数学文·福建省福州市闽侯三中2017届高三上学期第一次月卷数学试卷（文科） Word版含解析 18页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三（上）第一次月卷数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 ‎1．已知A={x|x+1≥0}，B={y|y2﹣4＞0}，全集I=R，则A∩（∁IB）为（　　）‎ A．{x|x≥2或x≤﹣2} B．{x|x≥﹣1或x≤2} C．{x|﹣1≤x≤2} D．{x|﹣2≤x≤﹣1}‎ ‎2．已知cosα=﹣，α为第二象限角，则﹣=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=（　　）‎ A．60 B．70 C．80 D．90‎ ‎4．函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（　　）‎ A． B． C． D．π ‎5．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（　　）‎ A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10‎ ‎6．关于x的不等式|x+cos2θ|≤sin2θ的解是（　　）‎ A．cos2θ≤x≤1 B．﹣1≤x≤﹣cos2θ C．﹣cos2θ≤x≤1 D．﹣1≤x≤cos2θ ‎7．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（　　）‎ A．m∥α，n∥β，m∥n B．m∥α，n⊥β，m∥n C．m⊥α，n∥β，m⊥n D．m⊥α，n⊥β，m∥n ‎8．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，BB1，A1B1的中点，则点G到平面EFD1的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派方法种数是（　　）‎ A．70 B．140 C．420 D．840‎ ‎10．F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若|PF1|=9，则|PF2|=（　　）‎ A．1 B．17 C．1或17 D．9‎ ‎11．已知二次函数f（x）=2ax2﹣ax+1（a＜0），若x1＜x2，x1+x2=0，则f（x1）与f（x2）的大小关系为（　　）‎ A．f（x1）=f（x2） B．f（x1）＞f（x2） C．f（x1）＜f（x2） D．与a值有关 ‎12．已知O是平面上一定点，A﹑B﹑C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13．二项式（﹣）6展开式中常数项为　　．‎ ‎14．经过点P（2，﹣3）作圆x2+2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为　　．‎ ‎15．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是　　．‎ ‎16．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的部分数值如表：‎ x ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎﹣80‎ ‎﹣24‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎16‎ ‎60‎ ‎144‎ ‎280‎ 则函数y=lgf（x）的定义域为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），•=﹣sin2C．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．‎ ‎18．中国海关规定，某类产品的每批产品在出口前要依次进行五项检验，如果有两项指标不合格，则这批产品不能出口，后面的几项指标不再检验，已知每项指标抽检不合格的概率都是0.2，现有一批产品准备出口而进行检验．‎ ‎（1）求这批产品不能出口的概率；‎ ‎（2）求必须要五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品能否出口的概率．（精确到两位数）参考数据：0.83=0.512，0.84=0.4096，0.85=0.32768．‎ ‎19．如图：在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥PD；‎ ‎（Ⅱ）求直线PF与平面PBD所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求二面角E﹣PF﹣B的正切值．‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和Sn满足：S1=1，3Sn=（n+2）an．‎ ‎（1）求a2，a3的值； ‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式； ‎ ‎（3）求的和．‎ ‎21．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f（a•b）=af（b）+bf（a）．‎ ‎（1）求f（0），f（1）的值；‎ ‎（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；‎ ‎（3）若f（）=﹣，令bn=，Sn表示数列{bn}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+Sn﹣1=（Sn﹣1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试什么理由．‎ ‎22．已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx﹣1与曲线E交于A、B两点．‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求m的值和△ABC的面积S．