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  • 2021-06-23 发布

专题15 三角函数求值问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

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‎【高考地位】‎ 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现,其试题难度考查不大.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 切割化弦 使用情景:一般三角求值类型 解题模板:第一步 利用同角三角函数的基本关系,将题设中的切化成弦的形式;‎ 第二步 计算出正弦与余弦之间的关系;‎ 第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.‎ 例1【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考数学(文)试题】已知,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【变式演练1】已知,且,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:,选A.‎ 考点:同角间三角函数关系 ‎ ‎【变式演练2】已知,则=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:,将原式上下同时除以,即,故选C.‎ 考点:同角三角函数基本关系 ‎【变式演练3】已知,则的值为 .‎ ‎【答案】‎ 考点:三角函数的变形与求值.‎ ‎【变式演练4】已知,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:,则,‎ ‎.‎ 考点:诱导公式,同角间的三角函数关系,二倍角公式.‎ ‎【变式演练5】已知,则____________.‎ ‎【答案】‎ 考点:诱导公式及同角三角函数的关系的运用.‎ 方法二 统一配凑 使用情景:一类特殊三角求值类型 解题模板:第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系;‎ 第二步 利用合理地拆角,结合两角和(或差)的正弦(或余弦)公式将所求的三角函数值转 化为已知条件中的三角函数值;‎ 第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果.‎ 例2【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考(一)数学文试题】设为锐角,若,则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【变式演练6】若,,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:,且 ‎,‎ 又,且 从而 故选C.‎ 考点:1.同角三角函数的关系;2.两角和与差的三角函数.‎ ‎【变式演练7】设,若,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C 考点:同角间的三角函数关系及两角和差的正弦公式.‎ ‎【变式演练8】若,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:,故选A.‎ 考点:两角和与差的正切公式.‎ ‎【变式演练9】已知则 ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析:,‎ 考点:两角和的正切公式.‎ 方法三 公式活用 例3 求值:‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎【答案】‎ 考点:三角函数基本公式及诱导公式.‎ ‎【变式演练10】下列式子结果为的是( )‎ ‎①;②;‎ ‎③;④.‎ A. ①② B. ③ C. ①②③ D. ②③④‎ ‎【答案】C ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017山东,文4】已知,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【考点】二倍角公式 ‎【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.‎ ‎2. 【2016高考新课标2理数】若,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3. 【2016高考新课标3理数】若 ,则( )‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由,得或,所以,故选A.‎ 考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、倍角公式.‎ ‎【方法点拨】三角函数求值:①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化,通过相消或相约消去非特殊角,进而求出三角函数值;②“给值求值”关键是目标明确,建立已知和所求之间的联系.‎ ‎4.【2015高考新课标1,理2】 =( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式= ==,故选D.‎ ‎【考点定位】三角函数求值.‎ ‎【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系,会用诱导公式将不同角化为同角,再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数,利用特殊角的三角函数值即可求出值,注意要准确记忆公式和灵活运用公式.‎ ‎5.【2015高考重庆,理9】若,则(  )‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎【答案】C ‎【考点定位】两角和与差的正弦(余弦)公式,同角间的三角函数关系,三角函数的恒等变换.‎ ‎【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值,在求值时只要根据求解目标的需要,结合已知条件选用合适的公式计算即可.本例应用两角和与差的正弦(余弦)公式化解所求式子,利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简,求解过程中注意公式的顺用和逆用.‎ ‎6. 【2015高考福建,文6】若,且为第四象限角,则的值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【考点定位】同角三角函数基本关系式.‎ ‎【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式,在、、三个值之间,知其中的一个可以求剩余两个,但是要注意判断角的象限,从而决定正负符号的取舍,属于基础题.‎ ‎7.【2015高考重庆,文6】若,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,故选A.‎ ‎【考点定位】正切差角公式及角的变换.‎ ‎【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式,采用先将未知角用已知角和表示出来,再用正切的差角公式求解.本题属于基础题,注意运算的准确性.‎ ‎8.【2017北京文,9】在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin=,则sin=_________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:与关于轴对称,则 ,所以 ‎ ‎【考点】诱导公式 ‎【名师点睛】本题考查了角的对称的关系,以及诱导公式,常用的一些对称关系包含,与关于轴对称,则 ,若与关于 轴对称,则 ,若与关于原点对称,则 ,‎ ‎9.【2017北京理,12】在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若,=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎ .‎ ‎10.【2017江苏,5】若 则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎11.【2017全国I卷文,15】已知,tan α=2,则=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由得 又 所以 因为 所以 因为 所以 ‎【考点】三角函数求值 ‎【名师点睛】三角函数求值的三种类型 ‎ ‎(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;‎ ‎②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.‎ ‎(3)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.‎ ‎12.【2015高考四川,理12】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】法一、.‎ 法二、.‎ 法三、.‎ ‎【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.‎ 有.第二种方法是直接凑为特殊角,利用特殊角的三角函数值求解.‎ ‎【名师点睛】这是一个来自于课本的题,这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角,然后再化为一个三角函数一般地,有.第二种方法是直接凑为特殊角,利用特殊角的三角函数值求解.‎ ‎13.【2015江苏高考,8】已知,,则的值为_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1.【广西贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考数学(理)试题】若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,∴,∴.选B。‎ ‎2.【安徽省马鞍山2017-2018学年度高三联考 数学(联考)试题】已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 3.【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学(文)试题】已知且,则( )‎ A. B. C. 或 D. 或7‎ ‎【答案】C ‎【解析】,由,得, .‎ 由,得或.‎ 故选C.‎ ‎4.【江西省南昌市2018届高三上学期摸底数学理试卷】已知, ,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵, ,∴,则,故选C.‎ ‎5.【江西省2018届高三年级阶段性检测考试(二)文科数学试题】已知为角的终边上的一点,且,则的值为( )‎ A. 1 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三角函数定义得,选A.‎ ‎6.【辽宁省凌源二中2018届高三三校联考理数试卷】已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎ 7.【江西省上饶市2017届高三下学期高考一模数学理】已知,则的值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,故选A.‎ ‎8.【甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三2018级一调理科数学试卷】已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 9.【安徽省滁州市2018届高三9月联合质量检测数学(文)试题】设是定义域为,最小正周期为的函数,且在区间上的表达式为,则( )‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】.‎ 故选D.‎ ‎10.【河北省衡水中学2018届高三上学期二调考试数学(理)试题】已知,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,‎ ‎∴ ‎ ‎,‎ ‎∴。‎ 答案:2‎ ‎11.【河南省许平汝2017-2018学年高二上学期第一次联考数学试题】已知函数.‎ ‎(1)当时,若,求的值;‎ ‎(2)若,求函数在区间上的值域.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ 即,‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎(2)当时,可知,‎ 当时, ,‎ 当时, 取最小值;当时, 取最大值,‎ ‎∴函数在区间上的值域为.‎ ‎12.【江西省2018届高三年级阶段性检测考试(二)文科数学试题】已知,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值;‎ ‎(3)求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎ ‎ ‎ ‎