2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第10章 第6节　几何概型 11页

第六节　几何概型 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．‎ ‎(对应学生用书第181页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，与区域的形状，位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．‎ ‎2．几何概型的两个基本特点 ‎(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．‎ ‎(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．‎ ‎3．几何概型的概率公式 P(A)＝.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　　)‎ ‎(2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是.(　　)‎ ‎(3)概率为0的事件一定是不可能事件．(　　)‎ ‎(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)‎ A　[P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，‎ 所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．]‎ ‎3．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]，则f(x)为增函数的概率为(　　)‎ A．　　　 B． C． D． C　[f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，∴f(x)在[1,4]上是增函数．∴f(x)为增函数的概率为P＝＝.]‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅰ)如图1061，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)‎ 图1061‎ A． B． C． D． B　[不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.‎ 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知所求概率P＝＝＝.‎ 故选B．]‎ ‎5．如图1062所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．‎ 图1062‎ ‎0.18　[由题意知，‎ ＝＝0.18.‎ ‎∵S正＝1，∴S阴＝0.18.]‎ ‎(对应学生用书第181页)‎ 与长度(角度)有关的几何概型 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)‎ A．　　 B． C． D． ‎(2)如图1063所示，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB内作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．‎ 图1063‎ ‎(1)B　(2)　‎ ‎[(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B．‎ ‎(2)以A为圆心，以AD＝1为半径作圆弧交AC，AP，AB分别为C′，P′，B′.‎ 依题意，点P′在上任何位置是等可能的，若射线AP与线段BC有公共点，则事件“点P′在上发生”．‎ 又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝.‎ 故所求事件的概率]‎ ‎[规律方法]　1.与长度有关的几何概型,如果试验结果构成的区域可用长度度量，则其概率的计算公式为P(A)＝.‎ ‎2.与角度有关的几何概型,当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2018·广州综合测试(二))在区间[－1,5]上随机地取一个实数a，则方程x2－2ax＋4a－3＝0有两个正根的概率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎(2)(2017·江苏高考)记函数f(x)＝的定义域为D．在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．‎ ‎(1)C　(2)　[(1)因为方程x2－2ax＋4a－3＝0有两个正根，所以解得0，b<.所有试验结果为Ω＝{(a，b)|1≤a≤e,0≤b≤2}，面积为2(e－1)，使函数f(x)有两个相异零点的事件为Ω1＝，面积为da＝lna|＝1－0＝1，则所求概率为P(A)＝，故选A．]‎ ‎[规律方法]　1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路 利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率.‎ ‎2.与线性规划交汇问题的解题思路 先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率.‎ ‎3.与定积分交汇问题的解题思路 先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2018·云南二检)RAND(0,1)表示生成一个在(0,1)内的随机数(实数)，若x＝RAND(0,1)，y＝RAND(0,1)，则x2＋y2<1的概率为(　　)‎ A． B．1－ C． D．1－ ‎(2)如图1064，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．‎ 图1064‎ ‎(1)A　(2)　[(1)由几何概型的概率计算公式知，所求概率P＝＝，故选A．‎ ‎(2)由题意知，阴影部分的面积 S＝(4－x2)dx＝＝，‎ 所以所求概率P＝＝＝.]‎ 与体积有关的几何概型 ‎　在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O 的距离大于1的概率为________．‎ ‎1－　[如图，与点O距离不大于1的点的轨迹是一个半球，其体积V1＝×π×13＝.事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23－，根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率P＝＝1－.]‎ ‎[规律方法]　与体积有关的几何概型问题求法的关键点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件去求.‎ ‎[跟踪训练]　一个多面体的直观图和三视图如图1065所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为(　　) ‎ ‎【导学号：79140363】‎ 图1065‎ A． B． C． D． D　[由题图可知VFAMCD＝×SAMCD×DF＝a3，VADFBCE＝a3，所以它飞入几何体FAMCD内的概率为＝.]‎