数学文卷·2017届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学高三第二次联考（2017 10页

湖南省2017届高三十三校联考第二次考试 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知为虚数单位，若复数（）的实部为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.下列函数既是奇函数又在上是减函数的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.“”是“与直线平行”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎5.圆关于直线对称的圆的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎6.等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则数列的前项和取最小值时的为（ ）‎ A．3 B．3或4 C．4或5 D．5 ‎ ‎7.已知实数，满足则的最大值为（ ）‎ A．7 B．1 C．10 D．0 ‎ ‎8.在中，角，，所对应的边长分别为，，，面积为，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.在中，为三角形所在平面内一点，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.如图所示，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形及每个正方形内一段半径为1，圆心角为的圆弧，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线，分别交双曲线的左、右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数（）的图象与直线相切，当恰有一个零点时，实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，是两个向量，，，且，则与的夹角为 ．‎ ‎14.执行如图所示的程序框图，则输出的为 ．‎ ‎15.已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，于点，，，，，则三棱锥的外接球半径为 ．‎ ‎16.已知数列满足，（，），且是递减数列，是时递增数列，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知函数（，），且函数图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求的值及的对称轴方程；‎ ‎（Ⅱ）在中，角，，的对边分别为，，，若，，‎ ‎，求的值．‎ ‎18.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对1号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金，在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：；（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．‎ ‎（Ⅰ）写出列联表；判断是否有的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（如表的临界值表供参考）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎（Ⅱ）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中恰好有一人在岁之间的概率．　‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎19.如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离.‎ ‎20.已知椭圆：的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形，且该三角形的面积为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，是椭圆的左、右焦点，若椭圆的一个内接平行四边形的一组对边过点和，求这个平行四边形面积的最大值．‎ ‎21.已知函数，，其中是的导函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？‎ ‎（Ⅱ）设曲线与曲线的交点为，，，当时，求的值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数（，）的值域为．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得，求实数的取值范围．‎ 湖南省2017届高三十三校联考第二次考试数学（文科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14.13 15.2 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）‎ ‎．‎ 由函数图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，得，，求得．‎ 所以．‎ 由（），求得（）．‎ 即的对称轴方程为（）．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即．‎ 所以或，解得或，‎ 由，所以．‎ 由，，知，求得，‎ 所以，‎ 又，由正弦定理得．‎ ‎18.解：（Ⅰ）‎ 正误 年龄 正确 错误 合计 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎70‎ ‎80‎ 合计 ‎20‎ ‎100‎ ‎120‎ 由上表可知，有的把握认为猜对歌曲名称与年龄有关．‎ ‎（Ⅱ）设事件为三名幸运选手中恰好有一人在岁之间，由已知得岁之间的人数为2人，岁之间的人数为4人，从6人中取3人的结果有20种，事件的结果是种，故3名幸运选手中恰好一人在岁之间的概率是．‎ ‎19.（Ⅰ）证明：取的中点为点，连接，，则，且，‎ ‎∵且，‎ ‎∴且，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，又平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为．‎ 利用等体积法：，即，‎ ‎，‎ ‎∵，，∴，∴．‎ ‎20.解：（Ⅰ）依题意解得即椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设过椭圆右焦点的直线：与椭圆交于，两点，‎ 则整理得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 椭圆的内接平行四边形面积为，‎ 令，则，‎ 注意到在上单调递减，所以，当且仅当，即时等号成立，‎ 故这个平行四边形的面积最大值为．‎ ‎21.解：（Ⅰ）函数的定义域为，且，‎ 由导数的几何意义所求切线的斜率，‎ 所以所求的切线方程为，即．‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 即，即在上恒成立，即．‎ 令，则，‎ 令，，‎ 当时，，∴在上单调递增．‎ ‎∴，∴（），‎ ‎∴，∴在上单调递增，当然在上也单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎22.解：（Ⅰ）由，得，该曲线为椭圆．‎ ‎（Ⅱ）将代入，得，‎ 由直线参数方程的几何意义，设，，则，，‎ 所以，‎ 从而，由于，所以．‎ ‎23.解：（Ⅰ）对于任意，，‎ 可知，‎ ‎∴或．‎ ‎（Ⅱ）依题意有，，解得．‎