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- 2021-06-23 发布
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重庆大学城第一中学校2018-2019学年高二下学期第一次月考试题
学科:数学文 命题人:杜强 审题人:钟艳
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下面是2×2列联表.
y1
y2
总计
x1
33
21
54
x2
a
13
46
总计
b
34
则表中a,b处的值应为( )
A.33,66 B.25,50 C.32,67 D.43,56
2.在△ABC中,E、F分别为AB、AC的中点,则有EF∥BC,这个问题的大前提为( )
A.三角形的中位线平行于第三边 B.三角形的中位线等于第三边的一半
C.EF为中位线 D.EF∥BC
3.下表是x和y之间的一组数据,则y关于x的回归直线必过( )
x
1
2
3
4
y
1
3
5
7
A.点(2,3) B.点(1.5,4) C.点(2.5,4) D.点(2.5,5)
4.=( )
A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i
5.下面是图书印刷成书的流程图,表示正确的是( )
A.→→→ B.→→→
C.→→→ D.→→→
6.极坐标方程ρ=-4cosθ化为直角坐标方程是( )
A.x-4=0 B.x+4=0
C.(x+2)2+y2=4 D.x2+(y+2)2=4
7.经过点且倾斜角为的直线,以定点到动点的位移(t为参数)的参数方程( )
A. B. C. D.
2
8.已知,b,c满足且,则下列选项中不恒成立的是( )
A. B. C. D.
9.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )
A.28 B.76 C.123 D.199
10.若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b=( )
A. B. C.- D.2
11.曲线x2+y2=4与曲线(θ∈[0,2π))关于直线l对称,则l的方程可以为( )
A.y=x-2 B.y=x C.y=-x+2 D.y=x+2
12.若关于的不等式有解,则实数的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.(3,+∞) D.[4,5]
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.已知下表所示数据的线性回归方程为=4x+242,则实数a=________.
X
2
3
4
5
6
Y
251
254
257
a
266
14.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为________.
15.已知x,y∈R,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为________.
16.已知直线的极坐标方程为,则极点到直线的距离是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当m为何值时,
(Ⅰ )z是实数?
(Ⅱ )z是纯虚数?
18.(本小题满分12分)某学校高三年级有学生1000名,经调查,其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学),另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学),现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽取100名同学,如果以身高达165 cm作为达标的标准,对抽取的100名学生,得到以下列联表:
身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
40
不经常参加体育锻炼
15
总计
100
(Ⅰ )完成上表;
(Ⅱ )能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K2的观测值精确到0.001)?
19.(本小题满分12分)在直角坐标系中,直线过点,其倾斜角为,圆的参数方程为(为参数),再以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系有相同的长度单位.
(Ⅰ)求圆的极坐标方程;
(Ⅱ)设圆与直线交于A、B,求的值.
20.(本小题满分12分)已知,,记关于的不等式的解集为.
(Ⅰ)若,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若,求实数的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2-4ρcos+6=0,求:
(Ⅰ )圆的普通方程和参数方程;
(Ⅱ )圆上所有点(x,y)中,xy的最大值和最小值.
22.(本小题满分12分)如图4是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
图4
注:年份代码1~7分别对应年份2010~2016.
(Ⅰ )由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ )建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据:,=0.55,≈2.646.
参考公式:相关系数,回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
重庆大一中18-19学年下期高2020届第一次月考
文科数学 答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下面是2×2列联表.
y1
y2
总计
x1
33
21
54
x2
a
13
46
总计
b
34
则表中a,b处的值应为( A )
A. 33,66 B.25,50 C.32,67 D.43,56
2.在△ABC中,E、F分别为AB、AC的中点,则有EF∥BC,这个问题的大前提为( A )
A.三角形的中位线平行于第三边 B.三角形的中位线等于第三边的一半
C.EF为中位线 D.EF∥BC
3.下表是x和y之间的一组数据,则y关于x的回归直线必过(C )
x
1
2
3
4
y
1
3
5
7
A.点(2,3) B.点(1.5,4) C.点(2.5,4) D.点(2.5,5)
4.=( D )
A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i
5.下面是图书印刷成书的流程图,表示正确的是( B )
A.→→→ B.→→→
C.→→→ D.→→→
6.极坐标方程ρ=-4cosθ化为直角坐标方程是(C )
A.x-4=0 B.x+4=0
C.(x+2)2+y2=4 D.x2+(y+2)2=4
7.经过点且倾斜角为的直线,以定点到动点的位移(t为参数)的参数方程( D )
