专题37+数列+等差数列2-2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试 6页

‎2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎ 【考点讲解】‎ 一、具本目标：等差数列　‎ ‎　　（1） 理解等差数列的概念.‎ ‎　　（2） 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎　　（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系关系，并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎　　（4） 了解等差数列与一次函数的关系.‎ 二、知识概述：‎ 一）等差数列的有关概念 ‎1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.‎ ‎2.等差数列的通项公式：；.‎ 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.‎ ‎3.等差中项的概念：‎ 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .‎ ‎ ，，成等差数列.‎ ‎4.等差数列的前和的求和公式：.‎ ‎5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．‎ ‎6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．‎ 二）方法规律：‎ ‎ 1．等差数列的四种判断方法 ‎(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；‎ ‎(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;‎ ‎(3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;‎ ‎(4)前项和公式： (为常数, )⇔ 是等差数列;‎ ‎(5) 是等差数列⇔是等差数列. ‎ ‎【答案】‎ ‎2.等差数列{an}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10＝　 　．‎ ‎【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10＝6．由等差数列的性质可得a1+a10＝a4+a7，进而可得答案．‎ ‎【答案】12‎ ‎3.在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________.‎ ‎【解析】由题意得：，所以，即所以.‎ ‎【答案】‎ ‎4.等差数列中，已知，，，则 ．‎ ‎【解析】由 得，于是，‎ 又∴。‎ ‎【答案】20‎ ‎5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x2﹣8x+5＝0的两根，那么S9＝（　　）‎ A．8 B．36 C．45 D．72‎ ‎【分析】由a4，a6是方程x2﹣8x+5＝0的两根，得a4+a6＝8，从而由此能求出结果．‎ ‎【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，a4，a6是方程x2﹣8x+5＝0的两根，‎ 所以a4+a6＝8，‎ 所以．‎ ‎【答案】B．‎ ‎6．等差数列{an}中，已知a7＞0，a2+a10＜0，则{an}的前n项和Sn的最小值为（　　）‎ A．S4 B．S5 C．S6 D．S7‎ ‎【分析】由等差数列通项公式推导出a7＞0，a6＜0，由此能求出{an}的前n项和Sn的最小值．‎ ‎【解析】因为等差数列{an}中，已知a7＞0，a2+a10＜0，‎ 所以a2+a10＝2a6＜0，即a6＜0，所以{an}的前n项和Sn的最小值为S6．‎ ‎【答案】C ‎7.等差数列和的前n项和分别为和，且，则等于（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】由==，选D.‎ ‎【答案】D ‎8．已知等差数列{an}前n项和为，则下列一定成立的是（　　）‎ A．a＝0 B．a≠0 C．c≠0 D．c＝0‎ ‎【分析】由等差数列{an}前n项和为，求出前三项，由等差数列{an}中，2a2＝a1+a3，能求出结果．‎ ‎【答案】D ‎9.已知等差数列的前n项和为Sn，若m>1，且，则m等于（ ）‎ A．38 B．20 C．10 D．9‎ ‎【解析】因为，所以有，由知，所以.‎ ‎，，所以有，选C.‎ ‎【答案】C ‎10．首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（　　）‎ ‎①若S10＝0，则S2+S8＝0；②若S4＝S12，则使Sn＞0的最大的n为15；‎ ‎③若S15＞0，S16＜0，则{Sn}中S8最大；④若S7＜S8，则S8＜S9．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据题意，由等差数列的性质分析4个式子，综合即可得答案．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力 ‎【答案】B ‎11.已知一个数列的前项和为，并且。‎ （1） 证明数列为等差数列 （2） 并求出当为何值时，数列有最大或最小值，并求出此值 ‎【解析】证明：（1）由得，，‎ 当两式相减整理得： ‎ 当时，‎ 所以 再由：得=‎ 两式相减得： ‎ 所以原数列为首项为-3，公差为6的等差数列.‎ （3） 将 当时，有最小值是-3‎ ‎12.为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．‎ ‎（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1 000项和．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为 ‎（Ⅱ）因为 所以数列的前项和为 ‎【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.‎