【推荐】专题03+探索数列的单调性和最值问题-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（必修5）x 15页

一、选择题 ‎1．【广东省东莞市2016-2017学年高二下学期期末】已知数列满足， （），则使成立的最大正整数的值为（ ）‎ A. 198 B. 199 C. 200 D. 201‎ ‎【答案】C 点睛：解答本题的方法是借助题设中提供的四个选择支，运用筛选验证的方法进行分析验证，最终选出适合问题题设条件的答案。‎ ‎2．【浙江省衢州市2016-2017学年高二6月教学质量检测】数列中， ，则的最大值为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得 ，‎ 因此 因此 （令 ），选D.‎ ‎3．【福建省2016届高三毕业班总复习】已知数列满足 ，则数列 的最小值是（ ）‎ A. 25 B. 26 C. 27 D. 28‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为所以，解得，由累加方法求得数列，所以，而解得，当n=7时， 由最小值26,选B.‎ ‎4．【浙江省绍兴市第一中学2016-2017学年高二下学期期末】对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列” ．设，若数列是“减差数列”，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：紧扣“减差数列”定义，把问题转化为恒成立问题， 变量分离转求最值即可，本题易错点是忽略了n的取值范围.‎ ‎5．【河北省保定市2017届高三二模】已知数列中，前项和为，且，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 3 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】当 时， ‎ 两式作差可得： ，‎ 据此可得，当 时，的最大值为3. ‎ ‎6．【河北省保定市2017届高三下学期一模】已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是 A. (1,3) B. C. (2,3) D. ‎ ‎【答案】C 点睛:本题考查数列与函数的关系以及数列的单调性问题,属于中档题目.由题意是递增数列，可得函数为增函数,根据分段函数的性质,函数在各段上均为增函数,根据一次函数和指数函数的单调性列出两个不等式,又数列是单增数列,所以,由此构造三个关于a的不等式组,解出即可得到结论.‎ ‎7．【陕西省西藏民族学院附属中学2017届高三4月月考】设函数， ，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为数列是单调递减数列，所以只需且 ，即且，故选C．‎ ‎8．【四川省乐山市高2017届第三次调查】已知数列的前项和，则确定的最大正整数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 二、填空题 ‎9．【江苏省徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】设等比数列满足， ，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】， ，所以公比 ‎ ‎ ,所以当时,取最大值64‎ ‎10．【湖南省永州市2018届高三上学期一模】已知数列中， ， ， ，若数列单调递增，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】数列中， ， ， ，由可知数列奇数项、偶数项 分别递增，若数列单调递增，则必有 且，可得 ，即实数的取值范围为，故答案为.‎ ‎11．【武汉市蔡甸区汉阳一中2017届高三五模】已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【点睛】本题主要考察了递推公式，以及等差数列和与通项公式的关系，以及分类讨论数列的通项公式，本题有一个易错的地方是，忽略 的取值问题，当出现 时，认为奇数项和偶数项成等差数列，其实，奇数项应从第三项起成等差数列，所以奇数项的通项公式为，而不是 ，注意这个问题，就不会出错.‎ ‎12．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟】设数列的前项的和为，且，若对于任意的都有恒成立，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设可得，则，不等式 可化为，即，则问题转化为求的最大值和最小值。由于，所以的最大值和最小值分别为和，则，即，应填答案。‎ 点睛：解答本题的关键是求出数列的前项的和为， ，进而求出，将不等式等价转化为，即恒成立，从而将问题转化为求的最大值和最小值问题。‎ ‎13．【江苏省盐城中学2017年高一数学竞赛】已知数列满足,，则的最小值为____________．‎ ‎【答案】‎ 点睛：在利用叠加法求项时，一定要注意使用转化思想.在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用基本不等式求最值时注意数列定义域，明确等于号是否取到.‎ ‎14．【高二数学苏教版必修五】已知数列{an}的通项公式an＝ (n∈N*)，给出下列说法：‎ ‎① 数列{an}中的最大项和最小项分别是a10，a9；‎ ‎② 数列{an}中的最大项和最小项分别是a9，a10；‎ ‎③ 数列{an}中的最大项和最小项分别是a1，a9；‎ ‎④ 数列{an}中的最大项和最小项分别是a1，a10.‎ 其中，说法正确的是________．(填序号)‎ ‎【答案】①　‎ ‎【解析】令f(n)＝，则 f(n)＝ ‎ ‎∵ >0，∴ f(n)在(0， )和(，＋∞)上都是减函数．‎ ‎∴ 当n＝9时an取最小值；当n＝10时an取最大值．‎ ‎15．【高二数学苏教版必修五】已知数列{an}中，an＝n2＋2λn(λ是与n无关的常数)，且a10.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 当n=2016时, ,得<1.‎ ‎.‎ 当n=2017时, ,得>1.‎ 因此存在n,使得>1，且n的最小值为2018.‎ 故答案为：2018. ‎ ‎17．【河北省武邑中学2017届高三下学期三模】数列中， ，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎18．【安徽省蚌埠市2017届高三三模】已知数列满足，若，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得： ，‎ 即： ，整理可得： ，‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ ‎19．【河北省武邑中学2016-2017学年高一下学期期中】若（其中为实常数），，且数列为单调递增数列，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 数列是增数列 。‎ 三、解答题 ‎20．【广东省揭阳市惠来县第一中学2018届高三上学期第一次阶段考】记为差数列的前n项和，已知， .‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)令， ，若对一切成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据等差数列通项公式将条件转化为关于首项与公差的方程组,解方程组可得首项与公差的值,再代入通项公式即得的通项公式；‎ ‎（2）因为，所以利用裂项相消法可得,再根据最小值得，即得实数的最大值. ‎ ‎ ‎ ‎(2) ， ‎ ‎， ‎ 随着增大而增大， ‎ 是递增数列， ， ‎ ‎， ‎ ‎∴实数的最大值为2.‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎21．【高二数学苏教版必修五】已知数列{an}的通项公式是an＝.‎ ‎(1) 判断是不是数列{an}中的一项；‎ ‎(2) 试判断数列{an}中的项是否都在区间(0，1)内；‎ ‎(3) 在区间内有无数列{an}中的项？若有，是第几项？若没有，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）不是（2）都在 (3) 第二项 ‎【解析】试题分析：（1）解方程得 ，不为整数，所以不是数列中的项（2）化简an得 ，再根据 得，即得数列{an}中的项都在区间(0，1)内（3）解不等式得 ‎ ‎ ‎(3) 令