专题68 事件的关系与概率计算秘诀-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 10页

‎ 考纲要求:‎ ‎1.事件与概率 ‎(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的 区别.‎ ‎(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.‎ 基础知识回顾:‎ 一、频率和概率 ‎1．事件的分类 ‎2．频率和概率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．‎ 二、事件的关系与运算 三、概率的几个基本性质 ‎1．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎2．必然事件的概率为1.‎ ‎3．不可能事件的概率为0.‎ ‎4．概率的加法公式 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)．‎ ‎5．对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．‎ 应用举例:‎ 类型一 事件的概念及判断 例1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）‎ A. 至少有一个红球与都是红球 B. 至少有一个红球与都是白球 C. 恰有一个红球与恰有二个红球 D. 至少有一个红球与至少有一个白球 ‎【答案】C 例2．在一袋内分别有红、白、黑球3,2,1个，从中任取2个，则互斥不对立的两个事件是（ ）‎ A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；红、黑球各一个 C. 至少有一个白球；至少有一个红球 D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 ‎【答案】B ‎【解析】选项A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是白球”说明两个全为白球，‎ 这两个事件可以同时发生，故A是不是互斥的；‎ 选项B，“至少一个白球”发生时，“红，黑球各一个”不会发生，故B互斥，当然不对立；‎ 选项C，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；‎ 选项D，“恰有一个白球”，表明黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；‎ 本题选择B选项.‎ 例3. 口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是以下事件“①2张卡片都不是红色；②2张卡片恰有一张红色；③2张卡片至少有一张红色；④2张卡片恰有两张绿色”中的哪几个？（ ）‎ A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④‎ ‎【答案】A 点评：事件间关系的判断方法 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．‎ 类型二 随机事件的概率与频率 例4. 若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n),则随着n的逐渐增大,有　(　　)‎ A. f(n)与某个常数相等 B. f(n)与某个常数的差逐渐减小 C. f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小 D. f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定 ‎【答案】D ‎【解析】由频率和概率的关系知，‎ 在同等条件下进行次重复试验得到某个事件发生的频率，随着的逐渐增加，频率逐渐趋近于概率。‎ 故答案选 例5. 甲、乙两人做游戏,下列游戏不公平的是(　　)‎ A. 抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则甲获胜,向上的点数为偶数则乙获胜 B. 同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则甲获胜,两枚都正面向上则乙获胜 C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则甲获胜,扑克牌是黑色的则乙获胜 D. 甲、乙两人各写一个数字1或2,如果两人写的数字相同甲获胜,否则乙获胜 ‎【答案】B ‎【解析】对于A：抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为故A公平；‎ 对于B中同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为 所以对乙不公平 对于C：从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以公平；‎ 对于D：甲、乙两人各写一个数字1或2,如果两人写的数字相同的概率为，数字不同的概率为，所以公平；‎ 故选B.‎ 点评：概率和频率的关系 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．‎ 类型三 互斥、对立事件的概率 例6.若A，B为互斥事件，P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7，则P(B)=____.‎ ‎【答案】0.3‎ ‎【解析】因为为互斥事件，所以，所以，故答案为.‎ 例7. 在大小相同的5个球中，只有红色和白色两种球，若从中任取2个，全是白球的概率为0.3，求所取出的2个球中至少有1个红球的概率.‎ ‎【答案】0.7‎ 则事件A与事件B互为对立事件，而事件B发生的概率为P(B)=0.3，所以事件A发生的概率为P(A)=1-‎ P(B)=1-0.3=0.7.‎ 例8.【2017江苏扬州模拟】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)‎ ‎【答案】(1)1. 9(分钟)．(2).‎ 点评：求复杂的互斥事件的概率的一般方法 ‎(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算．‎ ‎(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维，用正难则反思想求互斥、对立事件的概率，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．‎ ‎2．若某一事件包含的基本事件较多，而它的对立事件包含的基本事件较少，则可用“正难则反”思想求解．‎ ‎3．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 ‎(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．‎ ‎(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．‎ ‎4．概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．‎ ‎5．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件．‎ ‎6．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．‎ ‎7．正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式. ‎ 实战演练:‎ ‎1.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ）‎ A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生” B. “至少1名男生”与“全是女生”‎ C. “至少1名男生”与“全是男生” D. “恰好有1名男生”与“恰好2名女生”‎ ‎【答案】B ‎ 2．设为两个事件，且，则当（ ）时一定有 A. 与互斥 B. 与对立 C. D. 不包含 ‎【答案】B ‎【解析】根据概率的知识可以知道，对立事件的概率和为1，所以选B．‎ ‎3．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则( )‎ A. 事件“”的概率为 B. 事件“”的概率为 C. 事件“”与“”互为对立事件 D. 事件“是奇数”与“”互为互斥事件 ‎【答案】D ‎ 4．若A，B为互斥事件，P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7，则P(B)=____.‎ ‎【答案】0.3‎ ‎【解析】因为为互斥事件，所以，所以，故答案为.‎ ‎5．一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】因为袋子中有红球个，黑球 个，所以“从中任取个球，至少有个红球”是必然事件，必然事件发生的概率为,故答案为.‎ ‎6．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意知，第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为.‎ ‎7．一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20000辆汽车,时间从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎,则一辆汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为____.‎ ‎【答案】0.03‎ ‎【解析】记“一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎”为事件，‎ 由概率的统计定义知，事件发生的概率大约为 ‎8．下列说法:‎ ‎①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小;‎ ‎②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件A的概率;‎ ‎③百分率是频率,但不是概率;‎ ‎④频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;‎ ‎⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.‎ 其中正确的是____(填序号).‎ ‎【答案】①④⑤‎ ‎ 9.连续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.‎ ‎（1）求“恰有一枚正面向上”这一事件的概率；‎ ‎（2）求“出现正面比反面多的”这一事件的概率．‎ ‎【答案】（1）“恰有一枚正面向上”这一事件的概率为 ，（2）“出现正面比反面多的”这一事件的概率为 ‎ ‎【解析】基本事件总数为8 ‎ ‎（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），‎ ‎（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），‎ ‎（1）“恰有一枚正面向上”这一事件的概率为 ‎ ‎（2）“出现正面比反面多的”这一事件的概率为.‎ ‎10.一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品。现随机抽出两件产品.（要求罗列出所有的基本事件）‎ ‎（1）求恰好有一件次品的概率。‎ ‎（2）求都是正品的概率。‎ ‎（3）求抽到次品的概率。‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎ ‎