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- 2021-06-23 发布
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2016-2017学年河北省邯郸市临漳一中高二(上)期中数学试卷(文科)
一、单选题(共18小题,每题5分,每题中只有一个选项是正确的)
1.不等式x2﹣2x﹣3<0的解集是( )
A.{x|x<﹣1} B.{x|x>3} C.{x|﹣1<x<3} D.{x|x<﹣1或x>3}
2.在△ABC中,若a=2,b=2,A=30°,则B为( )
A.60° B.60°或120° C.30° D.30°或150°
3.在等差数列{an}中,已知a5=15,则a2+a4+a6+a8的值为( )
A.30 B.45 C.60 D.120
4.设0<a<b<1,则下列不等式成立的是( )
A.a3>b3 B. C.ab>1 D.lg(b﹣a)<0
5.实数x、y满足条件,则z=x﹣y的最小值为( )
A.1 B.﹣1 C. D.2
6.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
7.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(a﹣b)2+6,C=,则△ABC的面积( )
A.3 B. C. D.3
8.《九章算术》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十一尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,问第十日所织尺数为( )
A.6 B.9 C.12 D.15
9.已知等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
10.若x>0,y>0且+=1,则x+y最小值是( )
A.9 B. C. D.5
11.已知p:x2﹣5x+6≤0,q:|x﹣a|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞,3] B.[2,3] C.(2,+∞) D.(2,3)
12.已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q
13.下列说法不正确的是( )
A.若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题
B.命题“∃x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是““∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0”
C.设A,B是两个集合,则“A⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要条件
D.当a<0时,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递减
14.设x∈R,则“x2=1”是“x=1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
15.设椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
16.已知椭圆的两个焦点是(﹣3,0),(3,0),且点(0,2)在椭圆上,则椭圆的标准方程是( )
A. B. C. D.
17.设等比数列{an}的公比为q,其前n项之和为Sn,前n项之积为Tn,并且满足条件:a1>1,a2016a2017>1,<0,下列结论中正确的是( )
A.q<0 B.a2016a2018﹣1>0
C.T2016是数列{Tn}中的最大项 D.S2016>S2017
18.已知椭圆C1: +=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上不存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,) C.[,1) D.[,1)
二、填空题(共4小题,每题5分,共20分)
19.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为 .
20.已知数列{an}满足anan+1=(﹣1)n(n∈N*),a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,则S2015= .
21.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=2,则a1+2a3的最小值是 .
22.直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点,若以(m,n)为点P的坐标,则过点P的一条直线与椭圆的公共点有 个.
三、解答题(共4小题,每题10分,共40分.)
23.在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2csinA.
(1)求角C的值;
(2)若c=,且S△ABC=,求a+b的值.
24.已知数列{an}满足a1=4,an+1=3an﹣2(n∈N+)
(1)求证:数列{an﹣1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(2)令bn=log3(a1﹣1)+log3(a2﹣1)+…+log3(an﹣1),求数列{}的前n项和Tn.
25.已知命题p:∃x∈R,x2+2x﹣m=0;命题q:∀x∈R,mx2+mx+1>0.
(Ⅰ)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)若命题q为假命题,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若命题p∨q为真命题,且p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
26.给定椭圆C: +=1(a>b>0),称圆C1:x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为,且经过点(0,1).
(1)求实数a,b的值;
(2)若过点P(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2,求实数m的值.
2016-2017学年河北省邯郸市临漳一中高二(上)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、单选题(共18小题,每题5分,每题中只有一个选项是正确的)
1.不等式x2﹣2x﹣3<0的解集是( )
A.{x|x<﹣1} B.{x|x>3} C.{x|﹣1<x<3} D.{x|x<﹣1或x>3}
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】将不等式左边的多项式分解因式,即可得到原不等式的解集.
【解答】解:不等式x2﹣2x﹣3<0,
因式分解得:(x﹣3)(x+1)<0,
解得:﹣1<x<3,
则原不等式的解集为(﹣1,3).
故选:C
2.在△ABC中,若a=2,b=2,A=30°,则B为( )
A.60° B.60°或120° C.30° D.30°或150°
【考点】正弦定理.
【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B.
【解答】解:由正弦定理可知 =,
∴sinB==
∵B∈(0,180°)
∴∠B=60°或120°°
故选B.
3.在等差数列{an}中,已知a5=15,则a2+a4+a6+a8的值为( )
A.30 B.45 C.60 D.120
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】根据等差数列的性质进行求解即可.
【解答】解:在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,
∴a2+a4+a6+a8=(a2+a8)+(a4+a6)=2a5+2a5=4a5=4×15=60.