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三（上）第一次月卷数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 ‎1．已知A={x|x+1≥0}，B={y|y2﹣4＞0}，全集I=R，则A∩（∁IB）为（　　）‎ A．{x|x≥2或x≤﹣2} B．{x|x≥﹣1或x≤2} C．{x|﹣1≤x≤2} D．{x|﹣2≤x≤﹣1}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】先化简集合A，B，B补集与A的交集确定．‎ ‎【解答】解：∵A={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1}，B={y|y2﹣4＞0}={y|y＞2或y＜﹣2}，‎ ‎∴∁IB={y|﹣2≤y≤2}，‎ ‎∴A∩（∁IB）={x|﹣1≤x≤2}‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知cosα=﹣，α为第二象限角，则﹣=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用诱导公式，求得要求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵cosα=﹣，α为第二象限角，∴sinα==，‎ 则﹣==﹣2sinα=﹣，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=（　　）‎ A．60 B．70 C．80 D．90‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】先求出总体中中A种型号产品所占的比例，是样本中A种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量．‎ ‎【解答】解：由题意知，总体中中A种型号产品所占的比例是=，‎ 因样本中A种型号产品有16件，则×n=16，解得n=80．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（　　）‎ A． B． C． D．π ‎【考点】余弦函数的图象；余弦函数的对称性．‎ ‎【分析】先根据函数的表达式求出函数的最小正周期，然后根据两向量对称轴间的距离等于半个周期可得答案．‎ ‎【解答】解：对于，T=‎ ‎∴两条相邻对称轴间的距离为=‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（　　）‎ A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】利用等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，‎ ‎∴（a1+4）2=a1（a1+6），‎ ‎∴a1=﹣8，‎ ‎∴a2=﹣6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．关于x的不等式|x+cos2θ|≤sin2θ的解是（　　）‎ A．cos2θ≤x≤1 B．﹣1≤x≤﹣cos2θ C．﹣cos2θ≤x≤1 D．﹣1≤x≤cos2θ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】利用绝对值不等式展开，再由同角三角函数的基本关系式与倍角公式化简得答案．‎ ‎【解答】解：由|x+cos2θ|≤sin2θ，得﹣sin2θ≤x+cos2θ≤sin2θ，‎ 即﹣（sin2θ+cos2θ）≤x≤﹣（cos2θ﹣sin2θ），‎ ‎∴﹣1≤x≤﹣cos2θ．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（　　）‎ A．m∥α，n∥β，m∥n B．m∥α，n⊥β，m∥n C．m⊥α，n∥β，m⊥n D．m⊥α，n⊥β，m∥n ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】正确命题加以论证，不正确命题举出反例，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：A：若m∥α，n∥β，m∥n，则α，β平行或相交，故A不正确．‎ B：m∥α，n⊥β，m∥n可得α⊥β，所以B不正确．‎ C：若m⊥α，n∥β，m⊥n可得α，β相交，所以C不正确．‎ D：若m⊥α，m∥n，可得n⊥α，由于n⊥β可得α∥β，所以D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，BB1，A1B1的中点，则点G到平面EFD1的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】根据A1B1∥EF得出点G到平面D1EF的距离是A1到平面D1EF的距离，由三角形面积可得所求距离．‎ ‎【解答】解：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，‎ 所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，‎ 即是A1到D1E的距离，‎ D1E==，‎ 由三角形面积可得所求距离为=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派方法种数是（　　）‎ A．70 B．140 C．420 D．840‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，有C93种选法，再排除其中只选派3名男公务员的方案数为C53=10，只有女公务员的方案为C43种，最后分别派到西部的三个不同地区，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：由题意，从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，有C93种选法，再排除其中只选派3名男公务员的方案数为C53=10，只有女公务员的方案为C43种，‎ 利用间接法可得有C93﹣C53﹣C43种方法，‎ 分别派到西部的三个不同地区共有A33（C93﹣C53﹣C43）=420．