专题4-4+三角函数的图象及三角函数模型的简单应用（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 22页

2018 年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第四章 三角函数 第 04 节 三角函数的图象及三角函数模型的简单应用 【考纲解读】 考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测 三角函数的 图象及三角 函数模型的 简单应用 ①了解函数 sin( )y A x   的 物理意义；能画出 sin( )y A x   的图像，了解参 数 A、ω、对函数图象变化的影 响。 ②了解三角函数是描述周期变化 现象的重要函数模型，会用三角 函数解决一些简单实际问题。 了解三角函数的周期性. 2013 新课标 I 文 9；II.文 16； 2016 新课标 I 文 6，理 12；II.文 3，11，理 7；III 文 14，理 14； 2017 新课标 I 文 8，理 9；III 理 6. 1.“五点法”作 图； 2. 函 数 图 象 的 变换； 3. 三 角 函 数 模 型的应用问题. 4.备考重点： (1) 掌握函数 图象的变换； (2) 掌握三角 函数模型的应 用. 【知识清单】 1.求三角函数解析式 （1）  siny A x   的有关概念  siny A x    0, 0A   ， 振幅 周期 频率 相位 初相  0,x  表示一个振动量时 A 2T   1 2f T    x   （2）用五点法画  siny A x   一个周期内的简图 用五点法画  siny A x   一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x   2          3 2      2    x  0 2   3 2  2  siny A x   0 A 0 － A 0 （3）由  siny A x   的图象求其函数式： 已知函数  siny A x   的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低 点或特殊点求 A ；由函数的周期确定 ；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一 般把第一个零点 ,0      作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． （4）利用图象变换求解析式： 由 siny x 的图象向左 0  或向右 0  平移  个单位，，得到函数  siny x   ， 将图象上各点的横坐标变为原来的 1  倍( 0  )，便得  siny x   ，将图象上各点的纵 坐标变为原来的 A 倍( 0A  )，便得  siny A x   . 对点练习： 【2018 安徽省六安市寿县第一中学上学期第一次月考】函数 f(x) = 2sin(ωx + ϕ) (ω > 0, − π 2 < ϕ < π 2 ) 的部分图象如图所示，将 f(x) 的图象向左平移 π 6 个单位后的解析式为（ ） A. y = 2sin(2x − π 6 ) B. y = 2sin(2x) C. y = 2sin(2x + π 6 ) D. y = 2sin(2x + π 3 ) 【答案】B 【解析】根据函数 f x = 2sin ωx + φ 的部分图象知， 3 4 T = 5π 12 − − π 3 = 3 4 π ，解得 T = π, ∴ ω = 2π T = 2 ，根据五点法画正弦函数图象，知 x = 5π 12 时， 2 × 5π 12 + φ = π 2 ，解得 φ = π 3 , ∴ f x = 2sin 2x − π 3 ，将 f x 的图象向左平移 π 6 个单位后，得到 y = 2sin 2 x + π 6 − π 3 = 2sin 2x ， 故选 B. 2.三角函数图象的变换 1.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减 把函数  y f x 向左平移  0   个单位，得到函数  y f x   的图像; 把函数  y f x 向右平移  0   个单位，得到函数  y f x   的图像; 把函数  y f x 向上平移  0   个单位，得到函数  y f x   的图像; 把函数  y f x 向下平移  0   个单位，得到函数  y f x   的图像. 伸缩变换: 把函数  y f x 图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 1  ，得到函数   0 1y f x    的图像; 把函数  y f x 图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 1  ，得到函数   1y f x   的图像; 把函数  y f x 图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 A ，得到函数   1y Af x A  的 图像; 把函数  y f x 图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的 A ，得到函数   0 1y Af x A   的图像. 2.由 siny x 的图象变换出  siny x    0  的图象一般有两个途径，只有区别开这 两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩 后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变 量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 siny x 的图象向左 0  或向右 0  平移  个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 1  倍( 0  )，便得  siny x   的 图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将 siny x 的图象上各点的横坐标变为原来 的 1  倍( 0  )，再沿 x 轴向左( 0  )或向右( 0  )平移   || 个单位，便得  siny x   的图象. 注意：函数 sin( ) y x   的图象，可以看作把曲线 siny x 上所有点向左(当 0  时) 或向右(当 0  时)平行移动   个单位长度而得到. 对点练习： 【2017 课标 1，理 9】已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2π 3 )，则下面结论正确的是 A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 6 个单位 长度，得到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单 位长度，得到曲线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 6 个单位 长度，得到曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单 位长度，得到曲线 C2 【答案】D 【解析】 3 .