数学文·河北省唐山市开滦一中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷（文科） Word版含解析x 16页

‎2016-2017学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）‎ ‎1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．135°‎ ‎2．圆心坐标为（4，0）且经过点（0，3）的圆的方程是（　　）‎ A．x2+（y﹣4）2=25 B．（x﹣4）2+y2=25 C．x2+（y﹣4）2=25 D．（x+4）2+y2=25‎ ‎3．下列命题中的假命题是（　　）‎ A．∃x∈R，lg x=0 B．∃x∈R，tan x=1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0‎ ‎4．双曲线﹣=1的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎5．抛物线y=2x2的焦点坐标是（　　）‎ A．（0，） B．（，0） C．（1，0） D．（0，）‎ ‎6．已知P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一个动点，且点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．圆x2+y2﹣6x+8y=0的半径等于（　　）‎ A．25 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎9．“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（　　）‎ A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 ‎11．O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=3，则△POF的面积（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎12．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（　　）‎ A．x=0 B．‎ C． D．‎ ‎　‎ 二．填空（每题5分共20分）‎ ‎13．抛物线x2=4y的准线方程为　　．‎ ‎14．原点到直线x+2y﹣5=0的距离为　　．‎ ‎15．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　　．‎ ‎16．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：解答要有必要的文字说明 ‎17．已知直线l：2x﹣y﹣2=0，点P（1，2）．‎ ‎（1）求过点P（1，2）与直线l平行的直线方程 ‎（2）求过点P（1，2）与直线l垂直的直线方程．‎ ‎18．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴相切，求该圆的标准方程．‎ ‎19．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）若直线l：y=x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．‎ ‎20．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值．‎ ‎21．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2+y2=9相交，公共弦MN的长为，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．‎ ‎22．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求实数k的值；‎ ‎（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）‎ ‎1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．135°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．‎ ‎【解答】解：直线x﹣y+1=0 即 y=x+，故直线的斜率等于，‎ 设直线的倾斜角等于α，则 0≤α＜π，且tanα=，‎ 故 α=30°，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．圆心坐标为（4，0）且经过点（0，3）的圆的方程是（　　）‎ A．x2+（y﹣4）2=25 B．（x﹣4）2+y2=25 C．x2+（y﹣4）2=25 D．（x+4）2+y2=25‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣4）2+y2=R2，‎ 由圆经过点（0，3）得R2=25，从而所求方程为（x﹣4）2+y2=25，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．下列命题中的假命题是（　　）‎ A．∃x∈R，lg x=0 B．∃x∈R，tan x=1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0‎ ‎【考点】特称命题；全称命题．‎ ‎【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断．‎ ‎【解答】解：A、x=1成立；‎ B、x=成立；‎ D、由指数函数的值域来判断．‎ 对于C选项x=﹣1时，（﹣1）3=﹣1＜0，不正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．双曲线﹣=1的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程与渐近线方程的关系，只要将双曲线方程中的“1”换为“0”，化简整理，可得渐近线方程．‎ ‎【解答】解：由双曲线方程与渐近线方程的关系，可得 将双曲线方程中的“1”换为“0”，‎ 即有﹣=0，即为y=±x．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．抛物线y=2x2的焦点坐标是（　　）‎ A．（0，） B．（，0） C．（1，0） D．（0，）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先将方程化成标准形式，即x2=y，求出p=，即可得到焦点坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线y=2x2的方程即x2=y，∴p=，故焦点坐标为（0，），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一个动点，且点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】椭圆的两个顶点（±a，0）．设P（m，n），则=1， =﹣，化简利用离心率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：椭圆的两个顶点（±a，0）．‎ 设P（m，n），则=1， =﹣，‎ ‎∴m2=，m2﹣a2+4n2=0，‎ ‎∴=．