数学卷·2018届江苏省徐州市沛县中学高二上学期第三次月考数学试卷（理科）（解析版） 21页

‎2016-2017学年江苏省徐州市沛县中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）‎ ‎1．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是　　．‎ ‎2．某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为　　．‎ ‎3．如图所示是一次歌咏大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，则中位数是　　．‎ ‎4．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16，0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为　　．‎ ‎5．一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a、b是方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个样本的方差是　　．‎ ‎6．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为　　．‎ ‎7．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲乙两个盒子中各取一个球，每个球被取出的可能性相等，则取出的两个球上标号之和能被3整除的概率是　　．‎ ‎8．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；‎ ‎②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；‎ ‎③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；‎ ‎④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．‎ 其中真命题的序号是　　．‎ ‎9．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，若这个小组中必须男女医生都有，共有　　种不同的组建方案（结果用数值表示）．‎ ‎10．化简：C+C+C=　　．（用组合数回答）‎ ‎11．已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，则的最小值为　　．‎ ‎12．点P（﹣3，1）在椭圆的左准线上．过点P的直线l：5x+2y=13，经直线y=﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为　　．‎ ‎13．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 　　．‎ ‎14．设椭圆的两焦点为F1、F2‎ ‎，斜率为K的直线过右焦点F2，与椭圆交于A、B，与Y轴交于C，B为CF2的中点，若|k|≤，则椭圆离心率e的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二．解答题：（本题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y）．‎ ‎（I）求当x，y∈R时，P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率；‎ ‎（II）求当x，y∈Z时，P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率．‎ ‎16．假设在100件产品中有3件次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？（必须计算出结果）‎ ‎（Ⅰ）没有次品；‎ ‎（Ⅱ）恰有两件是次品；‎ ‎（Ⅲ）至少有两件是次品．‎ ‎17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．‎ ‎（1）求证：OE∥平面BCC1B1；‎ ‎（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．‎ ‎18．已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量满足．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；‎ ‎（Ⅱ）当AB的中点到直线y﹣2x=0的距离的最小值为时，求p的值．‎ ‎19．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：‎ ‎（1）一个唱歌节目开头，另一个压台；‎ ‎（2）两个唱歌节目不相邻；‎ ‎（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率；‎ ‎（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省徐州市沛县中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）‎ ‎1．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是　0＜m＜　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】焦点在y轴上的椭圆的标准方程为，其中a＞b＞0，由此可得1﹣m＞2m＞0，解之即得实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，‎ ‎∴该椭圆的标准方程为，满足1﹣m＞2m＞0，解之得0＜m＜‎ 故答案为：0＜m＜‎ ‎　‎ ‎2．某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为　16　．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，‎ 设分别为a﹣d，a，a+d，‎ 则a﹣d+a+a+d=3a=1200，‎ 解得a=400，‎ 若用分层抽样的方法从中抽取48人，‎ 那么高二年级被抽取的人数为，‎ 故答案为：16；‎ ‎　‎ ‎3．如图所示是一次歌咏大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，则中位数是　86　．‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数的定义即可得出结果．