高考数学专题复习：《空间向量与立体几何》单元测试题2 8页

‎《空间向量与立体几何》单元测试题2‎ 一、解答题 ‎1、如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上 一点， 已知 求（Ⅰ）异面直线与的距离；‎ ‎ （Ⅱ）二面角的大小 ‎ ‎2、如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：‎ ‎ （Ⅰ）异面直线与的距离；‎ ‎ （Ⅱ）二面角的平面角的正切值 ‎ ‎3、如图，在长方体，中，，点在棱上移动 （1）证明：；‎ ‎ （2）当为的中点时，求点到面的距离；‎ ‎ （3）等于何值时，二面角的大小为 ‎ ‎4、如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中 ‎ ‎ ‎ （Ⅰ）求的长；‎ ‎ （Ⅱ）求点到平面的距离 ‎ ‎5、如图，在四棱锥中，底面为矩形， ‎ 侧棱底面，，，， ‎ 为的中点 ‎ ‎ （Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）在侧面内找一点，使面， ‎ 并求出点到和的距离 ‎ ‎6、如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,‎ 平面底面 ‎ ‎ （Ⅰ）证明：平面；‎ ‎ （Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小 ‎ 证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系 ‎ ‎ ‎ ‎7、已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点 ‎ ‎（Ⅰ）证明：面面；‎ ‎（Ⅱ）求与所成的角；‎ ‎（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小 ‎ 以下是答案 一、解答题 ‎1、解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为 轴建立空间直角坐标系 ‎ 由已知可得 设 ‎ 由，‎ 即 由，‎ 又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线 ‎,的距离为 ‎ ‎（Ⅱ）作，可设 由得 即作于，设，‎ 则 由，‎ 又由在上得 因故的平面角的大小为向量的夹角 ‎ 故 即二面角的大小为 ‎2、解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系 ‎ ‎ 由于，‎ ‎ 在三棱柱中有 ‎ ,‎ ‎ ‎ 设 ‎ ‎ 又侧面，故 因此是异面直线的公垂线，‎ 则，故异面直线的距离为 ‎ ‎（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角 ‎ ‎3、解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则 ‎（1）‎ ‎（2）因为为的中点，则，从而，‎ ‎，设平面的法向量为，则 也即，得，从而，所以点到平面的距离为 ‎（3）设平面的法向量，∴‎ 由 令，‎ ‎∴‎ 依题意 ‎∴（不合，舍去）， ‎ ‎∴时，二面角的大小为 ‎ ‎4、解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，‎ 设 ‎ ‎∵为平行四边形，‎ ‎（II）设为平面的法向量，‎ 的夹角为，则 ‎∴到平面的距离为 ‎5、解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则的坐标为、‎ ‎、、、‎ ‎、，‎ 从而 设的夹角为，则 ‎∴与所成角的余弦值为 ‎ ‎ （Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则 ‎，由面可得，‎ ‎ ∴‎ 即点的坐标为，从而点到和的距离分别为 ‎ ‎6、（Ⅰ）证明：不防设作，‎ 则， ， ‎ 由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直 ∴平面 ‎ ‎ （Ⅱ）解：设为中点，则，‎ 由 因此，是所求二面角的平面角，‎ 解得所求二面角的大小为 ‎7、证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 ‎ ‎ ‎（Ⅰ）证明：因 由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面 又在面上，故面⊥面 ‎ ‎（Ⅱ）解：因 ‎（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使 要使 为 所求二面角的平面角 ‎