2016．
【答案】（1）a2=1，a3=2，a4=5．（2）存在m=-1±2，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．（3）证明见解析.
（2）∵a2，a3，a4成等差数列，∴a3-a2=a4-a3，
即a22+m-a2=a32+m-a3，∴(a32-a22)-(a3-a2)=0，
∴a3-a2≠0，∴a3+a2-1=0．
将a2=m，a3=m2+m，代入上式，解得m=-1±2．
经检验，此时a2，a3，a4的公差不为0．
∴存在m=-1±2，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．
（3）∵an+1-an=a2n+m-an=an-122+m-14≥m-14，
又m>14，∴令d=m-14>0．
∵an-an-1≥d，an-1-an-2≥d，⋯，a2-a1≥d，
∴an-a1≥(n-1)d，即an≥(n-1)d．
取正整数k>2016d+1，则：
ak≥(k-1)d>d⋅2016d=2016．
故当m>14时，存在k∈N*,使得ak>2016．
15．【2018届江苏省启东中学高三上10月月考】设数列的前项和为，且满足， 为常数．
（1）是否存在数列，使得？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．
（2）当时，求证： ．
（3）当时，求证：当时， ．
【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】试题分析：
试题解析：
（1）若，则，即，即，
则，所以不存在数列使得．
（2）由得，
当时， ，两式相减得，
即， ， ， ，
当时， ，即，综上， ．
（3）证1：由得，
当时， ，两式相减得，
另一方面， ，故．
证2：由得， ，
所以当时， ，
下同证1.
16．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知数列xn满足x1=1，xn+1=2xn+3，求证：
（I）0xn3.
从而xn+1=2xn+3>32xn+3. 即9-xn+1<239-xn，所以9-xn≤23n-19-x1
又x1=1，故xn≥9-8⋅23n-1.
试题解析：
（I）（数学归纳法）
当n=1时，因为x1=1，所以00，
且xk+1-9=2xk-6=2xk-3<0得xk+1<9
所以0xn3.
从而xn+1=2xn+3>32xn+3.
所以xn+1-9>23xn-9，即9-xn+1<239-xn.
所以9-xn≤23n-19-x1.
又x1=1，故xn≥9-8⋅23n-1.
17．【2018届浙江省温州市高三9月测试】已知数列an中，a1=12，an+1=1+anan+12（n∈N*）．
（1）求证：12≤an<1；
（2）求证：1an-1是等差数列；
（3）设bn=n(1+a1)(1+a2)…(1+an)，记数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn<9415 ．
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
试题解析：（1）证明：当n=1时，a1=12，满足12≤an<1，
假设当n=k（k≥1）时，12≤an<1，则当n=k+1时，ak+1=12-ak ∈[23,1)，
即n=k+1时，满足12≤an<1；
所以，当n∈N*时，都有12≤an<1．
（2）由an+1=1+anan+12，得an+1=12-an，
所以an+1-1=12-an-1=-1+an2-an，
即1an+1-1=1an-1-1，
即1an+1-1-1an-1=-1，
所以，数列1an-1是等差数列．
（3）由（2）知，1an-1=-2+(n-1)(-1)=-n-1，
∴an=nn+1，
因此bn+1bn=n+1(1+an+1)n=n2+3n+22n2+3n，
当n≥2时，12n2+18n-(7n2+21n+14)=(5n+7)(n-2)≥0，
即n≥2时，bn+1bn=n2+3n+22n2+3n≤67，
所以n≥2时，bn≤67bn-1≤(67)2bn-2≤…≤(67)n-2b2，
显然bn>0，只需证明n≥3，Sn<9415即可．
当n≥3时，Sn=b1+b2+b3++bn≤23+b2+67b2+(67)2b2+…+(67)n-2b2 =23+45(1-(67)n-1)1-67 =23+285(1-(67)n-1) <23+285=9415．
18．【2017浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟二】已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；
（Ⅲ）设， ， ，求证， ， ．
【答案】(1) ；(2) 的取值范围为；（3）见解析．
又因为点在上，则
即 ，∴
（Ⅱ） 即，∴
由图像可知： ，故的取值范围为．
（Ⅲ），
∴ ， ．
19．【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知数列满足， ，数列的前项和为，证明：当时，
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
法求和得结论
试题解析：证明：（1）由于，则.
若，则，与矛盾，从而，
，
又， 与同号，
又，则，即.
从而
当时， ，从而.
（3），
叠加： .
20．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】在数列中， ， .
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项的和为，试求数列的最小值；
（3）求证：当时， .
【答案】（1）（2）（3）见解析
【解析】试题分析：（1）构造新数列，
则由已知化简可得新数列为首项为2，公比为2的等比数列，即得（2）， ，利用相邻两项的差得数列为单调递增数列，所以最小值为第一项（3）利用（2）中数列分解．
试题解析：解：（1）由条件得，又，所以，因此数列构成首项为2，公比为2的等比数列，从而，因此， ．
（3）当时，
，由（2）知，又， ，
所以．
21．【2017年浙江卷】已知数列满足：
证明：当时
（I）;
（II）；
(III)
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由及，递推可得
试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明： ．
当n=1时，x1=1>0．
假设n=k时，xk>0，
那么n=k+1时，若，则，矛盾，故．
因此．
所以，
因此．
（Ⅲ）因为，
所以，
由，得，
所以，
故．
综上， ．
22．【2017年北京卷】设和是两个等差数列，记 ，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若， ，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时， ；或者存在正整
数，使得是等差数列．
【答案】（1）见解析（2）见解析
试题解析：（Ⅰ）
，
.
当时， ，
所以关于单调递减.
所以.
所以对任意，于是，
所以是等差数列.
（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则
.
所以
①当时，取正整数，则当时， ，因此.
此时， 是等差数列.
③当时，
当时，有.
所以
对任意正数，取正整数，
故当时， .
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