函数  siny A x   的图像与性质的综合应用 （1） xy sin 的递增区间是      2222  kk ， )( Zk  ，递减区间是      2 3222  kk ， )( Zk  . （2）对于 sin( )y A x   和 cos( )y A x   来说，对称中心与零点相联系，对称轴与 最值点联系. sin )y A x  （ 的图象有无穷多条对称轴，可由方程  2x k k Z      解出；它还 有无穷多个对称中心，它们是图象与 x 轴的交点，可由  x k k Z     ，解得  kx k Z     ，即其对称中心为  ,0k k Z        ． （3）若 sin( )y A x   为偶函数，则有 ( )2k k Z    ;若为奇函数则有 ( )k k Z   . （4） ( ) sin( )f x A x   的最小正周期都是 2 | |T   . 对点练习： 【2018 黑龙江省齐齐哈尔八中 8 月月考】将函数   cos2f x x  的图像向右平移 4  个单位后 得到函数  g x ，则  g x 具有性质（ ） A. 最大值为 1，图像关于直线 2x  对称 B. 周期为 ，图像关于点 3 ,08      对称 C. 在 3 ,8 8      上单调递增，为偶函数 D. 在 0, 4      上单调递减，为奇函数 【答案】D 当 x= 3 8  时,g(x)= 3 2  ,故 g(x)的图象不关于点( 3 8  ,0)对称，故排除 B， 故选：D. 【考点深度剖析】 近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强， 往往将恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期 性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查， 淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数    xAy sin Rx  的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质： （1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函 数的半个周期； （2）函数图象与 x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期； （3）函数取最值的点与相邻的与 x 轴的交点间的距离为其函数的 4 1 个周期. 注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移. 【重点难点突破】 考点 1 求三角函数解析式 【1-1】【2017 山东青岛期初调研】已知函数   sin ( 0)3f x x        的最小正周期为 ， 若将函数  f x 的图象向右平移 12  个单位，得到函数  g x 的图象，则函数  g x 的解析式为 （ ） A.   sin 4 6g x x      B.   sin 4 3g x x      C.   sin 2 6g x x      D.   sin2g x x 【答案】C 【1-2】【2018 云南省师范大学附属中学适应性月考卷一】将函数   sin 2 3f x x      的图象 向左平移 6  个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ） A. sin2y x B. cos2y x C. 2sin 2 3y x      D. sin 2 6y x      【答案】C 【解析】 2 3y sin x      的图象向左平移 6  单位得到 22 26 3 3y sin x sin x                   的图象，即将函数   sin 2 3f x x      的图象向 左平移 6  个单位，所得的图象所对应的函数解析式是 2sin 2 3y x      ，故选 C. 【1-3】【2018 安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟摸底】已知函数    cos 0, 0, 2f x A x A            的图象如图所示，若将函数  f x 的图象向左 平移 2  个单位，则所得图象对应的函数可以为（ ） A. 32sin 2 4y x       B. 32sin 2 4y x      C. 52sin 2 4y x       D. 52sin 2 4y x      【答案】A 【解析】由图易知： 2A  ， 3T 2 π8 8        ，∴ 2  ，即    2cos 2f x x   ， 由五点法作图知： 3cos 2 18         ，得： 32 π8     ，∴ 4   即   2cos 2 4f x x      ，将函数  f x 的图象向左平移 2  个单位，得： y 2cos 2 2 4x           ， 即 5 3y 2cos 2 2cos 24 2 4x x                   = 32sin 2 4x      故选 A. 【领悟技法】 1.根据  siny A x h     0, 0A   的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面 来考虑： (1) A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 A ＝最高点－最低点 2 ； (2) h 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 h ＝最高点＋最低点 2 ； (3)  的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由 2T   ( 0  )来确定 ； (4) 求 ，常用的方法有： ①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时 , ,A h 已知)或代入图像与直线 y h 的交点求 解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定 值时，由函数  siny A x k    最开始与 x 轴的交点的横坐标为   (即令 0x   ， x    )确定 .将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点 法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与 x 轴的交点）为 0 0 2x k     ，其他依 次类推即可. 2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变 量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【触类旁通】 【变式一】已知 , , ,A B C D 是函数 sin( )( 0,0 )2y x         一个周期内的图象上的 四个点，如图所示， ( ,0),6A  B 为 y 轴上的点，C 为图像上的最低点， E 为该函数图像的 一个对称中心， B 与 D 关于点 E 对称，CD uuur 在 x 轴上的投影为 12  ，则 ,  的值为（ ） Ａ． 2, 3     B． 2, 6     Ｃ． 