‎ ‎【解答】解：由茎叶图可知，中位数为七个数据按从小到大的顺序排列，‎ 中间的一个数为86，‎ 即中位数是86．‎ 故答案为：86．‎ ‎　‎ ‎4．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16，0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为　400　．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式，所有的频率和为1，列出方程组，求出第三小组的频率，利用频数除以频率等于样本容量，求出该校高三年级的男生总数．‎ ‎【解答】解：设第三小组的频率为x，等比数列的公比为q，等差数列的公差为d则 得q=1.25，x=0.25，‎ 因为第三小组的人数为100，‎ 所以该校高三年级的男生总数为=400人．‎ 故答案为：400．‎ ‎　‎ ‎5．一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a、b是方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个样本的方差是　5　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】根据平均数和方差的定义和公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵样本a，3，5，7的平均数是b，‎ ‎∴a+3+5+7=4b，‎ 即a+15=4b，‎ ‎∵a、b是方程x2﹣5x+4=0的两根，‎ ‎∴a+b=5，‎ 解得a=1，b=4，‎ 则方差S2= [（1﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]=（9+1+1+9）==5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎6．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为　576种　．‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】6人站成一排，总的排法种数为 ‎，甲、乙、丙3个人都站在一起的排法种数为，由此能求出6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数．‎ ‎【解答】解：6人站成一排，总的排法种数为，‎ ‎6人站成一排，甲、乙、丙3个人都站在一起的排法种数为，‎ ‎∴6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为：‎ ‎=576．‎ 故答案为：576．‎ ‎　‎ ‎7．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲乙两个盒子中各取一个球，每个球被取出的可能性相等，则取出的两个球上标号之和能被3整除的概率是　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】先求出从甲乙两个盒子中各取一个球的所有结果数n，再求取出的两个球上标号之和能被3整除的结果数m，代入古典概率的计算公式P=可求 ‎【解答】解：从甲乙两个盒子中各取一个球，每个球被取出的可能性相等的结果有（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）16种结果，每种结果出现的可能性相等，属于古典概率 记“取出的两个球上标号之和能被3整除”的事件为A，则A的结果有（1，2）（2，1）（2，4）（3，3）（4，2）5种结果 由古典概率的公式可得，P（A）=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎8．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；‎ ‎②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；‎ ‎③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；‎ ‎④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．‎ 其中真命题的序号是　②③　．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．‎ ‎【解答】解：若α⊥β，m∥α，则m⊥β或m⊂β，故①不正确；‎ 若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，‎ 则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故②正确；‎ 若m⊥β，m∥α，‎ 则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故③正确；‎ 若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β相交或平行，故④不正确．‎ 故答案为：②③．‎ ‎　‎ ‎9．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，若这个小组中必须男女医生都有，共有　120　种不同的组建方案（结果用数值表示）．‎ ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】利用间接法，即可解答．‎ ‎【解答】解：任意选取C95=126种，其中都是男医生有C65=6种，‎ 于是符合条件的有126﹣6=120种．‎ 故答案为：120．‎ ‎　‎ ‎10．化简：C+C+C=　　．（用组合数回答）‎ ‎【考点】组合及组合数公式．‎ ‎【分析】利用组合数的性质： =即可得出．‎ ‎【解答】解：原式=C+C=+C=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知：双曲线的第二定义可知： =e，可得丨PF丨=e丨PN丨=2丨PN丨，丨PN丨=丨PF丨，丨PM丨+丨PF丨=丨PM丨+丨PN丨，当且仅当M、N、P三点共线时丨PM丨+丨PN丨=丨MN丨时取最小值，代入求得P点坐标，即可求得丨PM丨+丨PF丨的最小值为丨MN丨=．