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- 2021-06-23 发布
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【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-7-2 定积分在物理中的应用双基限时训练 新人教版选修2-2
1.质点做直线运动,其速度v(t)=3t2-2t+3,则它在第2秒内所走的路程为( )
A.1 B.3
C.5 D.7
解析 由定积分的物理意义知
S=(3t2-2t+3)dt=(t3-t2+3t)
=(8-4+6)-(1-1+3)=7.
答案 D
2.从空中自由下落的物体,在第一秒时刻恰经过电视塔顶,在第二秒时刻物体落地,已知自由落体的运动速度为v=gt(t为常数),则电视塔高为( )
A.g B.g
C.g D.2g
解析 依题意得电视塔的高度为
h=vdt=gtdt=gt2
=2g-g=g.
答案 C
3.做直线运动的质点在任意位置x处,所受的力F(x)=1+ex,则质点沿着F(x)相同的方向,从点x1=0处运动到点x2=1处,力F(x)所做的功是( )
A.1+e B.e
C. D.e-1
解析 W=F(x)dx=(1+ex)dx
=(x+ex)=1+e-1=e.
答案 B
4.一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),则力F(x)做的功为( )
A.44 J B.46 J
C.40 J D.60 J
解析 W=F(x)dx
=10dx+(3x+4)dx
=10x+(x2+4x)
=20+40-14=46(J).
答案 B
5.在弹性限度内,弹簧每拉长1 cm 要用5 N的拉力,要把弹簧拉长20 cm,则拉力做的功为( )
A.0.1 J B.0.5 J
C.5 J D.10 J
解析 设弹簧所受的拉力F(x)=kx,由题意知,弹簧受5 N的拉力伸长量为1 cm,得5=k×0.01,k=500.
∴F(x)=500x.因此,W=∫500xdx=250x2=10(J).
答案 D
6.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )
A.1+25ln5 B.8+25ln
C.4+25ln5 D.4+50ln2
解析 令7-3t+=0,解得t=4或t=-<0,舍去.则dt=[7t-t2+25ln(1+t)]=28-24+25ln5=4+25ln5.
答案 C
7.已知质点的速度v=10t,则从t=t1到t=t2质点的平均速度为________.
解析 由s=10tdt=5t2t2t1=5(t-t),得平均速度为==5(t1+t2).
答案 5(t1+t2)
8.如果1 N力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 cm,所耗费的功为__________.
解析 设F(x)=kx,当F=1 N,x=0.01 m时,k=100,
∴W=∫100xdx=50x2=0.18(J).
答案 0.18 J
9.以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t时刻的速度为v=40-10t(单位:m/s),将物体的高度h表示为时间t的函数式为________________(记t=0时高度为0).
解析 ∵h(0)=0,∴h(t)-h(0)=(40-10t)dt=(40t-5t2)=40t-5t2
.∴物体的高度h表示为时间t的函数式为h(t)=40t-5t2.
答案 h(t)=40t-5t2
10.一物体以v(t)=t2-3t+8(m/s)的速度运动,求其在前30秒内的平均速度.
解 由定积分的物理意义有
s=∫(t2-3t+8)dt=(t3-t2+8t)=7890(m).
∴===263(m/s).
11.模型火箭自静止开始垂直向上发射,设启动时即有最大加速度,以此时为起点,加速度满足a(t)=100-4t2,求火箭前5 s内的位移.
解 由题设知t=t0=0,v(0)=0,s(0)=0,
∴v(t)=(100-4t2)dt=100t-t3.
∴s(5)=v(t)dt=(100t-t3)dt=(50t2-
t4)=.
即火箭前5秒的位移是.
12.物体A以速度v=3t2+1在一直线上运动,在此直线上与物体出发的同时,物体B在物体A的正前方5 m处正以v=10t的速度与A同向运动,问两物体何时相遇?相遇时,物体A走过的路程是多少?(时间单位:s,速度单位:m/s)
解 设A追上B时,所用时间为t0,依题意得SA=SB+5,即
∫t00(3t2+1)dt=∫t0010tdt+5,
∴t+t0=5t+5,
即t0(t+1)=5(t+1),
∴t0=5(s).
∴SA=5t+5=130(m).
13.在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体,在等温条件下,由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处,计算在移动过程中,气体压力所做的功.
解 力F对物体所做的功为W=F·s,求出变力F的表达式是本题中求功的关键:
由物理学知识易得压强P与体积V的乘积是常数k,即PV=k,又∵V=x·S(x指活塞与底的距离),
∴P==.
∴作用在活塞上的力F=P·S=·S=.
∴气体压力所做的功为
W=dx=k·lnx=kln.