1 ,2 3     D． 1 ,2 6     【答案】A 【解析】因为 A B C D E， ， ， ， 是函数 0 0 )2y sin x     （ ）（ ＞ ，＜ ＜ 一个周期内的图 象上的五个点，如图所示， 6( )0A B ，， 为 y 轴上的点，C 为图象上的最低点， E 为该函数 图象的一个对称中心， B 与 D 关于点 E 对称， CD uuur 在 x 轴上的投影为 12  ，所以 4 12 6T      （ ） ，所以 2  ，因为 6( 0)A  ， ,所以 3 2 30 0sin        （ ），＜ ＜ ， ．故选 A． 【变式二】如图，函数 ( ) sin( )f x A x   （其中 0A  ， 0  ，| | 2   ）与坐标轴的 三个交点 P 、Q 、 R 满足 (1, 0 )P     ， 4PQR   ， M 为QR 的中点， 74 2PM  ， 则 A 的值为( ) A．12 B．14 C．8 D．16 【答案】B 考点 2 三角函数图象的变换 【2-1】【2018 黑龙江省大庆实验中学上学期期初考】已知函数   cos ( 0)6f x x        的最小正周期为 ，则函数  f x 的图象（ ） A. 可由函数   cos2g x x 的图象向左平移 3  个单位而得 B. 可由函数   cos2g x x 的图象向右平移 3  个单位而得 C. 可由函数   cos2g x x 的图象向左平移 6  个单位而得 D. 可由函数   cos2g x x 的图象向右平移 6  个单位而得 【答案】D 【解析】由已知得， 2 2   则   cos 2 3f x x      的图象可由函数   cos2g x x 的 图象向右平移 6  个单位而得，故选 D. 【2-2】已知 ( ) cos( )( 0)6f x x     的图象与直线 1y  的两个交点的最短距离是 ，要 得到 ( )y f x 的图象，只需要把 siny x 的图象 A．向左平移 3  个单位 B．向右平移 3  个单位 C．向左平移 6  个单位 D．向右平移 6  个单位 【答案】A 【领悟技法】 1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 ,x y 变换”的原则，写出 每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． 2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图 像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平 移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误． 4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身; 要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数. 【触类旁通】 【变式】将函数 2sin 4y x      （ 0  ）的图象分别向左.向右各平移 4  个单位后，所 得的两个图象的对称轴重合，则 的最小值为（ ） A. 1 2 B.1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】将函数 2sin 4y x      （ 0  ）的图象向左平移 4  个单位后，所得图像的解析 式为 2y  12 sin[ ( ) ] 2 sin( )4 4 4x x        ，将函数 2sin 4y x      （ 0  ） 的 图 象 向 右 平 移 4  个 单 位 后 ， 所 得 图 像 的 解 析 式 为 2 sin[ ( ) ]4 4y x      12 sin( )2x   ，由于所得的两个图象的对称轴重 合，则 1 1 2 2x x        ①,或 1 2x x     1 ,2 k k z    ②，解①得 =0 不合题意，解②得： 2 ,k k z   ，则 的 最小值为 2，故选 C 考点 3 函数  siny A x   的图像与性质的综合应用 【3-1】已知函数    2sinf x x   ， xR ，其中 0  ， π π   ．若  f x 的最 小正周期为 6π ，且当 π 2x  时，  f x 取得最大值，则（ ）． A．  f x 在区间 2π,0 上是增函数 B．  f x 在区间 3π, π  上是增函数 C．  f x 在区间 3π,5π 上是减函数 D．  f x 在区间 4π,6π 上是减函数 【答案】A 【解析】由已知 3 1 6 2    ，  kf 231)6sin(2)2(  ，因 π π   ， 故 3   ， )3 1sin(2)(  xxf ，由 ]22,22[33 1  kkx  得 ]62 1,62 5[  kkx  ， )( Zk  ，故单调增区间为 ]62 1,62 5[  kk  )( Zk  ， 由 ]22 3,22[33 1  kkx  得 )](62 7,62 1[ Zkkkx   ，故单调减区间为 )](62 7,62 1[ Zkkk   ，结合选项，故选 A. 【3-2】 ( ) sin 3 cos 6f x a x x  已知函数 的一条对称轴为x=- ，且    1 2 4,f x f x   则 1 2x x 的最小值为（ ） A． 3  B． 2  C． 2 3  D． 4 3  【答案】C 【3-3】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某 个观测点观测到该处水深 y （米）是随着一天的时间  0 24,t t  单位小时 呈周期性变化， 某天各时刻t 的水深数据的近似值如下表： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 2．4 1.5 0．6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 （Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从 ①  siny A t   ， ②  cos by A t    ，③ siny A t b   (A 0, 0, 0)       中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ） 为保证队员安全，规定在一天中的 5～18 时且水深不低于 1.05 米的时候进行训练，根据（Ⅰ） 中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的 安全。 【答案】(1) 选②  cos by A t    做为函数模型， 0.9sin 1.56y t     ;(2) 这一天 可以安排早上 5 点至 7 点以及 11 点至 18 点的时间段组织训练. 才能确保集训队员的安全. 【解析】试题分析 ：（1）先画出散点图，可知选②做为函数模型，同时可求出各参数， max min max min 2, ,2 2b A T       ,  代最值点可求。（2）由（Ⅰ）知： πy 0.9sin t 1.56      ,5 t 18  令 y 1.05 ，可解得5 t 7 11 t 18   或 。 