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若|PF1|=9，则|PF2|=（　　）‎ A．1 B．17 C．1或17 D．9‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】首先根据双曲线的标准方程求得a的值然后根据定义|PF1|﹣|PF2|=±2a求解．‎ ‎【解答】解：F1、F2是双曲线=1的焦点，2a=8，‎ 点P在双曲线上 ‎（1）当P点在左支上时，|PF1|﹣|PF2|=﹣2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=17‎ ‎（2）当P点在右支上时，|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=1‎ 故选：C ‎　‎ ‎11．已知二次函数f（x）=2ax2﹣ax+1（a＜0），若x1＜x2，x1+x2=0，则f（x1）与f（x2）的大小关系为（　　）‎ A．f（x1）=f（x2） B．f（x1）＞f（x2） C．f（x1）＜f（x2） D．与a值有关 ‎【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．‎ ‎【分析】由题意可得，对称轴x=，开口向下，x1＜0＜x2，且x2=﹣x1，根据开口向下的二次函数，距对称轴越远，函数值越小的性质可判断函数值的大小 ‎【解答】解：∵f（x）=2ax2﹣ax+1（a＜0）的对称轴x=，开口向下 又∵x1＜x2，x1+x2=0，‎ ‎∴x1＜0＜x2，且x2=﹣x1‎ 则x1距离对称轴x=较远 根据开口向下的二次函数，距对称轴越远，函数值越小的性质可知，f（x1）＜f（x2）‎ 故选C ‎　‎ ‎12．已知O是平面上一定点，A﹑B﹑C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 ‎【考点】空间向量的加减法．‎ ‎【分析】将=提取出来，转化成λt（+），而λt（+）表示与共线的向量，点D是BC的中点，故P的轨迹一定通过三角形的重心．‎ ‎【解答】解：∵=设它们等于t，‎ ‎∴=+λ（+）‎ 而+=2‎ λ（+）表示与共线的向量 而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．故选C ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13．二项式（﹣）6展开式中常数项为　60　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项的值．‎ ‎【解答】解：二项式（﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣2）r•，‎ 令=0，求得r=2，故展开式中常数项为•22=60，‎ 故答案为：60．‎ ‎　‎ ‎14．经过点P（2，﹣3）作圆x2+2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为　x﹣y﹣5=0　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆心坐标以及半径．因为点P在圆内，则过点P且被点P平分的弦AB所在的直线与点P与圆心的连线垂直．根据两直线垂直的性质确定此直线的斜率．从而确定直线方程．‎ ‎【解答】解；将圆x2+2x+y2=24化为标准方程，得 ‎（x+1）2+y2=25‎ ‎∴圆心坐标O（﹣1，0），半径r=5‎ ‎∵（2+1）2+（﹣3）2=18＜25‎ ‎∴点P在圆内 又∵点P平分弦AB ‎∴OP⊥AB ‎∵‎ ‎∴弦AB所在直线的斜率k=1‎ 又直线过点P（2，﹣3）‎ ‎∴直线方程为：y﹣（﹣3）=x﹣2‎ 即x﹣y﹣5=0‎ ‎　‎ ‎15．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是　15　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，‎ 直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，‎ 由，解得，‎ 即A（5，5），‎ 此时zmax=2×5+5=15．‎ 故答案为：15‎ ‎　‎ ‎16．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的部分数值如表：‎ x ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎﹣80‎ ‎﹣24‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎16‎ ‎60‎ ‎144‎ ‎280‎ 则函数y=lgf（x）的定义域为　（﹣1，1）∪（2，+∞）　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法；函数的图象．‎ ‎【分析】函数y=lgf（x），而f（x）=ax3+bx2+cx+d，可知y是一个复合函数，y=lgf（x）是对数型复合函数，所以f（x）＞0，由表中的数据可知f（x）单调性 ‎【解答】解：函数y=lgf（x）是对数型复合函数，∴f（x）＞0，由表中的数据可知f（x）单调性：‎ 当x＞2时，f（x）＞0；‎ ‎ 当﹣1＜x＜1时，f（x）＞0； ‎ 当x＜﹣1时，f（x）＜0；‎ 所以：函数y=lgf（x）的定义域为（﹣1，1）∪（2，+∞），‎ 故答案为：（﹣1，1）∪（2，+∞）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），•=﹣sin2C．