2018-2019学年湖北省荆门市高二年级上学期期末质量检测数学（理）试题 解析版 17页

绝密★启用前 湖北省荆门市2018-2019学年度上学期期末高二年级质量检测数学试题（理)‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．经过点，倾斜角为的直线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线的斜率，再由点斜式求得直线的方程．‎ ‎【详解】‎ 倾斜角为的直线的斜率，再根据直线经过点，‎ 由点斜式求得直线的方程为，即，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由点斜式的方法求直线的方程，属于基础题．‎ ‎2．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )‎ A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.‎ 考点：分层抽样．‎ ‎3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为15，则输出N的值为　　‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量N的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得 ‎ 满足条件N能被3整除， ‎ 不满足条件，执行循环体，不满足条件N能被3整除， ‎ 不满足条件，执行循环体，不满足条件N能被3整除， ‎ 满足条件，退出循环，输出N的值为3．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于基础题．‎ ‎4．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设大圆的半径为R，则：，‎ 则大圆面积为：，小圆面积为：，‎ 则满足题意的概率值为：.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.‎ ‎5．设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有（ ）‎ A． ‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A。‎ ‎6．由数字1，2，3，组成的三位数中，各位数字按严格递增如“156”或严格递减如“421”顺序排列的数的个数是　　‎ A．120 B．168 C．204 D．216‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先从9个数字中选出3个数字，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情，由分步计数乘法原理可得结果．‎ ‎【详解】‎ 首先要从9个数字中选出3个数字，共C93种情形，当三个数字确定以后，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，根据分步计数原理知共有2C93＝168.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分步计数原理，确定选排方案是解决问题的关键，属于基础题.‎ ‎7．若直线过点，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为　　‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，‎ 故a＋b＝ab，即，‎ ‎∴，当且仅当a＝b＝2时等号成立．‎ 所以直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4．‎ ‎8．登山族为了了解某山高与气温之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：‎ 气温 ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ 山高 ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为处气温的度数为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可得＝10，＝40，所以＝＋2＝40＋2×10＝60.‎ 所以＝－2x＋60，当＝72时，有－2x＋60＝72，解得x＝－6，故选D.‎ ‎9．若直线：与：平行，则与间的距离为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵直线：与：平行 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴直线与之间的距离为.‎ 故选B.‎ ‎10．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的　　‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由中位数相同，得到，由平均数相同，得到，由此能求出．‎ ‎【详解】‎ 甲、乙两组数据如茎叶图所示，它们的中位数相同，，解得，‎ 平均数也相同，，解得，．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了茎叶图的平均数、中位数等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎11．一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则等于　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，即可求得．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，取得红球的概率为，说明前11次取球中，有9次取得红球、2次取得白球，且底12次取得红球，故=‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，解本题须认真分析P（X=12）的意义，属于基础题．‎ ‎12．已知AC，BD为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为　　‎ A．4 B． C．5 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆心到AC、BD的距离分别为、，则，代入面积公式，利用基本不等式即可求出四边形ABCD的面积的最大值．‎ ‎【详解】‎ 设圆心O到AC、BD的距离分别为、，则．‎ 四边形ABCD的面积为： ‎ ‎，当且仅当时取等号，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆中弦长公式以及基本不等式的应用，四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算是解题的关键，属于基础题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知,则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】含的项的系数为，故填.‎ ‎14．在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图如图，但是年龄组为的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在的人数为______．‎ ‎【答案】160‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设年龄在的志愿者的频率是，则有，解得，故区间内的人数是.‎ 考点：频率分布直方图.‎ ‎15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是　 　．‎ ‎【答案】（2，4）‎ ‎【解析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，‎ P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，‎ 故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．‎ ‎∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1），‎ ‎∴AC，BD的方程分别为：，，‎ 即2x﹣y=0，x+y﹣6=0．‎ 解方程组得Q（2，4）．‎ 故答案为：（2，4）．‎ ‎16．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛每科一人，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为______．