试题解析：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示： - 依题意，选②  cos by A t    做为函数模型， 2.4 0.6 2.4 0.60.9 1.52 2A b      2 12 6T      0.9cos 1.56y t        0.9 1.5 3 2.46 2.4 0.9 3 1.56 12 1 0 2 y cos t cos cos sin                                           又 函数 的图象过点（ ， ） 又 0.9cos 1.5 0.9sin 1.56 2 6y t t                 （Ⅱ）由（Ⅰ）知： 0.9sin 1.56y t     令 1.05y  ，即 0.9sin 1.5 1.056 t      1sin 6 2t       72 26 6 6k t k k Z         12 1 12 7k t k     又 5 18t  5 7 11 18t t    或 ∴这一天可以安排早上 5 点至 7 点以及 11 点至 18 点的时间段组织训练， 才能确保集训队员的安全。 【领悟技法】 1. 求形如  siny A x   或  cosy A x   (其中 A≠0， 0  )的函数的单调区间， 可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ x  ( 0  )”视为一个 “整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与 siny x ( x R )， cosy x ( x R )的 单调区间对应的不等式方向相同(反)． 2. 如何确定函数 sin( )( 0)y A x A    当 0  时函数的单调性 对于函数 sin( )y A x   求其单调区间，要特别注意 的正负，若为负值，需要利用诱导 公式把负号提出来，转化为 sin( )y A x     的形式，然后求其单调递增区间，应把 x   放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把 x   放在正弦函数的递 增区间之内. 3.求函数 sin( )y A x   (或 cos( )y A x   ，或 tan( )y A x   )的单调区间的步 骤： (1)将 化为正． (2)将 x  看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“ k Z ”. 三角函数存在多个单调区间时 易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若 x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考 虑函数自身的定义域． 【触类旁通】 【2018 福建省闽侯第六中学第一次月考】将函数 sin 6y x      的图象上各点的横坐标变为 原来的 1 2 （纵坐标不变），再往上平移 1 个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调 递增（ ） A. ,3 6      B. ,2 2      C. ,3 3      D. 2,6 3      【答案】A 【易错试题常警惕】 易错典例：将函数    sin 2 , 2 2f x x           的图像向右平移  0   个单位长度 后得到函数  g x 的图像,若  f x ,  g x 的图像都经过点 30, 2P       ,则 的值可以是( ) A. 5 3  B. 5 6  C. 2  D. 6  易错分析：函数    sin 2f x x   的图像向右平移 个单位长度误写成    sin 2g x x     . 正确解析：依题意      sin 2 sin 2 2g x x x           ,因为  f x ,  g x 的图像 都经过点 30, 2P       ,所以   3sin 2 3sin 2 2         ,又因为 2 2     ,所以 3   , 2 23 3k     或 22 23 3k     ,即 k   或 6k     , k Z ,在 6k     , k Z 中,取 1k   ,即得 5 6   ,故选 B. 温馨提醒：(1)三角函数图像变换是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住“只能 对函数关系式中的 ,x y 变换”的原则．(2)对于三角函数图像平移变换问题,其移变换规则是 “左加右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量 x ,如果 x 的系数不是 1，就要把这个系 数提取后再确定变换的单位长度和方向,另外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称 统一,其次要把 x  变换成 x       ,最后确定平移的单位,并根据   的符号确定平移的 方向. 【学科素养提升之思想方法篇】 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物 两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合 就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数" 或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化， 从而起到优化解题途径的目的. 向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐 标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重 身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将 复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果. 【典例】已知函数 = th + > 0 的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是 ( ) ①函数 的最小正周期是 2 ； ②函数 在区间 12 , 6 上是增函数； ③函数 的图象关于直线 = 12 对称； ④函数 的图象可由函数 = th2 的图象向左平移 3 个单位长度得到 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】根据函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象知， = 3 −(− 6 )= 2 ,∴T= 2 =π，ω=2； 根据五点法画图知,2×(− 6 )+φ=0,解得φ= 3 ； ∴f(x)=sin(2x+ 3 )； 对于①,函数 f(x)的最小正周期是 T=π，①错误； 对于②,x∈[ 12 , 6 ]时,2x+ 3 ∈[ 2 , 2 3 ]， f(x)在[ 12 , 6 ]上是减函数，②错误； 对于③,x= 12 时,2x+ 3 = 2 ， ∴函数 f(x)的图象关于直线 x= 12 对称，③正确； 对于④,由 f(x)=sin(2x+ 3 )=sin2(x+ 6 )知， 函数 f(x)的图象可由函数 g(x)=sin2x 的图象向左平移 6 个单位长度得到，④错误； 综上，正确的命题是③。 故选：C.