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）进行数量积的坐标运算便可得出sin（A+B）=﹣sin2C，进而可求出cosC=，从而得出C=；‎ ‎（2）根据余弦定理及不等式a2+b2≥2ab即可得出3ab≤12，进而得到ab≤4，这样根据三角形面积公式即可求出△ABC面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）=sin（A+B）=sinC=﹣sin2C；‎ 即sinC=﹣2sinCcosC，且sinC＞0；‎ ‎∴；‎ ‎∵0＜C＜π；‎ ‎∴；‎ ‎（2）根据余弦定理，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab≥2ab+ab；‎ ‎∴3ab≤12；‎ ‎∴ab≤4，当且仅当a=b=2时取等号；‎ ‎∴；‎ ‎∴△ABC的面积的最大值是．‎ ‎　‎ ‎18．中国海关规定，某类产品的每批产品在出口前要依次进行五项检验，如果有两项指标不合格，则这批产品不能出口，后面的几项指标不再检验，已知每项指标抽检不合格的概率都是0.2，现有一批产品准备出口而进行检验．‎ ‎（1）求这批产品不能出口的概率；‎ ‎（2）求必须要五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品能否出口的概率．（精确到两位数）参考数据：0.83=0.512，0.84=0.4096，0.85=0.32768．‎ ‎【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．‎ ‎【分析】（1）先求出这批产品能出口的概率，再用1减去此概率，即为所求．‎ ‎（2）根据相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得要求得必须要五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品能否出口的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得，每项指标合格的概率为0.8，则这批产品能出口的概率为0.85+•0.2•0.84=0.74，‎ ‎∴这批产品不能出口的概率为1﹣0.74=0.26．‎ ‎（2）必须要五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品能否出口，说明前4项指标中只有1项不合格，‎ 故它的概率为•0.2•0.83≈0.41．‎ ‎　‎ ‎19．如图：在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥PD；‎ ‎（Ⅱ）求直线PF与平面PBD所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求二面角E﹣PF﹣B的正切值．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】解法一：（Ⅰ）因为EF∥AC，故只要证PD⊥AC，由三垂线定理可证；‎ ‎（Ⅱ）因为面PBD⊥面ABC，故只需过电F作BD的垂线，因为EF⊥BD，交点为O，则∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角，求解即可．‎ ‎（Ⅲ）由EB⊥面PBC，故可有三垂线定理法作出二面角的平面角．过点B作BM⊥PF于点M，连接EM，则∠EMB为二面角E﹣PF﹣B的平面角 再在△EBM中求解即可．‎ 解法二：（向量法）因为BA、BC、BP两两垂直，故可建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．‎ ‎（Ⅰ）只要证即可 ‎（Ⅱ）求出平面PBD的法向量，法向量和夹角的余弦的绝对值即为直线PF与平面PBD所成的角的正弦值．‎ ‎（Ⅲ）分别求出两个面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值，再求正切．‎ ‎【解答】解：法一 ‎（Ⅰ）连接BD、在△ABC中，∠B=90°．‎ ‎∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC．‎ 又∵PB⊥面ABC，即BD为PD在平面ABC内的射影，‎ ‎∴PD⊥AC．‎ ‎∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，‎ ‎∴EF⊥PD．‎ ‎（Ⅱ）∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥EF．‎ 连接BD交EF于点O，∵EF⊥PB，EF⊥PD，∴EF⊥平面PBD，‎ ‎∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角，EF⊥PO．‎ ‎．∵PB⊥面ABC，∴PB⊥AB，PB⊥BC，又∵∠PAB=45°，‎ ‎∴PB=AB=2．∵，∴，‎ ‎∴在Rt△FPO中，，∴．‎ ‎（Ⅲ）过点B作BM⊥PF于点M，连接EM，∵AB⊥PB，AB⊥BC，‎ ‎∴AB⊥平面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影，‎ ‎∴EM⊥PF，∴∠EMB为二面角E﹣PF﹣B的平面角．‎ ‎∵Rt△PBF中，，∴．‎ 法二：建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图，‎ 则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），‎ E（1，0，0），F（0，1，0），P（0，0，2）．‎ ‎（Ⅰ）∵，，‎ ‎∴∴EF⊥PD．‎ ‎（Ⅱ）由已知可得，为平面PBD的法向量，，∴，‎ ‎∴直线PF与面PBD所成角的正弦值为．‎ ‎∴直线PF与面PBD所成的角为．‎ ‎（Ⅲ）设平面PEF的一个法向量为a=（x，y，z），‎ ‎∵，‎ ‎∴a，a，令z=1，∴a=（2，2，1）‎ 由已知可得，向量为平面PBF的一个法向量，‎ ‎∴cos＜a，∴tan＜a．‎ ‎∴二面角E﹣PF﹣B的正切值为．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和Sn满足：S1=1，3Sn=（n+2）an．‎ ‎（1）求a2，a3的值； ‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式； ‎ ‎（3）求的和．