高二数学教案第9讲：椭圆的性质 8页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 椭圆的性质 教学内容 ‎1. 掌握椭圆的几何性质,并且应用相关性质解题；‎ ‎2. 了解椭圆的几何性质,并且应用相关性质解题。‎ ‎1. 问题：‎ ‎（1） 椭圆的中心是什么？椭圆的长轴短轴是什么？长半轴短半轴又是什么？‎ ‎（2）通过椭圆的图像，分析一下椭圆的对称性。‎ ‎（3）椭圆方程中x、y的取值范围是什么？‎ 通过学生的预习情况，让学生轮流回答并相互补充，最后教师给出下表的总结 椭圆的图像与性质：‎ 图像 y O x 标准方程 范围 顶点 ‎，‎ 对称性 关于、轴和原点对称 焦点 ‎、‎ ‎，，的意义 ‎2长轴长，短轴长，焦距，‎ ‎2. 点与椭圆的位置关系：设点，椭圆方程为，则：‎ ‎（其中为椭圆焦点）.‎ ‎3. 直线与椭圆的位置关系.‎ 直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离，判断直线与椭圆的位置关系，可以利用直线方程与椭圆方程联立，看联立后方程解的个数：‎ ‎（1），无解则相离；‎ ‎（2），一解则相切；‎ ‎（3），两解则相交。直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题，直线与椭圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦。‎ 利用直线与椭圆相交的弦长公式：.‎ ‎2和3知识点可以结合圆的知识类比讲解，但要学生注意直线与椭圆的位置关系只能有代数方法求解 ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．‎ 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．‎ 解：（1）当为长轴端点时，，，‎ 椭圆的标准方程为：；‎ ‎（2）当为短轴端点时，，，‎ 椭圆的标准方程为：；‎ 试一试：已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴，椭圆+=1的短轴长与椭圆+‎ ‎=1的短轴长相等，则（ ）‎ A.a2=25,b2=16 B.a2=9,b2=25‎ C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9‎ 解析 ∵椭圆+=1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆+=1的短轴长为6，∴a2=25,b2=9.‎ 答案 D 例2. 已知椭圆及直线．‎ ‎（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？‎ ‎（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．‎ 分析：直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解．因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式．已知弦长，由弦长公式就可求出．‎ 解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ‎ ，即．‎ ‎ ，‎ 解得．‎ ‎（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得 ‎，．‎ 根据弦长公式得 ‎ ．‎ 解得．‎ 因此，所求直线的方程为．‎ 试一试：已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．‎ 分析：此类题目是求弦长问题，这种题目方法很多，可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．‎ 解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．‎ ‎．‎ 因为，，所以．‎ 又因为焦点在轴上，‎ 所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为 ‎．‎ 由直线方程与椭圆方程联立得 ‎．‎ 设，为方程两根，‎ 所以，，，‎ 从而．‎ 例3. 已知椭圆，为椭圆上任一点，,求的面积。‎ 答案：已知椭圆的定义，有，而在中，由余弦定理有 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 所以 点评：解与△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决.‎ 试一试：已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）‎ A. B.3 C. D. ‎ 解析：由余弦定理判断∠P<90°，只能∠PF1F2或∠PF2F1为直角.由a=4，b=3得c=，∴|yP|=.‎ 答案：D ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 若点P在椭圆,且∠=60°，（为焦点），则=_____‎ 答案：‎ ‎2. 若直线y=kx+1与（m>0,m≠4）恒有交点，则实数m的取值范围是_____‎ 答案：‎ ‎3. 已知椭圆，、是两焦点，若过的直线与椭圆交于、两点，若，则 ；‎ 答案：8‎ ‎4. 已知△ABC中，B（－1,0）、C（1,0），且周长为6‎ ‎（1）求顶点A的轨迹方程；‎ ‎（2）求△ABC面积的最大值；‎ ‎（3）过点M（0,1）的直线l与椭圆交于P、Q两点，且，求直线l的方程。‎ 解析：（1）由题意可知，所以顶点A的轨迹为以、两点为焦点的椭圆，且，，椭圆方程为（）‎ ‎（2），当最大时△ABC的面积最大，最大为 ‎（3）设直线l的方程为，代入椭圆方程得 利用弦长公式得，所以直线l的方程为或 附加题：已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．‎ ‎（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；‎ ‎（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．‎ 解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．‎ 设两点坐标分别为．‎ 由 得．‎ 所以．‎ 又因为边上的高等于原点到直线的距离．‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）设所在直线的方程为，‎ 由得．‎ 因为在椭圆上，所以．‎ 设两点坐标分别为，则，，‎ 所以．‎ 又因为的长等于点到直线的距离，即．‎ 所以．‎ 所以当时，边最长，（这时）‎ 此时所在直线的方程为．‎ 本节课主要知识：椭圆的几何性质，焦点三角形面积问题，简单直线与椭圆综合问题的解答方法 ‎1. 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的短轴与长轴的比值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 答案：C ‎2. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA=，则椭圆的方程是 .‎ 答案： 或 ‎3. 若对一切实数，直线与椭圆始终有公共点，则实数的取值范围是__________.‎ 答案：‎ ‎4. 椭圆的两个焦点，过点的直线与椭圆交于两点，的周长为，求：（1）椭圆的方程；（2）面积的最大值；‎ 答案：⑴，⑵当时，‎ 总结回复假期学习的向量综合、直线、圆以及椭圆。下节课进行测试