故选:C.
4.设0<a<b<1,则下列不等式成立的是( )
A.a3>b3 B. C.ab>1 D.lg(b﹣a)<0
【考点】不等关系与不等式.
【分析】直接利用条件,通过不等式的基本性质判断A、B的正误;指数函数的性质判断C的正误;对数函数的性质判断D的正误;
【解答】解:因为0<a<b<1,由不等式的基本性质可知:a3<b3,故A不正确;,所以B不正确;由指数函数的图形与性质可知ab<1,所以C不正确;由题意可知b﹣a∈(0,1),所以lg(b﹣a)<0,正确;
故选D.
5.实数x、y满足条件,则z=x﹣y的最小值为( )
A.1 B.﹣1 C. D.2
【考点】简单线性规划.
【分析】由题意作出其平面区域,将z=x﹣y化为y=x﹣z,﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距,由几何意义可得.
【解答】解:由题意作出其平面区域,
将z=x﹣y化为y=x﹣z,﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距,
则过点(0,1)时,z=x﹣y取得最小值,
则z=0﹣1=﹣1,
故选B.
6.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【考点】解三角形.
【分析】过A作AE⊥CD,垂足为E,在Rt△ABD和Rt△ACE中使用勾股定理求出AD,AC的长,再在△ACD中使用余弦定理求出∠CAD.
【解答】解:过A作AE⊥CD,垂足为E,则CE=50﹣20=30,AE=60,
∴AD==20,
AC==30,
在△ACD中,由余弦定理得
cos∠CAD==,
∴∠CAD=45°.
故选:B.
7.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(a﹣b)2+6,C=,则△ABC的面积( )
A.3 B. C. D.3
【考点】余弦定理.
【分析】根据条件进行化简,结合三角形的面积公式进行求解即可.
【解答】解:∵c2=(a﹣b)2+6,
∴c2=a2﹣2ab+b2+6,
即a2+b2﹣c2=2ab﹣6,
∵C=,
∴cos===,
解得ab=6,
则三角形的面积S=absinC==,
故选:C
8.《九章算术》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十一尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,问第十日所织尺数为( )
A.6 B.9 C.12 D.15
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】设此数列为{an},由题意可知为等差数列,公差为d.利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.
【解答】解:设此数列为{an},由题意可知为等差数列,公差为d.
则S7=21,a2+a5+a8=15,
则7a1+d=21,3a1+12d=15,
解得a1=﹣3,d=2.
∴a10=﹣3+9×2=15.
故选:D.
9.已知等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【考点】等比数列的性质.
【分析】设等比数列{an}的公比为q,由于a3=2,a4a6=16,可得=2, =16,解得q2.可得=q4.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,∵a3=2,a4a6=16,∴=2, =16,
解得q2=2.
则==q4=4.
故选:B.
10.若x>0,y>0且+=1,则x+y最小值是( )
A.9 B. C. D.5
【考点】基本不等式.
【分析】把x+y转化为,展开后利用基本不等式求最值.
【解答】解:∵x>0,y>0且+=1,
∴x+y==9.
当且仅当,即x=6,y=3时上式等号成立.
故选:A.
11.已知p:x2﹣5x+6≤0,q:|x﹣a|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞,3] B.[2,3] C.(2,+∞) D.(2,3)
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】求出不等式的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可.
【解答】解:由x2﹣5x+6≤0得,即2≤x≤3,
由|x﹣a|<1得a﹣1<x<a+1,
若p是q的充分不必要条件,
则,即,
则2<a<3.
故选:D
12.已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q
【考点】复合命题的真假.
【分析】举反例说明命题p为假命题,则¬p为真命题.引入辅助函数f(x)=x3+x2﹣1,由函数零点的存在性定理得到该函数有零点,从而得到命题q为真命题,由复合命题的真假得到答案.
【解答】解:因为x=﹣1时,2﹣1>3﹣1,所以命题p:∀x∈R,2x<3x为假命题,则¬p为真命题.
令f(x)=x3+x2﹣1,因为f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0.所以函数f(x)=x3+x2﹣1在(0,1)上存在零点,
即命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2为真命题.
则¬p∧q为真命题.
故选B.
13.下列说法不正确的是( )
A.若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题
B.命题“∃x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是““∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0”
C.设A,B是两个集合,则“A⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要条件
D.当a<0时,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递减
【考点】命题的真假判断与应用;复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断;幂函数的性质.
【分析】逐项判断即可.
【解答】解:A、p且q为假,根据复合命题的判断方法知,p,q至少有一个为假,故A正确;
B、根据特称命题的否定形式知B正确;
C、当A⊆B可得A∩B=A,反之,当A∩B=A时,也可推出A⊆B,所以“A⊆B”是“A∩B=A”的充要条件,故C错误;
D、由幂函数的性质易知D正确.