‎ ‎∴e===．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．圆x2+y2﹣6x+8y=0的半径等于（　　）‎ A．25 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】圆的一般方程．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准形式，即可求得半径．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣6x+8y=0 即 （x﹣3）2+（y+4）2=25，故此圆的半径为5，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】根据两条直线平行，一次项的系数对应成比例，求得m的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．‎ ‎【解答】解：直线3x+2y﹣3=0即 6x+4y﹣6=0，根据它和6x+my+1=0互相平行，可得，故m=4．‎ 可得它们间的距离为 d==，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复合命题真假关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：当p假q真满足p∨q是真命题，但￢p是假命题不成立，故充分性不成立，‎ 若￢p是假命题，则p是真命题，则p∨q是真命题，即必要性成立，‎ 故“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的必要不充分条件，‎ 故选：C ‎　‎ ‎10．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（　　）‎ A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，‎ 即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，‎ 曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，‎ 即两个双曲线的焦距相等，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=3，则△POF的面积（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=3，求得P点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，代入三角形面积公式计算．‎ ‎【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x ‎∴2p=4，可得=，‎ ‎∴抛物线的准线方程为：x=﹣，焦点F（，0），‎ 又P为C上一点，|PF|=3，∴xP=2，‎ 代入抛物线方程得：|yP|=4，‎ ‎∴S△POF=×|0F|×|yP|=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（　　）‎ A．x=0 B．‎ C． D．‎ ‎【考点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】由于动圆与两个定圆都相切，可分两类考虑，若动圆与两定圆相外切或与两定圆都内切，可以得出动圆与两定圆圆心的距离相等，故动圆圆心M 的轨迹是一条直线，且是两定圆圆心连线段的垂直平分线．若一内切一外切，则到两圆圆心的距离差是一个常数，由双曲线的定义知，此种情况下轨迹是双曲线．‎ ‎【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，‎ ‎∴|MC1|=|MC2|，即M点在线段C1，C2的垂直平分线上 又C1，C2的坐标分别为（﹣4，0）与（4，0）‎ ‎∴其垂直平分线为y轴，‎ ‎∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0‎ ‎②若一内切一外切，不妨令与圆C1：（x+4）2+y2=2内切，与圆C2：（x﹣4）2+y2=2外切，则有M到（4，0）的距离减到（﹣4，0）的距离的差是2，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以（﹣4，0）与（4，0）为焦点，以为实半轴长的双曲线，故可得b2=c2﹣a2=14，故此双曲线的方程为 综①②知，动圆M的轨迹方程为 应选D．‎ ‎　‎ 二．填空（每题5分共20分）‎ ‎13．抛物线x2=4y的准线方程为　y=﹣1　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣即可求得抛物线x2=4y的准线方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程为x2=4y，‎ ‎∴其准线方程为：y=﹣1．‎ 故答案为：y=﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．原点到直线x+2y﹣5=0的距离为　　．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】用点到直线的距离公式直接求解．‎ ‎【解答】解析：根据点到直线的距离公式，得d==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），即可得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2，得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2．进而得到双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．‎ 由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），∴c=2．‎ 又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3．‎ ‎∴双曲线的方程为．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎16．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=　20　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意作出图象，设线段MN的中点为D，连结DF1，DF2，用椭圆的定义解答即可．‎ ‎【解答】解：如图，设线段MN的中点为D，‎ 连结DF1，DF2，‎ 则DF1，DF2，分别是△AMN，△BMN的中位线，‎ 则|AN|+|BN|=2|DF1|+2|DF2|‎ ‎=2（|DF1|+|DF2|）=2×2a=4×5=20．‎ 故答案为：20‎ ‎　‎ 三．解答题：解答要有必要的文字说明 ‎17．已知直线l：2x﹣y﹣2=0，点P（1，2）．‎ ‎（1）求过点P（1，2）与直线l平行的直线方程 ‎（2）求过点P（1，2）与直线l垂直的直线方程．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】（1）设所求直线2x﹣y+m=0，将点P（1，2）代入上述方程解得m即可得出所求直线．