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用递推式分别令n=2，3即可得出；‎ ‎（2）当n≥2时，由3Sn=（n+2）an，3Sn﹣1=（n+1）an﹣1，两式相减得．再利用“累乘求积”…•即可得出；‎ ‎（3）利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）当n=2时，3S2=4a2，∴3（a1+a2）=4a2，化为a2=3a1=3．‎ 当n=3时，得3S3=5a3，∴3（a1+a2+a3）=5a3，代入得3（1+3+a3）=5a3，解得a3=6．‎ ‎（2）当n≥2时，由3Sn=（n+2）an，3Sn﹣1=（n+1）an﹣1，两式相减得3an=（n+2）an﹣（n+1）an﹣1，‎ 化为．‎ ‎∴…•=…•=．‎ ‎（3）由（2）可得： =．‎ ‎∴=…+‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎21．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f（a•b）=af（b）+bf（a）．‎ ‎（1）求f（0），f（1）的值；‎ ‎（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；‎ ‎（3）若f（）=﹣，令bn=，Sn表示数列{bn}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+Sn﹣1=（Sn﹣1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试什么理由．‎ ‎【考点】数列与函数的综合；函数奇偶性的判断；函数恒成立问题；数列的函数特性；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）令a=b=0，得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0，令a=b=1，得f（1）=1•f（1）+1•f（1），故可解；‎ ‎（2）令a=b=﹣1，可得f（﹣1）=0；令a=﹣1，b=x，可得f（﹣x）=﹣f（x），故可得f（x）是奇函数；‎ ‎（3）先可得，即nSn﹣（n﹣1）Sn﹣1=Sn﹣1+1，从而（n﹣1）Sn﹣1﹣（n﹣2）Sn﹣2=Sn﹣2+1，…，S2﹣S1=S1+1由此可得S1+S2+…Sn﹣1=nSn﹣n=（Sn﹣1）•n（n≥2），故可解．‎ ‎【解答】解：（1）令a=b=0，得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0．‎ 令a=b=1，得f（1）=1•f（1）+1•f（1），∴f（1）=0．‎ ‎（2）令a=b=﹣1，得f（1）=f[（﹣1）•（﹣1）]=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1）=﹣2f（﹣1），∴f（﹣1）=0．‎ 令a=﹣1，b=x，得f（﹣x）=f（﹣1•x）=﹣1•f（x）+x•f（﹣1）=﹣f（x）+0=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数．‎ ‎（3）当．‎ 令，∴g（an）=ng（a）．‎ ‎∴f（an）=an•g（an）=n•an•g（a）=n•an﹣1•f（a）．‎ ‎∵‎ ‎∴f（2）=2，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 即nSn﹣（n﹣1）Sn﹣1=Sn﹣1+1，‎ ‎∴（n﹣1）Sn﹣1﹣（n﹣2）Sn﹣2=Sn﹣2+1，…，2S2﹣S1=S1+1，‎ ‎∴nSn﹣S1=S1+S2+…+Sn﹣1+n﹣1，‎ ‎∴S1+S2+…Sn﹣1=nSn﹣n=（Sn﹣1）•n（n≥2）‎ ‎∴g（n）=n．‎ 故存在关于n的整式g （n）=n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立 ‎ ‎　‎ ‎22．已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx﹣1与曲线E交于A、B两点．‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求m的值和△ABC的面积S．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）首先根据曲线的定义判断出曲线E是双曲线的左支，a和c已知，则可求得b，曲线E的方程可得．设出A，B的坐标，把直线方程与双曲线方程联立消去y，进而根据直线与双曲线左支交于两点A，B，联立不等式求得k的范围．‎ ‎（Ⅱ）根据弦长公式求得|AB|的表达式，根据结果为6求得k，则直线AB的方程可得，设C（x0，y0），根据，可得；根据x1+x2和y1+y2的值求得C点的坐标，代入双曲线方程求得m的值，进而求得点C到直线AB的距离，最后利用三角形面积公式求得三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，‎ 且，易知b=1‎ 故曲线E的方程为x2﹣y2=1（x＜0）‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组 消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0‎ 又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有 解得．‎ ‎（Ⅱ）∵‎ ‎==‎ ‎=‎ 依题意得 整理后得28k4﹣55k2+25=0‎ ‎∴或 但∴‎ 故直线AB的方程为 设C（x0，y0），由已知，得（x1，y1）+（x2，y2）=（mx0，my0）‎ ‎∴，（m≠0）‎ 又，‎ ‎∴点C 将点C的坐标代入曲线E的方程，得得m=±4，‎ 但当m=﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ‎∴m=4，点C的坐标为C到AB的距离为 ‎∴△ABC的面积 ‎　‎ ‎2016年11月25日