浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题9平面解析几何+第72练双曲线 4页

第72练 双曲线 ‎[基础保分练]‎ ‎1.双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)‎ A.2B.2C.D.1‎ ‎2.(2019·杭州模拟)双曲线x2－＝1的渐近线方程为(　　)‎ A.y＝±x B.y＝±2x C.y＝±x D.y＝±x ‎3.下列方程表示的双曲线的焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)‎ A.x2－＝1 B.－y2＝1‎ C.－x2＝1 D.y2－＝1‎ ‎4.(2019·湖州模拟)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.x2－＝1 D.－＝1‎ ‎5.设F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为(　　)‎ A.B.C.D. ‎6.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎7.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎8.(2019·金华十校联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±2x ‎9.(2018·温州一模)双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为，则该双曲线的标准方程为________，渐近线方程为________.‎ ‎10.(2019·杭州模拟)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P(x0，y0)是双曲线C右支上的一点，连接PF1并过F1作垂直于PF1的直线交双曲线左支于R，Q，其中R(－x0，－y0)，△QF1P为等腰三角形，则双曲线C的离心率为________.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.如图所示，F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A.＋1B.＋1C.D. ‎2.(2019·绍兴模拟)设A(0，b)，点B为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点，线段AB交双曲线一条渐近线于C点，且满足cos∠OCB＝，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A.B.C.D. ‎3.(2019·衢州模拟)已知双曲线－＝1(a，b>0)的左焦点F(－c,0)，其中c满足c>0，且c2＝a2＋b2，直线3x－y＋3c＝0与双曲线在第二象限交于点A，若|OA|＝|OF|(O为坐标原点)，则该双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x ‎4.已知P(x，y)(其中x≠0)为双曲线－x2＝1上任一点，过点P 向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则△PAB的面积为(　　)‎ A. B. C. D.与点P的位置有关 ‎5.(2019·杭州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，以F2为圆心过原点的圆与双曲线在第一象限交于点P，若PF2的中垂线过原点，则离心率为________.‎ ‎6.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为__________.‎ 答案精析 基础保分练 ‎1．A　2.B　3.C　4.C　5.B　6.B　7.B　8.A ‎9.－＝1　y＝±x　10. 能力提升练 ‎1．B　2.D ‎3．C　[因为直线3x－y＋3c＝0过双曲线的左焦点F，连接点A与双曲线的右焦点F2，由|OA|＝|OF|＝c＝|FF2|知AF⊥AF2，故直线AF2的方程为x＋3y－c＝0，所以A，‎ 代入双曲线方程得－＝1，‎ 整理变形为16×－18×－9＝0，即＝，‎ 因为该双曲线的渐近线方程为 y＝±x＝±x，‎ 故选C.]‎ ‎4．C　[双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x，因为PA，PB分别垂直于双曲线的两条渐近线，故设方程y＝2x的倾斜角为α，则tanα＝2，‎ 所以tan∠APB＝tan2α＝＝－，sin∠APB＝，‎ ‎|PA|·|PB|＝·＝＝，‎ 因此△PAB的面积S＝|PA|·|PB|sin∠APB ‎＝××＝，故选C.]‎ ‎5.＋1‎ 解析　由题意知△OPF2为等边三角形，‎ 所以P，‎ 代入双曲线的方程得－＝1，‎ 结合b2＝c2－a2，整理得c4－8a2c2＋4a4＝0，因为e＝，所以e4－8e2＋4＝0，‎ 又e>1，解得e＝＋1.‎ ‎6．12 解析　由已知得a＝1，c＝3，‎ 则F(3,0)，|AF|＝15.‎ 设F1是双曲线的左焦点，‎ 根据双曲线的定义有|PF|－|PF1|＝2，‎ 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2≥|AF1|＋2＝17，‎ 即点P是线段AF1与双曲线左支的交点时，‎ ‎|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2最小，‎ 即△APF周长最小，此时sin∠OAF＝，cos∠PAF＝1－2sin2∠OAF＝，‎ 即有sin∠PAF＝.‎ 由余弦定理得|PF|2＝|PA|2＋|AF|2－2|PA||AF|·cos∠PAF，即(17－|PA|)2＝|PA|2＋152－2|PA|×15×，解得|PA|＝10，于是S△APF＝|PA|·|AF|·sin∠PAF＝×10×15×＝12.‎