‎ ‎【答案】96‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分2种情况讨论：从5名学生中选出的4名学生没有甲；从5名学生中选出的4名学生有甲，再由加法原理计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，分2种情况讨论：‎ ‎：从5名学生中选出的4名学生没有甲，需要将选出的4名学生全排列，参加四科竞赛，有种情况，‎ ‎：从5名学生中选出的4名学生有甲，则甲可以参加数学、物理、化学这三科的竞赛，有3种情况，‎ 在剩余的4名学生中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有种情况，‎ 此时有种情况，‎ 故有种不同的参赛方案种数，‎ 故答案为：96．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了排列、组合的实际应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．求过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程；当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得a的值，从而得到直线方程．‎ ‎【详解】‎ 当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即．‎ 当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得，即直线的方程为.‎ 故满足条件的直线方程为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了用待定系数法求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.‎ ‎18．已知向量，‎ ‎1若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子六个面的点数分别为1，2，3，4，5，先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足的概率；‎ ‎2若x，y在连续区间上取值，求满足的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用列举法确定基本事件，即可求满足的概率；‎ ‎（2）画出满足条件的图形，结合图形找出满足条件的点集对应的图形面积，利用几何概型的概率公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎1将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为，‎ 满足的基本事件为，，，共3个，故概率为 ‎2若x，y在上取值，则全部基本事件的结果为，，‎ 满足的基本事件的结果为，且 画出图形如图所示，矩形的面积为，阴影部分的面积为，故满足的概率为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概率和几何概型的概率计算问题，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎19．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，．‎ 求SC与平面ASD所成的角余弦值；‎ 求平面SAB和平面SCD所成角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立直角坐标系，求出和平面ASD的一个法向量，设SC与平面ASD所成的角为θ，利用向量法求解即可；‎ ‎（2）分别求出平面SAB和平面SCD的法向量，利用向量法求解平面SAB和平面SCD所成角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）建立如图所示的空间直角坐标系，S（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0），＝（2，2，﹣2），∵AB⊥平面SAD，故平面ASD的一个法向量为＝（0，2，0），设SC与平面ASD所成的角为θ，则sinθ＝ = ＝，故cosθ＝，即SC与平面ASD所成的角余弦为：.‎ ‎（2）平面SAB的一个法向量为：＝（1，0，0），∵＝（2，2，﹣2），＝（1，0，﹣2），设平面SCD的一个法向量为＝（x，y，z），由⇒，令z＝1可得平面SCD的一个法向量为＝（2，﹣1，1）显然，平面SAB和平面SCD所成角为锐角，不妨设为α，则cosα＝＝，即平面SAB和平面SCD所成角的余弦值为 . ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二面角的平面角和直线与平面所成角，注意向量法的合理运用，属于中档题.‎ ‎20．如图所示，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统、，当元件A、B、C都正常工作时，系统正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统正常工作；系统，正常工作的概率分别为，，‎ ‎1若元件A、B、C正常工作的概率依次为，，，求，；‎ ‎2若元件A、B、C正常工作的概率的概率都是，求，，并比较，的大小关系．‎ ‎【答案】（1）0.24，0.46；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设元件A、B、C正常工作为事件A，B，C，则A，B，C相互独立，则，，，，，由此能求出结果；‎ ‎，，，由此能比较，的大小关系．‎ ‎【详解】‎ 设元件A、B、C正常工作为事件A，B，C，则A，B，C相互独立，，，‎ 故，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又，故，即 ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎21．2018年9月，台风“山竹”在沿海地区登陆，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集到的数据分成五组：，，，，单位：千元，并作出如下频率分布直方图 经济损失不超过4千元 经济损失超过4千元 合计 捐款超过 ‎500元 ‎60‎ 捐款不超 过500元 ‎10‎ 合计 ‎1台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4千元有关？‎ ‎2将上述调查得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取一户居民，连抽3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4千元的户数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望．‎ 附：临界值表：‎ k 随机变量：，其中．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1由频率分布直方图，结合题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；‎ ‎2由频率估计概率，结合题意知的可能取值，计算对应的频率值，写出分布列，求出数学期望值．‎ ‎【详解】‎ ‎1由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4千元的有70人，经济损失超过4千元的有30人，‎ 则表格数据如下：‎ 经济损失不超过4千元 经济损失超过4千元 合计 捐款超过 ‎500元 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 捐款不超 过500元 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合 计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎，‎ 故有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4千元有关；‎ ‎2由频率分布直方图可知，抽到自身经济损失超过4千元的居民的频率为，‎ 由题意可知：所有可能的取值为0，1，2，3，且；‎ 故，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ 从而的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望为 ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，属于中档题．‎ ‎22．已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心在x轴上且在直线l的右上方．‎ ‎1求圆C的方程；‎ ‎2过点的直线与圆C交于A，B两点在x轴上方，问在x轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1设圆心（a，0），由圆心到直线的距离等于半径列等式解得或，再根据圆心在直线l的右上方可得，从而可得圆的方程；‎ ‎2联立直线与圆的方程消去y的一元二次方程，根据韦达定理和斜率公式列式化简可得．‎ ‎【详解】‎ 设圆C的方程为：，由得或，又圆心在在直线l的右上方，故.‎ 故所求圆C的方程为：.‎ 设过点的直线方程为：‎ 设，，故，假设存在使得x轴平分，则 即，故对任意恒成立，‎ 即恒成立，故即 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，也考查了韦达定理和斜率公式的应用，属于中档题．‎