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- 2021-06-23 发布
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§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
考纲展示►
1.了解任意角的概念;了解弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
考点1 角的集合表示及象限角的判定
角的概念
(1)角的形成
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的________.
(3)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}.
答案:(1)旋转 图形
(2)逆时针 顺时针
(1)[教材习题改编]终边在直线y=x上的角的集合是________.
答案:
解析:在0°~360°范围内,终边在直线y=x上的正角有两个,即为45°,225°,写出与其终边相同的角的集合,整合即得.
(2)[教材习题改编]①-160°=________rad;
② rad=________度.
答案:①- ②54
解析:①-160°=-×π rad=- rad.
② rad=×180°=54°.
混淆几种角的概念:任意角;终边相同的角;象限角.
下列命题叙述正确的有________个.
①小于90°的角是锐角;
②终边相同的角相等;
③第二象限角大于第一象限角.
答案:0
解析:①角是任意的,有正角、零角、负角,小于90°的角也可以是零角或负角;②比如30°和390°,它们的终边相同,但它们不相等. 终边相同的角,它们相差360°的整数倍,相等的角终边一定相同;③由于终边相同的角的无限性,故第二象限角不一定大于第一象限角.
[典题1] (1)①若角θ的终边与的终边相同,则在[0,2π)内终边与的终边相同的角为________.
[答案] ①,,
②终边在直线y=x上的角的集合为________.
[答案]
③已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界),则角α的集合为________.
[答案] {α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z}
(2)如果α是第三象限的角,则角-α的终边所在位置是______,角2α
的终边所在位置是______,角终边所在的位置是______.
[答案] 第二象限 第一、二象限及y轴的非负半轴 第一、三、四象限
[解析] 由α是第三象限的角,得π+2kπ<α<+2kπ⇒--2kπ<-α<-π-2kπ,
即+2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z),
∴角-α的终边在第二象限.
由π+2kπ<α<+2kπ,得
2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z),
∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.
因为π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z),
所以+<<+(k∈Z).
当k=3n(n∈Z)时,+2nπ<<+2nπ(n∈Z);
当k=3n+1(n∈Z)时,π+2nπ<<+2nπ(n∈Z);
当k=3n+2(n∈Z)时,+2nπ<<+2nπ(n∈Z).
所以的终边在第一、三、四象限.
[点石成金] 1.终边在某直线上角的求法四步骤
(1)数形结合,在平面直角坐标系中画出该直线;
(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角;
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合;
(4)求并集化简集合.
2.确定kα,(k∈N*)的终边位置三步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围;
(2)再写出kα或的范围;
(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.
考点2 扇形的弧长及面积公式
弧度制
(1)1弧度的角
长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|=.
(3)角度与弧度的换算
①180°=________ rad;②1°= rad;③1 rad=°.
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(rad),半径为r,则l=________,扇形的面积为S=lr=|α|·r2.
答案:(1)半径长 (3)π (4)|α|r
(1)[教材习题改编]单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为( )
A.10π B.9π
C. D.
答案:D
(2)[教材习题改编]半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角的弧度数是________.
答案:1.2
解析:根据圆心角弧度数的计算公式,得
α==1.2.
周长为定值的扇形中,当圆心角________时面积最大;面积为定值的扇形中,当圆心角________时周长最小.
答案:θ=2 θ=2
[典题2] 若扇形的周长为10,面积为4,则该扇形的圆心角为________.
[答案]
[解析] 设圆心角是θ,半径是r,
则解得或(舍去).
故扇形圆心角为.
[题点发散1] 若去掉本例条件“面积为4”,则当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?
解:设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=10.
S=θ·r2=r(10-2r)=r(5-r)
=-2+≤,
当且仅当r=时,Smax=,θ=2.
所以当r=,θ=2时,扇形面积最大.
[题点发散2] 若本例中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是多少?
解:设圆半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r,∴正方形边长为r,
∴圆心角的弧度数是=.
[点石成金] 涉及弧长和扇形面积的计算时,可用的公式有角度表示和弧度表示两种,其中弧度表示的公式结构简单,易记好用,在使用前,应将圆心角用弧度表示.