故选C.
14.设x∈R,则“x2=1”是“x=1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】解方程x2=1,易判断“x2=1⇒x=1”与“x=1⇒x2=1”的真假,进而根据充要条件的定义,得到答案.
【解答】解:当x2=1时,x=±1,此时x=1不成立
故x2=1是x=1的不充分条件;
当x=1时,此时x2=1一定成立
故x2=1是x=1的必要条件;
x∈R,则“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件;
故选B.
15.设椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设|PF2|=x,在直角三角形PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率的性质即可求得答案.
【解答】解:设|PF2|=x,
∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,
∴|PF1|=2x,|F1F2|=x,
又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c
∴2a=3x,2c=x,
∴C的离心率为:e==.
故选A.
16.已知椭圆的两个焦点是(﹣3,0),(3,0),且点(0,2)在椭圆上,则椭圆的标准方程是( )
A. B. C. D.
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】根据椭圆方程为标准方程,及椭圆的两个焦点是(﹣3,0),(3,0),且点(0,2)在椭圆上,可得相应几何量,从而得解.
【解答】解:由题意,因为椭圆的两个焦点是(﹣3,0),(3,0),
所以c=3,
又因为椭圆过点(0,2),
所以b=2,
根据a2=b2+c2,可得a=.
故椭圆的标准方程为:
故选A.
17.设等比数列{an}的公比为q,其前n项之和为Sn,前n项之积为Tn,并且满足条件:a1>1,a2016a2017>1,<0,下列结论中正确的是( )
A.q<0 B.a2016a2018﹣1>0
C.T2016是数列{Tn}中的最大项 D.S2016>S2017
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】a1>1,a2016a2017>1,<0,可得a2016>1,a2017<1,即可判断出结论.
【解答】解:∵a1>1,a2016a2017>1,<0,
∴a2016>1,a2017<1,
∴T2016是数列{Tn}中的最大项,
故选:C.
18.已知椭圆C1: +=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上不存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,) C.[,1) D.[,1)
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】作出简图,则>,则e=.
【解答】解:由题意,如图
若在椭圆C1上不存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,
由∠APO>45°,
即sin∠APO>sin45°,
即>,
则e=,
故选A.
二、填空题(共4小题,每题5分,共20分)
19.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为 .
【考点】同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正弦;正弦定理.
【分析】由条件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2,即sin2B=1,根据三角形的内角和定理得到0<B<π得到B的度数.利用正弦定理求出A即可.
【解答】解:由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2,即sin2B=1,
因为0<B<π,所以B=45°,b=2,所以在△ABC中,
由正弦定理得:,
解得sinA=,又a<b,所以A<B=45°,所以A=30°.
故答案为
20.已知数列{an}满足anan+1=(﹣1)n(n∈N*),a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,则S2015= ﹣1 .
【考点】数列递推式.
【分析】由数列{an}满足,a1=1,可得a4k﹣3=1,a4k﹣2=﹣1,a4k﹣1=﹣1,a4k=1,k∈N*.即可得出.
【解答】解:∵数列{an}满足,a1=1,
∴a2=﹣1,a3=﹣1,a4=1,a5=1…,
∴a4k﹣3=1,a4k﹣2=﹣1,a4k﹣1=﹣1,a4k=1,k∈N*.即数列各项的值呈周期性出现
∴S2015=503×(1﹣1﹣1+1)+(1﹣1﹣1)=﹣1.
故答案为:﹣1.
21.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=2,则a1+2a3的最小值是 4 .
【考点】等比数列的通项公式;数列的函数特性.
【分析】由基本不等式可得,a1+2a3≥2=,结合已知即可求解
【解答】解:∵a2=2,且an>0
由基本不等式可得,a1+2a3≥2==4
即最小值为
故答案为:
22.直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点,若以(m,n)为点P的坐标,则过点P的一条直线与椭圆的公共点有 2 个.
【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线与圆的位置关系.
【分析】根据直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点即为将方程代入圆中消去x得到方程无解,利用根的判别式小于零求出m与n的关系式,得到m与n的绝对值的范围,在根据椭圆的长半轴长和短半轴长,比较可得公共点的个数.
【解答】解:将直线mx+ny﹣3=0变形代入圆方程x2+y2=3,消去x,得
(m2+n2)y2﹣6ny+9﹣3m2=0.令△<0得,m2+n2<3.
又m、n不同时为零,∴0<m2+n2<3.
