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  • 2021-06-23 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版(理)4-1任意角和弧度制及任意角的三角函数学案

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‎§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 考纲展示► ‎ ‎1.了解任意角的概念;了解弧度制的概念.‎ ‎2.能进行弧度与角度的互化.‎ ‎3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.‎ 考点1 角的集合表示及象限角的判定 角的概念 ‎(1)角的形成 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的________.‎ ‎(3)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}.‎ 答案:(1)旋转 图形 ‎(2)逆时针 顺时针 ‎(1)[教材习题改编]终边在直线y=x上的角的集合是________.‎ 答案: 解析:在0°~360°范围内,终边在直线y=x上的正角有两个,即为45°,225°,写出与其终边相同的角的集合,整合即得.‎ ‎(2)[教材习题改编]①-160°=________rad; ‎ ‎② rad=________度.‎ 答案:①- ②54 ‎ 解析:①-160°=-×π rad=- rad.‎ ‎② rad=×180°=54°.‎ 混淆几种角的概念:任意角;终边相同的角;象限角.‎ 下列命题叙述正确的有________个.‎ ‎①小于90°的角是锐角;‎ ‎②终边相同的角相等;‎ ‎③第二象限角大于第一象限角.‎ 答案:0‎ 解析:①角是任意的,有正角、零角、负角,小于90°的角也可以是零角或负角;②比如30°和390°,它们的终边相同,但它们不相等. 终边相同的角,它们相差360°的整数倍,相等的角终边一定相同;③由于终边相同的角的无限性,故第二象限角不一定大于第一象限角.‎ ‎[典题1] (1)①若角θ的终边与的终边相同,则在[0,2π)内终边与的终边相同的角为________.‎ ‎[答案] ①,, ‎②终边在直线y=x上的角的集合为________.‎ ‎[答案]  ‎③已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界),则角α的集合为________.‎ ‎[答案] {α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z} ‎ ‎(2)如果α是第三象限的角,则角-α的终边所在位置是______,角2α 的终边所在位置是______,角终边所在的位置是______.‎ ‎[答案] 第二象限 第一、二象限及y轴的非负半轴 第一、三、四象限 ‎[解析] 由α是第三象限的角,得π+2kπ<α<+2kπ⇒--2kπ<-α<-π-2kπ,‎ 即+2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z),‎ ‎∴角-α的终边在第二象限.‎ 由π+2kπ<α<+2kπ,得 ‎2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z),‎ ‎∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.‎ 因为π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z),‎ 所以+<<+(k∈Z).‎ 当k=3n(n∈Z)时,+2nπ<<+2nπ(n∈Z);‎ 当k=3n+1(n∈Z)时,π+2nπ<<+2nπ(n∈Z);‎ 当k=3n+2(n∈Z)时,+2nπ<<+2nπ(n∈Z).‎ 所以的终边在第一、三、四象限.‎ ‎[点石成金] 1.终边在某直线上角的求法四步骤 ‎(1)数形结合,在平面直角坐标系中画出该直线;‎ ‎(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角;‎ ‎(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合;‎ ‎(4)求并集化简集合.‎ ‎2.确定kα,(k∈N*)的终边位置三步骤 ‎(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围;‎ ‎(2)再写出kα或的范围;‎ ‎(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.‎ 考点2 扇形的弧长及面积公式 ‎                 ‎ 弧度制 ‎(1)1弧度的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.‎ ‎(2)角α的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|=.‎ ‎(3)角度与弧度的换算 ‎①180°=________ rad;②1°= rad;③1 rad=°.‎ ‎(4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(rad),半径为r,则l=________,扇形的面积为S=lr=|α|·r2.‎ 答案:(1)半径长 (3)π (4)|α|r ‎(1)[教材习题改编]单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为(  )‎ A.10π B.9π ‎ C. D. 答案:D ‎(2)[教材习题改编]半径为‎120 mm的圆上长为‎144 mm的弧所对圆心角的弧度数是________.‎ 答案:1.2‎ 解析:根据圆心角弧度数的计算公式,得 α==1.2.‎ 周长为定值的扇形中,当圆心角________时面积最大;面积为定值的扇形中,当圆心角________时周长最小.‎ 答案:θ=2 θ=2‎ ‎[典题2] 若扇形的周长为10,面积为4,则该扇形的圆心角为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 设圆心角是θ,半径是r,‎ 则解得或(舍去).‎ 故扇形圆心角为.‎ ‎[题点发散1] 若去掉本例条件“面积为‎4”‎,则当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?‎ 解:设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=10.‎ S=θ·r2=r(10-2r)=r(5-r)‎ ‎=-2+≤,‎ 当且仅当r=时,Smax=,θ=2.‎ 所以当r=,θ=2时,扇形面积最大.‎ ‎[题点发散2] 若本例中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是多少?‎ 解:设圆半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r,∴正方形边长为r,‎ ‎∴圆心角的弧度数是=.