A. B. C. D.
2
8.已知,b,c满足且,则下列选项中不恒成立的是( C )
A. B. C. D.
9.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( C )
A.28 B.76 C.123 D.199
10.若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b=( C )
A. B. C.- D.2
11.曲线x2+y2=4与曲线(θ∈[0,2π))关于直线l对称,则l的方程可以为( D )
A.y=x-2 B.y=x C.y=-x+2 D.y=x+2
12.若关于的不等式有解,则实数的取值范围是( A )
A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.(3,+∞) D.[4,5]
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知下表所示数据的线性回归方程为=4x+242,则实数a=___262_____.
X
2
3
4
5
6
Y
251
254
257
a
266
14.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为_21_______.
15.已知x,y∈R,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为___ x,y均不大于1(或者x≤1且y≤1)_____.
16.已知直线的极坐标方程为,则极点到直线的距离是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当m为何值时,
(1)z是实数? (2)z是纯虚数?
[解] (1)要使复数z为实数,需满足,………………3分
解得m=-2或-1.即当m=-2或-1时,z是实数.………………5分
(2)要使复数z为纯虚数,需满足,………………7分
解得m=3.
即当m=3时,z是纯虚数.………………10分
18.(本小题满分12分)某学校高三年级有学生1000名,经调查,其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学),另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学),现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽取100名同学,如果以身高达165 cm作为达标的标准,对抽取的100名学生,得到以下列联表:
身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
40
不经常参加体育锻炼
15
总计
100
(1)完成上表;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K2的观测值精确到0.001)?
[解] (1)填写列联表如下:
身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
40
35
75
不经常参加体育锻炼
10
15
25
总计
50
50
100
………………4分
(2)由列联表中的数据,得K2的观测值为
k=≈1.333<3.841.
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系.………………12分
19.(本小题满分12分)在直角坐标系中,直线过点,其倾斜角为,圆
的参数方程为(为参数),再以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系有相同的长度单位.
(Ⅰ)求圆的极坐标方程;
(Ⅱ)设圆与直线交于A、B,求的值.
19.解:(Ⅰ)消去参数可得圆的直角坐标方程式为………………3分
由极坐标与直角坐标互化公式得
化简得. …………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)直线的参数方程(为参数), ………………………………8分
即(为参数)代入圆方程得:, ……………………10分
设、对应的参数分别为、,则,,
于是.…………………………………………………12分
20.(本小题满分12分)已知,,记关于的不等式的解集为.
(Ⅰ)若,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若,求实数的取值范围.
20.解:(Ⅰ)依题意有:, ………………………………………2分
若,则, ,
若,则, ,
若,则,无解, ……………………………………………5分
综上所述,的取值范围为.…………………………………………………6分
(Ⅱ)由题意可知,当时恒成立,
恒成立,即,当时恒成立,
.…………………………………………………………………………12分
21.(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2-4ρcos+6=0,求:
(1)圆的普通方程和参数方程;
(2)圆上所有点(x,y)中,xy的最大值和最小值.
解 (1)原方程可化为
ρ2-4ρ+6=0,………………2分
即ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+6=0.①
因为ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,
所以①可化为x2+y2-4x-4y+6=0,
即(x-2)2+(y-2)2=2,即为所求圆的普通方程.………………4分
设
所以参数方程为(θ为参数).………………6分
(2)由(1)可知xy=(2+cosθ)(2+sin θ) ………………8分
=4+2(cosθ+sin θ)+2cos θsinθ
=3+2(cosθ+sin θ)+(cosθ+sin θ)2. ………………10分
设t=cosθ+sin θ,
则t=sin,t∈[-,].
所以xy=3+2t+t2=(t+)2+1.
当t=-时,xy有最小值1;当t=时,xy有最大值9. ………………12分
22.(本小题满分12分)如图4是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
图4
注:年份代码1~7分别对应年份2010~2016.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据:,=0.55,≈2.646.
参考公式:相关系数,回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
………………5分
因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当大,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.………………6分
(2)由=≈1.331及(1)得
………………9分
=-≈1.331-0.103×4≈0.92. ………………10分
所以y关于t的回归方程为=0.92+0.10t. ………………11分
将2016年对应的t=9代入回归方程得=0.92+0.10×9=1.82.
所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.………………12分