‎ ‎【解答】解：双曲线，焦点在x轴上，a=3，b=3，c==6，‎ 由双曲线离心率e==2，右准线为x==，‎ 作MN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，则 由双曲线的第二定义可知： =e，可得丨PF丨=e丨PN丨=2丨PN丨，‎ ‎∴丨PN丨=丨PF丨，‎ 因此丨PM丨+丨PF丨=丨PM丨+丨PN丨，‎ 当且仅当M、N、P三点共线时丨PM丨+丨PN丨=丨MN丨时取最小值，‎ 此时，在双曲线中，令y=3，解得：x=±2，‎ ‎∴x＞0，‎ ‎∴取x=2，‎ 即当P的坐标为（2，3）时丨PM丨+丨PF丨的最小值为丨MN丨=．‎ 丨PM丨+丨PF丨的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．点P（﹣3，1）在椭圆的左准线上．过点P的直线l：5x+2y=13，经直线y=﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由点P（﹣3，1）则椭圆的左准线x=﹣上，即=3，由题意可知：过点P且与直线5x+2y=0平行的光线的方程为5x+2y+13=0上，将焦点坐标代入即可求得c和a的值，即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：椭圆焦点在x轴上，椭圆的左准线方程为：x=﹣，点P（﹣3，1）在椭圆的左准线上．‎ ‎∴=3，‎ ‎∵点P且与直线5x+2y=13平行的光线经直线y=﹣2反射后通过椭圆左焦点，‎ 过点P且与直线5x+2y=0平行的光线的方程为5x+2y+13=0上，‎ ‎∴5×（﹣c）+2×（﹣4）+12=0，解得：c=1，‎ ‎∴a2=3，解得：a=，‎ 故椭圆的离心率e===，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 　　．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是AE的长，求解即可．‎ ‎【解答】解：侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q，‎ 使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，‎ 令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．设椭圆的两焦点为F1、F2，斜率为K的直线过右焦点F2，与椭圆交于A、B，与Y轴交于C，B为CF2的中点，若|k|≤‎ ‎，则椭圆离心率e的取值范围是　[，1）　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设椭圆的右焦点为F2 （c，0），则直线的方程可设为y=k（x﹣c），求得C（0，﹣kc），B（，﹣），又B为椭圆上的点，代入椭圆方程，由椭圆的性质，即可求得k2=，根据k的取值范围，即可求得离心率e的取值范围．‎ ‎【解答】解：椭圆焦点在x轴上，设椭圆的右焦点为F2 （c，0），则直线的方程可设为y=k（x﹣c），‎ 令x=0，得y=﹣kc，即C（0，﹣kc），‎ 由于B为CF2的中点，‎ ‎∴B（，﹣），又B为椭圆上的点，‎ ‎∴，由b2=a2﹣c2，‎ 两边同除以a2，整理得：，‎ 解得：k2=，‎ ‎∵|k|≤，‎ ‎∴k2≤，即0≤≤．又0＜e＜1，‎ ‎∴≤e＜1，‎ 故答案为：[，1）．‎ ‎　‎ 二．解答题：（本题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y）．‎ ‎（I）求当x，y∈R时，P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率；‎ ‎（II）求当x，y∈Z时，P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】（I）因为x，y∈R，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求区域为正方形ABCD的面积以及（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点的区域即以（2，2）为圆心，2为半径的圆的面积，然后求比值即为所求的概率．‎ ‎（II）因为x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x，y∈Z，且（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率．‎ ‎【解答】解：（I）如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部（含边界），满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点的区域为以（2，2）为圆心，2为半径的圆面（含边界）．‎ ‎∴所求的概率．‎ ‎（II）满足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的点有25个，‎ 满足x，y∈Z，且（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点有6个，‎ 依次为（2，0）、（2，1）、（2，2）、（1，1）、（1，2）、（0，2）；‎ ‎∴所求的概率．‎ ‎　‎ ‎16．假设在100件产品中有3件次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？（必须计算出结果）‎ ‎（Ⅰ）没有次品；‎ ‎（Ⅱ）恰有两件是次品；‎ ‎（Ⅲ）至少有两件是次品．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；互斥事件的概率加法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）没有次品，即从97件合格品抽取5件；‎ ‎（Ⅱ）抽出的5件产品中恰好有2件是次品，即从3件次品抽取2件，97件合格品抽取3件；‎ ‎（Ⅲ）抽出的5件至少有2件包括恰好有2件是次品、恰好有3件是次品．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）没有次品，即抽取5件都是合格品的抽法有；‎ ‎（Ⅱ）抽出的5件中恰好有2件是次品的抽法有；‎ ‎（Ⅲ）抽出的5件至少有2件是次品的抽法有 ‎　‎ ‎17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．‎ ‎（1）求证：OE∥平面BCC1B1；‎ ‎（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，可证四边形OEBF是平行四边形，又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，可证OE∥面BCC1B1．