已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;
(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解:(1)在△AOB中,AB=OA=OB=10,
∴△AOB为等边三角形.
因此弦AB所对的圆心角α=.
(2)由扇形的弧长与扇形面积公式,得
l=α·R=×10=,
S扇形=R·l=α·R2=.
又S△AOB=OA·OB·sin =25.
∴弓形的面积S=S扇形-S△AOB=50.
考点3 三角函数的定义
任意角的三角函数
(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin α=________,cos α=________,tan α=(x≠0).
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的________,________和________.
(3)三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
答案:(1)y x
(2)正弦线 余弦线 正切线
(1)[教材习题改编]若角θ满足tan θ>0,sin θ<0,则角θ所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:C
(2)[教材习题改编]若角α的终边经过点P(-3,-4),则sin α+cos α=________.
答案:-
解析:sin α=-,cos α=-,所以sin α+cos α=-.
三角函数概念理解误区:点P的位置;函数值的符号.
(1)角α的三角函数值与终边上的点P的位置________关.(填“有”或“无”)
答案:无
解析:角α的三角函数值只与角α的大小有关,不受终边上的点P的位置的影响.
(2)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y=________.
答案:-8
解析:由已知,得r=|OP|=.
由三角函数的定义,得sin θ== .
因为sin θ=-,所以=-,
解得y=-8或y=8(舍去).
[考情聚焦] 三角函数的定义是高考的常考内容,多以选择题、填空题的形式考查,难度较小,属中低档题.
主要有以下几个命题角度:
角度一
根据三角函数的定义求三角函数值
[典题3] (1)已知角α的终边经过点P(4,-3),则sin α=________.
[答案] -
[解析] sin α==-.
(2)[2017·云南玉溪模拟]设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos α=x,则tan α=________.
[答案] -
[解析] 因为α是二象限角,所以cos α=x<0,即x<0.又cos α=x=,解得x=-3,所以tan α==-.
[点石成金] 1.已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.
2.已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求解.
角度二
根据三角函数的定义求点的坐标
[典题4] (1)点P从(-1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点Q,则点Q的坐标为________.
[答案]
[解析] 设点A(-1,0),点P从(-1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点Q,则∠AOQ=-2π=(O为坐标原点),
所以∠xOQ=,cos =,sin =,
所以点Q的坐标为.
(2)已知角α的终边上一点P(-,m)(m≠0),且sin α=,求cos α,tan α的值.
[解] 由题设知x=-,y=m,
∴r2=|OP|2=2+m2(O为原点),r=.
∴sin α===,
∴r==2,
即3+m2=8,
解得m=±.
当m=时,r=2,x=-,y=,
∴cos α==-,tan α=-;
当m=-时,r=2,x=-,y=-,
∴cos α==-,tan α=.
[点石成金] 1.已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值.
2.已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.
[方法技巧] 三角函数的定义及单位圆的应用技巧
(1)在利用三角函数的定义时,点P可取终边上异于原点的任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点.
(2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.
[易错防范] 1.第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角.
2.角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.
3.要熟记0°~360°间特殊角的弧度表示.
4.要注意三角函数线是有向线段.
课外拓展阅读
错用三角函数的定义求三角函数值
[典例1] [2016·天津模拟]已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0),则sin θ=________.
[易错分析]
(1)角的终边是一条射线,而不是直线,该题中,我们只能确定角的终边所在直线.
(2)由终边上一点求三角函数时,由于没有考虑参数的取值情况,从而求出r===5a,结果得到下列错误的结论:sin θ==.
[解析] ∵x=3a,y=4a,
∴r==5|a|.
(1)当a>0时,r=5a,
∴sin θ==.
(2)当a<0时,r=-5a,
∴sin θ==-.
综上,sin θ=±.
[答案] ±
温馨提示
(1)区分两种三角函数的定义
如果是在单位圆中定义任意角的三角函数,设角α的终边与单位圆的交点坐标为(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=,但如果不是在单位圆中,设角α的终边经过点P(x,y),|OP|=r,则sin α=,cos α=,tan α=.
(2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系.