高中数学 1-7-2 定积分在物理中的应用双基限时训练 新人教版选修2-2 4页

‎【名师一号】2014-2015学年高中数学 ‎1-7-2‎ 定积分在物理中的应用双基限时训练 新人教版选修2-2‎ ‎1．质点做直线运动，其速度v(t)＝3t2－2t＋3，则它在第2秒内所走的路程为(　　)‎ A．1 B．3‎ C．5 D．7‎ 解析　由定积分的物理意义知 S＝(3t2－2t＋3)dt＝(t3－t2＋3t) ‎＝(8－4＋6)－(1－1＋3)＝7.‎ 答案　D ‎2．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(t为常数)，则电视塔高为(　　)‎ A.g B.g C.g D．‎‎2g 解析　依题意得电视塔的高度为 h＝vdt＝gtdt＝gt2 ‎＝‎2g－g＝g.‎ 答案　C ‎3．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是(　　)‎ A．1＋e B．e C. D．e－1‎ 解析　W＝F(x)dx＝(1＋ex)dx ‎＝(x＋ex)＝1＋e－1＝e.‎ 答案　B ‎4．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4处(单位：m)，则力F(x)做的功为(　　)‎ A．44 J B．46 J C．40 J D．60 J 解析　W＝F(x)dx ‎＝10dx＋(3x＋4)dx ‎＝10x＋(x2＋4x) ‎＝20＋40－14＝46(J)．‎ 答案　B ‎5．在弹性限度内，弹簧每拉长‎1 cm 要用5 N的拉力，要把弹簧拉长‎20 cm，则拉力做的功为(　　)‎ A．0.1 J B．0.5 J C．5 J D．10 J 解析　设弹簧所受的拉力F(x)＝kx，由题意知，弹簧受5 N的拉力伸长量为‎1 cm，得5＝k×0.01，k＝500.‎ ‎∴F(x)＝500x.因此，W＝∫500xdx＝250x2＝10(J)．‎ 答案　D ‎6．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)‎ A．1＋25ln5 B．8＋25ln C．4＋25ln5 D．4＋50ln2‎ 解析　令7－3t＋＝0，解得t＝4或t＝－<0，舍去．则dt＝[7t－t2＋25ln(1＋t)]＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.‎ 答案　C ‎7．已知质点的速度v＝10t，则从t＝t1到t＝t2质点的平均速度为________．‎ 解析　由s＝10tdt＝5t2t2t1＝5(t－t)，得平均速度为＝＝5(t1＋t2)．‎ 答案　5(t1＋t2)‎ ‎8．如果1 N力能拉长弹簧‎1 cm，为了将弹簧拉长‎6 cm，所耗费的功为__________．‎ 解析　设F(x)＝kx，当F＝1 N，x＝‎0.01 m时，k＝100，‎ ‎∴W＝∫100xdx＝50x2＝0.18(J)．‎ 答案　0.18 J ‎9．以初速度‎40 m/s竖直向上抛一物体，t时刻的速度为v＝40－10t(单位：m/s)，将物体的高度h表示为时间t的函数式为________________(记t＝0时高度为0)．‎ 解析　∵h(0)＝0，∴h(t)－h(0)＝(40－10t)dt＝(40t－5t2)＝40t－5t2‎ ‎.∴物体的高度h表示为时间t的函数式为h(t)＝40t－5t2.‎ 答案　h(t)＝40t－5t2‎ ‎10．一物体以v(t)＝t2－3t＋8(m/s)的速度运动，求其在前30秒内的平均速度．‎ 解　由定积分的物理意义有 s＝∫(t2－3t＋8)dt＝(t3－t2＋8t)＝7890(m)．‎ ‎∴＝＝＝263(m/s)．‎ ‎11．模型火箭自静止开始垂直向上发射，设启动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足a(t)＝100－4t2，求火箭前5 s内的位移．‎ 解　由题设知t＝t0＝0，v(0)＝0，s(0)＝0，‎ ‎∴v(t)＝(100－4t2)dt＝100t－t3.‎ ‎∴s(5)＝v(t)dt＝(100t－t3)dt＝(50t2－‎ t4)＝.‎ 即火箭前5秒的位移是.‎ ‎12．物体A以速度v＝3t2＋1在一直线上运动，在此直线上与物体出发的同时，物体B在物体A的正前方‎5 m处正以v＝10t的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时，物体A走过的路程是多少？(时间单位：s，速度单位：m/s)‎ 解　设A追上B时，所用时间为t0，依题意得SA＝SB＋5，即 ‎∫t00(3t2＋1)dt＝∫t0010tdt＋5，‎ ‎∴t＋t0＝5t＋5，‎ 即t0(t＋1)＝5(t＋1)，‎ ‎∴t0＝5(s)．‎ ‎∴SA＝5t＋5＝130(m)．‎ ‎13．在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．‎ 解　力F对物体所做的功为W＝F·s，求出变力F的表达式是本题中求功的关键：‎ 由物理学知识易得压强P与体积V的乘积是常数k，即PV＝k，又∵V＝x·S(x指活塞与底的距离)，‎ ‎∴P＝＝.‎ ‎∴作用在活塞上的力F＝P·S＝·S＝.‎ ‎∴气体压力所做的功为 W＝dx＝k·lnx＝kln.‎