‎ ‎[点石成金] 涉及弧长和扇形面积的计算时,可用的公式有角度表示和弧度表示两种,其中弧度表示的公式结构简单,易记好用,在使用前,应将圆心角用弧度表示.‎ 已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.‎ ‎(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;‎ ‎(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.‎ 解:(1)在△AOB中,AB=OA=OB=10,‎ ‎∴△AOB为等边三角形.‎ 因此弦AB所对的圆心角α=.‎ ‎(2)由扇形的弧长与扇形面积公式,得 l=α·R=×10=,‎ S扇形=R·l=α·R2=.‎ 又S△AOB=OA·OB·sin =25.‎ ‎∴弓形的面积S=S扇形-S△AOB=50.‎ 考点3 三角函数的定义 ‎                ‎ 任意角的三角函数 ‎(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin α=________,cos α=________,tan α=(x≠0).‎ ‎(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的________,________和________.‎ ‎(3)三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.‎ 答案:(1)y x ‎(2)正弦线 余弦线 正切线 ‎(1)[教材习题改编]若角θ满足tan θ>0,sin θ<0,则角θ所在的象限是(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:C ‎(2)[教材习题改编]若角α的终边经过点P(-3,-4),则sin α+cos α=________.‎ 答案:- 解析:sin α=-,cos α=-,所以sin α+cos α=-.‎ 三角函数概念理解误区:点P的位置;函数值的符号.‎ ‎(1)角α的三角函数值与终边上的点P的位置________关.(填“有”或“无”)‎ 答案:无 解析:角α的三角函数值只与角α的大小有关,不受终边上的点P的位置的影响.‎ ‎(2)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y=________.‎ 答案:-8‎ 解析:由已知,得r=|OP|=.‎ 由三角函数的定义,得sin θ== .‎ 因为sin θ=-,所以=-,‎ 解得y=-8或y=8(舍去).‎ ‎[考情聚焦] 三角函数的定义是高考的常考内容,多以选择题、填空题的形式考查,难度较小,属中低档题.‎ 主要有以下几个命题角度:‎ 角度一 根据三角函数的定义求三角函数值 ‎[典题3] (1)已知角α的终边经过点P(4,-3),则sin α=________.‎ ‎[答案] - ‎[解析] sin α==-.‎ ‎(2)[2017·云南玉溪模拟]设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos α=x,则tan α=________.‎ ‎[答案] - ‎[解析] 因为α是二象限角,所以cos α=x<0,即x<0.又cos α=x=,解得x=-3,所以tan α==-.‎ ‎[点石成金] 1.已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.‎ ‎2.已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求解.‎ 角度二 根据三角函数的定义求点的坐标 ‎[典题4] (1)点P从(-1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点Q,则点Q的坐标为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 设点A(-1,0),点P从(-1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点Q,则∠AOQ=-2π=(O为坐标原点),‎ 所以∠xOQ=,cos =,sin =,‎ 所以点Q的坐标为.‎ ‎(2)已知角α的终边上一点P(-,m)(m≠0),且sin α=,求cos α,tan α的值.‎ ‎[解] 由题设知x=-,y=m,‎ ‎∴r2=|OP|2=2+m2(O为原点),r=.‎ ‎∴sin α===,‎ ‎∴r==2,‎ 即3+m2=8,‎ 解得m=±.‎ 当m=时,r=2,x=-,y=,‎ ‎∴cos α==-,tan α=-;‎ 当m=-时,r=2,x=-,y=-,‎ ‎∴cos α==-,tan α=.‎ ‎[点石成金] 1.已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值.‎ ‎2.已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.‎ ‎[方法技巧] 三角函数的定义及单位圆的应用技巧 ‎(1)在利用三角函数的定义时,点P可取终边上异于原点的任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点.‎ ‎(2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.‎ ‎[易错防范] 1.第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角.‎ ‎2.角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.‎ ‎3.要熟记0°~360°间特殊角的弧度表示.‎ ‎4.要注意三角函数线是有向线段.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 错用三角函数的定义求三角函数值 ‎[典例1] [2016·天津模拟]已知角θ的终边上一点P(‎3a,‎4a)(a≠0),则sin θ=________.‎ ‎[易错分析] ‎ ‎(1)角的终边是一条射线,而不是直线,该题中,我们只能确定角的终边所在直线.‎ ‎(2)由终边上一点求三角函数时,由于没有考虑参数的取值情况,从而求出r===‎5a,结果得到下列错误的结论:sin θ==.‎ ‎[解析] ∵x=‎3a,y=‎4a,‎ ‎∴r==5|a|.‎ ‎(1)当a>0时,r=‎5a,‎ ‎∴sin θ==.‎ ‎(2)当a<0时,r=-‎5a,‎ ‎∴sin θ==-.‎ 综上,sin θ=±.‎ ‎[答案] ± 温馨提示 ‎(1)区分两种三角函数的定义 如果是在单位圆中定义任意角的三角函数,设角α的终边与单位圆的交点坐标为(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=,但如果不是在单位圆中,设角α的终边经过点P(x,y),|OP|=r,则sin α=,cos α=,tan α=.‎ ‎(2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系.‎

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