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- 2021-06-23 发布
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课时提升卷(二)
基本不等式
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.设x,y∈R+,且满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值为 ( )
A.40 B.10 C.4 D.2
2.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值为 ( )
A.10 B.6 C.4 D.18
3.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P=,Q=,则P与Q的大小关系是 ( )
A.P>Q B.P
0,b>0,且2a+b=1,则S=2-4a2-b2 的最大值为 . 9.已知x>0,y>0且满足x+y=6,则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围为 . 三、解答题(10～11题各14分,12题18分) 10.(2013·苏州高二检测)已知a,b,x,y都是正数,且a+b=1,求证:(ax+by)(bx+ay)≥xy. 11.已知a,b,x,y∈R+,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b. 12.(能力挑战题)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比=x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式. (2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计? 答案解析 1.【解析】选D.因为x,y∈R+,所以≤,当且仅当x=4y=20时,等号成立.所以≤=10,所以xy≤100,所以lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2. 2.【解析】选D.3x+3y≥2=2=2=18,当且仅当x=y=2.5时,等号成立. 【变式备选】已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上,那么2x+4y的最小值为( ) A.2 B.4 C.16 D.不存在 【解析】选B.过A,B两点的直线方程为y=-(x-3),所以x=3-2y,所以2x+4y=+4y≥4,当且仅当=4y时,等号成立. 3.【解析】选A.由等比知识,得Q==,而P=,且a3>0,a9>0,q≠1, a3≠a9,所以>,即P>Q. 4.【解析】选C.由≥得ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又a2+b2≥2ab⇒2(a2+b2)≥(a+b)2⇒a2+b2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立. 5.【解题指南】利用余弦定理,结合基本不等式求最值. 【解析】选A.设AC=b,则cosC==+≥,因此∠C的最大值是. 6.【解析】选A.当a=1时,2x+=2x+≥2(当且仅当x=时取等号),所以a=1⇒2x+≥1(x>0),反过来,对任意正数x,如当a=2时,2x+≥1恒成立,所以2x+≥1a=1. 7.【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号. 答案:[9,+∞) 8.【解析】因为a>0,b>0,2a+b=1, 所以4a2+b2=(2a+b)2-4ab=1-4ab, 且1=2a+b≥2,即≤,ab≤, 所以S=2-4a2-b2=2-(1-4ab)=2+4ab-1≤,当且仅当a=,b=时,等号成立. 答案: 9.【解题指南】由已知条件先求得+的最小值,只要m小于等于其最小值即可. 【解析】因为x>0,y>0,+= =≥(10+6)=, 当且仅当=,又x+y=6,得x=,y=时取等号.所以m的取值范围是. 答案: 10.【证明】因为a,b,x,y都是正数, 所以(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+xy(a2+b2) ≥ab(2xy)+xy(a2+b2)=(a+b)2xy. 因为a+b=1,所以(a+b)2xy=xy, 所以(ax+by)(bx+ay)≥xy. 【变式备选】已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证:++≥9. 【证明】因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1, 所以++=++ =3+++≥3+2+2+2=9. 当且仅当a=b=c=时取等号.所以++≥9. 11.【解析】因为x+y=(x+y) =a+b++≥a+b+2=(+)2, 当且仅当=时取等号.又(x+y)min=(+)2=18, 即a+b+2=18, ① 又a+b=10, ② 由①②可得或 【拓展提升】基本不等式的应用技巧 判断定值条件是应用基本不等式的难点和易忽略点,常见的方法有: (1)拆项、添项、配凑 此法常用在求分式型函数的最值中, 如函数f(x)== =, 可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑. (2)常值代换 这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求+的最小值”和“已知+=1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两类题型. (3)构造不等式 当和与积同时出现在同一个不等式中时,可利用基本不等式构造一个不等式,从而求出和或积的取值范围,如已知a+b=ab-3,求ab的取值范围,可构造出不等式2≤a+b=ab-3,即()2-2-3≥0. 12.【解析】(1)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,由a2x=4000,得a=. 则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160 =4000+(8x+20)·+160 =80+4160(x>1). (2)S≥80×2+4160=1600+4160=5760.当且仅当2=,即x=2.5时取等号,此时a=40,ax=100.所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米. 关闭Word文档返回原板块。
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