‎ ‎（2）已知直线斜率为2，则所求直线斜率是，设方程y=﹣x+t，将点P（1，2）代入解得t即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设所求直线2x﹣y+m=0，将点P（1，2）代入得2﹣2+m=0，解得m=0．‎ 所求直线为2x﹣y=0．‎ ‎（2）∵已知直线斜率为2，则所求直线斜率是，设方程y=﹣x+t，‎ 将点P（1，2）代入2=×1+t，解得t=．‎ 所求方程y=﹣x+，即x+2y﹣5=0．‎ ‎　‎ ‎18．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴相切，求该圆的标准方程．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x﹣3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，‎ ‎∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），‎ 则1=，又 a＞0，∴a=2，‎ ‎∴该圆的标准方程是 （x﹣2）2+（y﹣1）2=1．‎ ‎　‎ ‎19．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）若直线l：y=x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）确定双曲线的几何量，即可求双曲线C的方程；‎ ‎（2）由直线与双曲线联立得2x2+12x+15=0，解得x=﹣3±，利用弦长公式，即可求弦长|AB|．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得a=，c=2，再由c2=a2+b2，得b2=1，‎ 所以双曲线C的方程为﹣y2=1．‎ ‎（2）由直线与双曲线联立得2x2+12x+15=0，解得x=﹣3±．‎ ‎∴|AB|==2．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，建立方程，即可求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）将y=k（x+1）代入椭圆方程，利用韦达定理，及线段AB中点的横坐标为，可求斜率k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意，满足a2=b2+c2，，…‎ 解得，则椭圆方程为…‎ ‎（Ⅱ）将y=k（x+1）代入中得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0…‎ ‎△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，所以…‎ 因为AB中点的横坐标为，所以，解得…‎ ‎　‎ ‎21．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2+y2=9相交，公共弦MN的长为，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据公共弦长为，设M（m，﹣）、N（m，），代入圆方程解出m=±2，从而得出点M、N的坐标．再设抛物线方程为x2=2ay（a≠0），代入M、N坐标解出a值，即可得到抛物线的方程，进而可得抛物线的焦点坐标与准线方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线与圆x2+y2=9相交，公共弦MN的长为，‎ ‎∴设M（﹣，m）、N（，m）．‎ 将M、N坐标代入圆方程，得5+m2=9，解得m=±2，‎ ‎∴M（﹣，2）、N（，2），或M（﹣，﹣2）、N（，﹣2），‎ 设抛物线方程为x2=2ay（a≠0），‎ ‎∵点M、N在抛物线上，‎ ‎∴5=2a×（±2），解得2a=±，‎ 故抛物线的方程为x2=y或x2=﹣y．‎ 抛物线x2=y的焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣；‎ 抛物线x2=﹣y的焦点坐标为（0，﹣），准线方程为y=．‎ ‎　‎ ‎22．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求实数k的值；‎ ‎（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用；点到直线的距离公式；圆的标准方程．‎ ‎【分析】（I）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；‎ ‎（II）方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离，即可求得实数k的值；‎ 方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及=x1•x2+y1•y2=，即可求得k的值；‎ ‎（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，求得，根据垂径定理和勾股定理得到，，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值；‎ 方法二：当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，可求面积S；当直线l的斜率k≠0时，设，则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．‎ 因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，‎ 所以 解得a=0，r=2，…‎ 所以圆C的方程是x2+y2=4．…‎ ‎（II）方法一：因为，…‎ 所以，∠POQ=120°，…‎ 所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，…‎ 又，所以k=0．…‎ 方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 因为，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0．…‎ 由题意得：…‎ 因为=x1•x2+y1•y2=﹣2，‎ 又，‎ 所以x1•x2+y1•y2=，…‎ 化简得：﹣5k2﹣3+3（k2+1）=0，‎ 所以k2=0，即k=0．…‎ ‎（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．‎ 因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有，…‎ 又根据垂径定理和勾股定理得到，，…‎ 而，即 ‎…‎ 当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…‎ 方法二：设四边形PMQN的面积为S．‎ 当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时．…‎ 当直线l的斜率k≠0时，设 则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0‎ 所以 同理得到．…‎ ‎=…‎ 因为，‎ 所以，…‎ 当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…‎ ‎　‎ ‎2016年11月20日