高二数学人教A版选修4-5 4-1数学归纳法导学案x 4页

‎4.1数学归纳法 预习案 一、预习目标及范围 ‎1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．‎ ‎2．会利用数学归纳法证明一些简单问题．‎ 二、预习要点 教材整理　数学归纳法的概念 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：‎ (1) 证明当 时命题成立；‎ ‎(2)假设当 时命题成立，证明 时命题也成立．‎ 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．‎ 三、预习检测 ‎1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　　)‎ A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3‎ ‎2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．0‎ ‎3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)‎ A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 探究案 一、合作探究 题型一、用数学归纳法证明等式 例1　用数学归纳法证明：‎ ‎1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.‎ ‎【精彩点拨】　要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．用数学归纳法证明：‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．‎ 题型二、用数学归纳法证明整除问题 例2用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．‎ ‎【精彩点拨】　先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．‎ ‎[再练一题]2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除.‎ 题型三、证明几何命题 例3平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．‎ ‎【精彩点拨】　(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．‎ 题型四、数学归纳法的概念 例4用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是(　　)‎ A．1‎ B．1＋a C．1＋a＋a2‎ D．1＋a＋a2＋a3‎ ‎【精彩点拨】　注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.‎ ‎[再练一题]‎ ‎4．当f(k)＝1－＋－＋…＋－，则f(k＋1)＝f(k)＋________.‎ 二、随堂检测 ‎1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为(　　)‎ A．1 B．1＋3‎ C．1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4‎ ‎2．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有(　　)‎ A．当n＝4时，该命题成立 B．当n＝6时，该命题成立 C．当n＝4时，该命题不成立 D．当n＝6时，该命题不成立 ‎3．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代数式为(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D. 参考答案 预习检测：‎ ‎1.答案　C ‎2.答案　C 解析　凸n边形边数最小时是三角形，‎ 故第一步检验n＝3.‎ ‎3.答案　D 随堂检测：‎ ‎1.【解析】　当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.‎ ‎【答案】　C ‎2.【解析】　若n＝4时命题成立，由递推关系知n＝5时命题成立，与题中条件矛盾，所以n＝4时，该命题不成立．‎ ‎【答案】　C ‎3.【解析】　当n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)．‎ 当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(2k＋1)(2k＋2)．‎ 比较n＝k和n＝k＋1时等式的左边，可知左端需乘以＝2(2k＋1)．故选B.‎ ‎【答案】　B