2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题19 数列中的最值问题（练）（解析版） 7页

专题19 数列最值问题 ‎1、【2019年高考北京卷】设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)当或者时，取到最小值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设的公差为．因为，所以．‎ 因为成等比数列，所以．‎ 所以．解得．所以．‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，．所以，当时，；当时，．‎ 所以的最小值为．‎ ‎【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.‎ ‎2.【2018年全国卷II理】记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)求，并求的最小值．‎ ‎【答案】(1)an=2n–9，(2)Sn=n2–8n，最小值为–16．‎ ‎【解析】(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．‎ ‎3.【2017新课标全国I理科】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )‎ A．440 B．330 C．220 D．110‎ ‎【答案】A 【解析】由题意得，数列如右图，则该数列的前项和为 ‎，‎ 要使，有，此时，所以是第组等比 数列的部分和，设，‎ 所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数。‎ ‎4.【2016高考新课标1卷】(2016年全国I)设等比数列满足，，则的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等比数列的公比为,由得,,解得.所以,于是当或时,取得最大值.‎ ‎5.【2015高考四川】设数列的前项和，且成等差数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.‎ ‎【答案】(1)；(2)10.‎ ‎【解析】(1)由已知，有，即.‎ 从而.又因为成等差数列，即.‎ 所以，解得.‎ 所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.故.‎ ‎(2)由(1)得.所以.‎ 由，得，即.因为，‎ 所以.于是，使成立的n的最小值为10.‎ ‎2.练模拟 ‎1.【广东省中山一中等七校联合体2020届高三联考】已知等差数列的前项和为，，，则使取得最大值时的值为(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，等差数列的前项和为，，，根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式，可得，，‎ 则，可求得数列的通项公式为，令，即，解得，又由，可得等差数列中，当时，，当时，，所以使取得最大值时的值为8，故选D.‎ ‎2.【2020届江西省师范大学附属中学、九江第一中学高三联考】已知数列的通项，数列的前项和为，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足的的最大整数值为( )‎ A．338 B．337 C．336 D．335‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，；当时，；‎ 它和数列的公共项构成的新数列是首项为5，公差为6的等差数列，；令可得，所以的最大值为335.‎ ‎3、等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为____.‎ ‎【答案】－49‎ ‎【解析】设的首项为，公差，由，，得，解得，∴，设，当时，当，‎ ‎，由，当时，‎ 当时，，∴时，取得最小值．‎ ‎4、在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，当且仅当时取最大值，可得，解得．‎ ‎5、【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列满足，且是的等比中项.‎ ‎(I)求数列的通项公式；‎ ‎(II)设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值 ‎【答案】(I).(II)8.‎ ‎【解析】(I)设等差数列的公差为，，即，‎ ‎，，，是，的等比中项， ‎ ‎，即，解得.‎ 数列的通项公式为.‎ ‎(II)由(I)得.‎ ‎，由，得.使得成立的最大正整数的值为.‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ 3. 练原创 ‎1.等差数列中，，则其前n项和取最大值时n的值为()‎ A．503 B．504 C．503或504 D．505‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于数列为等差数列，故，解得，故，当时，解得，故当或时，取得最大值.故选C.‎ ‎2. 在等差数列中，，公差，为的前项和.若向量，，且，则的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由且得即 又，所以.从而 则,当且仅当即时，上式等号成立，所以的最小值为4，故选A.‎ ‎3、已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 ．‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，= 441 +62= 503<，不符合题意；当时，=484 +62=546>‎ ‎=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．‎ ‎4. 设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，n=1,2,3…，若，则的最大值是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，‎ 又，所以，而，所以，所以 ‎，所以的最大值是 5、 已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：‎ ‎①是的倍数； ②.‎ ‎(1)若，，写出满足条件的所有的值；‎ ‎(2)求证：当时，；‎ ‎(3)求所有可能取值中的最大值.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析(3)85‎ ‎【解析】(1)的值可取. ‎ ‎(2)由，对于任意的，有.‎ 当时，，即，即.‎ 则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.‎ 若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.‎ 则,成立，因为是的倍数，故.‎ 由,得.因此当时，. ‎ ‎(3)由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式：‎ ‎ ，.则,, ,,,,,,‎ ‎,,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.‎