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  • 2021-06-22 发布

专题14 坐标系与参数方程(高考押题)-2017年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破

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‎ 1.在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为ρsin=1,圆C的圆心的极坐标是C,圆的半径为1.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)求直线l被圆C所截得的弦长.‎ ‎ 2.已知直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.‎ ‎【解析】:(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.①‎ 将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②‎ ‎(2)将(t为参数)代入②式,‎ 得t2+5+18=0.‎ 设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),‎ 以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=,曲线C2的极坐标方程为ρ=2acos(a>0).‎ ‎(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π);‎ ‎(2)若直线l与C2相切,求a的值.‎ ‎4.已知曲线C1:x+y=和C2:(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.‎ ‎ (1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)设C1与x,y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P,若射线OP与C1,C2交于P,Q两点,求P,Q两点间的距离.‎ ‎【解析】:(1)曲线C1化为ρcos θ+ρsin θ=,‎ ‎∴ρsin=.‎ 曲线C2化为+=1.(*)‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(*)式,‎ 得cos2θ+sin2θ=1,即ρ2(cos2θ+3sin2θ)=6,‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ2=.‎ ‎(2)∵M(,0),N(0,1),所以P,‎ ‎∴OP的极坐标方程为θ=,‎ 把θ=代入ρsin=得ρ1=1,P.‎ 把θ=代入ρ2=得ρ2=2,Q.‎ ‎∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q两点间的距离为1. ‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,‎ 曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,θ∈0,2π).‎ ‎ (1)求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)在曲线C上求一点D,使它到直线l:(t为参数,t∈R)的距离最短,并求出点D的直角坐标.‎ ‎6.已知曲线C1:ρ=2和曲线C2:ρcos=,则C1上到C2的距离等于的点的个数为________.‎ ‎【答案】 3‎ ‎【解析】 将方程ρ=2与ρcos=化为直角坐标方程得x2+y2=(2)2与x-y-2=0,知C1为以坐标原点为圆心,半径为2的圆,C2为直线,因圆心到直线x-y-2=0的距离为,故满足条件的点的个数为3. ‎ ‎7.在直角坐标系xOy中,曲线C1参数方程为(α为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为ρ(cos θ-sin θ)+1=0,则曲线C1与C2的交点个数为________.‎ ‎【答案】 2‎ ‎8.在极坐标系中,ρ=4sin θ是圆的极坐标方程,则点A到圆心C的距离是________.‎ ‎【答案】 2 ‎【解析】 将圆的极坐标方程ρ=4sin θ化为直角坐标方程为x2+y2-4y=0,圆心坐标为(0,2).又易知点A的直角坐标系为(2,2),故点A到圆心的距离为=2.‎ ‎9.在极坐标系中,点M到曲线ρcos=2上的点的距离的最小值为________.‎ ‎【答案】 2‎ ‎10.在平面直角坐标系下,曲线C1:(t为参数),‎ 曲线C2:(θ为参数),若曲线C1,C2有公共点,则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】 1-,1+]‎ ‎【解析】 曲线C1的直角坐标方程为x+2y-2a=0,‎ 曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-1)2=4,圆心为(0,1),半径为2,‎ 若曲线C1,C2有公共点,‎ 则有圆心到直线的距离≤2,‎ 即|a-1|≤,‎ ‎∴1-≤a≤1+,‎ 即实数a的取值范围是1-,1+].‎ ‎11.已知曲线C的参数方程为(t为参数),曲线C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为________.‎ ‎【答案】 ρcos θ+ρsin θ=2‎ ‎12.已知点P(x,y)在曲线(θ为参数,θ∈R)上,则的取值范围是________.‎ ‎【答案】  ‎【解析】 消去参数θ得曲线的标准方程为(x+2)2+y2=1,‎ 圆心为(-2,0),半径为1.‎ 设=k,则直线y=kx,‎ 即kx-y=0,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离d==1,‎ 即|2k|=,平方得 ‎4k2=k2+1,k2=,解得k=±,‎ 由图形知k的取值范围是-≤k≤,‎ 即的取值范围是.‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程是(θ为参数).‎ ‎(1)将C1的方程化为普通方程;‎ ‎(2)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线C2的极坐标方程是θ=,求曲线C1与C2的交点的极坐标.‎ ‎14.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).‎ ‎(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;‎ ‎(2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A,B两点,求|AB|的值.‎ ‎【解析】 (1)C1:(x+2)2+(y-1)2=1,C2:+=1.‎ 曲线C1为圆心是(-2,1)、半径是1的圆.‎ 曲线C2为中心是坐标原点、焦点在x轴上、长轴长是8、短轴长是6的椭圆.‎ ‎(2)曲线C2的左顶点为(-4,0),则直线l的参数方程为(s为参数),‎ 将其代入曲线C1整理可得:s2-3s+4=0,设A,B对应参数分别为s1,s2,则s1+s2=3,s1s2=4.‎ 所以|AB|===.‎ ‎15.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),已知过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为:(t为参数),直线l与曲线C分别交于M,N两点.‎ ‎(1)写出曲线C和直线l的普通方程;‎ ‎(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.‎ ‎【解析】 (1)y2=2ax,y=x-2.‎ ‎(2)直线l的参数方程为(t为参数),‎ 代入y2=2ax,得到t2-2(4+a)t+8(4+a)=0,则有t1+t2=2(4+a),t1·t2=8(4+a),‎ ‎∵|MN|2=|PM|·|PN|,‎ ‎∴(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1·t2=t1·t2,‎ 即a2+3a-4=0.解得a=1或a=-4(舍去).‎ ‎16.在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=cos θ.‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若P,Q分别是曲线C1和C2上的任意一点,求|PQ|的最小值.‎ ‎17.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的极坐标方程为ρcos=2.‎ ‎(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离.‎ ‎18.在直角坐标平面内,直线l过点P(1,1),且倾斜角α=.以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线l与圆C交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.‎ ‎【解析】:(1)∵ρ=4sin θ,∴ρ2=4ρsin θ,‎ 则x2+y2-4y=0,‎ 即圆C的直角坐标方程为x2+y2-4y=0.‎ ‎(2)由题意,得直线l的参数方程为 (t为参数).‎ 将该方程代入圆C的方程x2+y2-4y=0,‎ 得+-4=0,‎ 即t2=2,∴t1=,t2=-.‎ 即|PA|·|PB|=|t1t2|=2.‎ ‎19.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.‎ ‎(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)直线l与直线C2交于A,B两点,若|AB|≥2,求实数a的取值范围.‎ ‎20.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ-2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的参数方程;‎ ‎(2)当α=时,求直线l与曲线C交点的极坐标.‎ ‎【解析】:(1)由ρ=2sin θ-2cos θ,‎ 可得ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ.‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,‎ ‎21.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l:(t为参数)与曲线C相交于M,N两点.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;‎ ‎(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.‎ ‎【解析】:(1)把代入ρsin2θ=2acos θ,得y2=2ax(a>0),‎ 由(t为参数),消去t得x-y-2=0,‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是 y2=2ax(a>0),x-y-2=0.‎ ‎(2)将(t为参数)代入y2=2ax,‎ 整理得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.‎ 设t1,t2是该方程的两根,‎ 则t1+t2=2(4+a),t1·t2=8(4+a),‎ ‎∵|MN|2=|PM|·|PN|,‎ ‎∴(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1·t2=t1·t2,‎ ‎∴8(4+a)2-4×8 (4+a)=8(4+a),‎ ‎∴a=1.‎