由0<m2+n2<3,可知|n|<,|m|<,
再由椭圆方程a=,b=可知P(m,n)在椭圆内部,
∴过点P的一条直线与椭圆的公共点有2个.
故答案为2.
三、解答题(共4小题,每题10分,共40分.)
23.在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2csinA.
(1)求角C的值;
(2)若c=,且S△ABC=,求a+b的值.
【考点】正弦定理.
【分析】(1)由a=2csinA及正弦定理得sinA=2sinCsinA,又sinA≠0,可sinC=.又△ABC是锐角三角形,即可求C.
(2)由面积公式,可解得ab=6,由余弦定理,可解得a2+b2﹣ab=7,联立方程即可解得a+b的值的值.
【解答】解:(1)由a=2csinA及正弦定理,得sinA=2sinCsinA,
∵sinA≠0,
∴sinC=.
又∵△ABC是锐角三角形,
∴C=.
(2)∵c=,C=,
∴由面积公式,得absin=,即ab=6.①
由余弦定理,得a2+b2﹣2abcos=7,
即a2+b2﹣ab=7.②
由②变形得(a+b)2=3ab+7.③
将①代入③得(a+b)2=25,故a+b=5.
24.已知数列{an}满足a1=4,an+1=3an﹣2(n∈N+)
(1)求证:数列{an﹣1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(2)令bn=log3(a1﹣1)+log3(a2﹣1)+…+log3(an﹣1),求数列{}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.
【分析】(I)由an+1=3an﹣2(n∈N+),变形为an+1﹣1=3(an﹣1),即可证明.
(II)由(I)可得log3(an﹣1)=n.可得bn=1+2+…+n=.可得==2.利用“裂项求和”即可得出.
【解答】(I)证明:∵an+1=3an﹣2(n∈N+),
∴an+1﹣1=3(an﹣1),
∴数列{an﹣1}为等比数列,a1﹣1=3.
∴an﹣1=3n,
∴.
(II)解:由(I)可得log3(an﹣1)=n.
∴bn=log3(a1﹣1)+log3(a2﹣1)+…+log3(an﹣1)=1+2+…+n=.
∴==2.
∴数列{}的前n项和Tn=+…+
=
=.
25.已知命题p:∃x∈R,x2+2x﹣m=0;命题q:∀x∈R,mx2+mx+1>0.
(Ⅰ)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)若命题q为假命题,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若命题p∨q为真命题,且p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
【考点】复合命题的真假;全称命题.
【分析】( I)若命题p为真命题,则x2+2x﹣m=0有实数根,根据△≥0,解出即可;
(II)若命题q为假命题,通过讨论(1)m=0时,(2)m>0时,(3)m<0时的情况,从而得到答案.
(III)通过讨论“p真,q假”或“p假,q真”的情况,得到不等式组,解出即可.
【解答】解:( I)若命题p为真命题,则x2+2x﹣m=0有实数根,
∴△=4+4m≥0,解得:m≥﹣1,
即m的取值范围为[﹣1,+∞);
(II)若命题q为假命题,则
(1)m=0时,不合题意;
(2)m>0时,△=m2﹣4m≥0,解得:m≥4;
(3)m<0时,符合题意.
综上:实数m的取值范围为(﹣∞,0)∪[4,+∞).
(III)由( I)得p为真命题时,m≥﹣1;p为假命题时,m<﹣1,
由(II)得q为真命题时,0≤m<4;q为假命题时,m<0或m≥4,
∵p∨q为真命题,且p∧q为假命题,∴“p真,q假”或“p假,q真”
∴或,
解得实数m的取值范围为[﹣1,0)∪[4,+∞).
26.给定椭圆C: +=1(a>b>0),称圆C1:x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为,且经过点(0,1).
(1)求实数a,b的值;
(2)若过点P(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2,求实数m的值.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【分析】(1)记椭圆C的半焦距为c.由题意,得b=1, =,由此能求出a,b.
(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1,圆C1的方程为x2+y2=5.设直线l的方程为y=kx+m,由,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离,结合知识点能求出m.
【解答】(本小题满分16分)
解:(1)记椭圆C的半焦距为c.
由题意,得b=1, =,c2=a2+b2,
解得a=2,b=1.…
(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1,圆C1的方程为x2+y2=5.
显然直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y=kx+m,即kx﹣y+m=0. …
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,
故方程组(*)有且只有一组解.
由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.
从而△=(8km)2﹣4(1+4k2)( 4m2﹣4)=0.
化简,得m2=1+4k2.①…
因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2,
所以圆心到直线l的距离d==.
即=. ②…
由①②,解得k2=2,m2=9.
因为m>0,所以m=3. …