‎ ‎（2）先证明BC1⊥DC，再证BC1⊥面B1DC，而BC1∥OE，OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，从而可证面B1DC⊥面B1DE．‎ ‎【解答】‎ 证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，…2分 因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且，‎ 又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1=1，‎ 从而，即四边形OEBF是平行四边形，‎ 所以OE∥BF，…6分 又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，‎ 所以OE∥面BCC1B1．…8分 ‎（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，‎ 所以BC1⊥DC，…10分 又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C=C，‎ 所以BC1⊥面B1DC，…12分 而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，‎ 所以面B1DC⊥面B1DE．…14分 ‎　‎ ‎18．已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量满足．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；‎ ‎（Ⅱ）当AB的中点到直线y﹣2x=0的距离的最小值为时，求p的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）欲证直线经过定点，只需找到直线方程，在验证不管参数为何值都过某一定点即可，可根据判断直线OA，OB垂直，设AB方程，根据OA，OB垂直消去一些参数，再进行判断．‎ ‎（Ⅱ）设AB中点的坐标根据OA，OB垂直，可得AB中点坐标满足的关系式，再用点到直线的距离公式求AB的中点到直线y﹣2x=0的距离的，求出最小值，让其等于，解参数p即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴OA⊥OB．设A，B两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）则 x12=2py1，x22=2py2．‎ 经过A，B两点的直线方程为（x2﹣x1）（y﹣y1）=（y2﹣y1）（x﹣x1）．‎ 由，得．‎ ‎∵．令x=0，得，‎ ‎∴（*）‎ ‎∵OA⊥OB ‎∴x1x2+y1y2=0，从而．‎ ‎∵x1x2≠0（否则，有一个为零向量），‎ ‎∴x1x2=﹣4p2．代入（*），得 y=2p，‎ ‎∴AB始终经过定点（0，2p）．‎ ‎（Ⅱ）设AB中点的坐标为（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，‎ ‎∴x12+x22=2py1+2py2=2p（y1+y2）．‎ 又∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（x1+x2）2+8p2，‎ ‎∴4x2+8p2=4py，‎ 即．…①‎ AB的中点到直线y﹣2x=0的距离．‎ 将①代入，得．‎ 因为d的最小值为，‎ ‎∴，‎ ‎∴p=2．‎ ‎　‎ ‎19．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：‎ ‎（1）一个唱歌节目开头，另一个压台；‎ ‎（2）两个唱歌节目不相邻；‎ ‎（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】（1）先排歌曲节目，再排其他节目，利用乘法原理，即可得出结论；‎ ‎（2）先排3个舞蹈，3个曲艺节目，再利用插空法排唱歌，即可得到结论；‎ ‎（3）两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）先排歌曲节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22A66=1440种排法．‎ ‎（2）先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目，有A66种排法，再从其中7个空（包括两端）中选2个排歌曲节目，有A72种插入方法，所以共有A66A72=30240种排法．‎ ‎（3）两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有A44A53A22=2880种．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率；‎ ‎（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由已知条件先求出椭圆C的半焦距，再由离心率公式和a，b，c的关系可得a，b，由此能求出椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）由直线l过D（1，0）且垂直于x轴，设A（1，y1），B（1，﹣y1），求得AE的方程，求得M的坐标，再由直线的斜率公式计算即可得到所求值；‎ ‎（3）直线BM与直线DE平行．分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得2c=2，即c=，‎ 又e==，解得a=，‎ b==1，‎ 即有椭圆的方程为+y2=1；‎ ‎（2）由直线l过D（1，0）且垂直于x轴，设A（1，y1），B（1，﹣y1），‎ AE的方程为y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），令x=3可得M（3，2﹣y1），‎ 即有BM的斜率为k==1；‎ ‎（3）直线BM与直线DE平行．‎ 证明如下：当直线AB的斜率不存在时，kBM=1．‎ 又∵直线DE的斜率kDE==1，∴BM∥DE；‎ 当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），‎ 令x=3，则点M（3，），‎ ‎∴直线BM的斜率kBM=，‎ 联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，‎ 由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∵kBM﹣1=‎ ‎===0，‎ ‎∴kBM=1=kDE，即BM∥DE；‎ 综上所述，直线BM与直线DE平行．‎ ‎　‎ ‎2017年1月17日