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- 2021-06-23 发布
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数学试题(文科)
(满分150分,考试时间120分钟)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.
1.已知集合,,则=
(A) (B) (C) (D)
2. 已知向量,,∥,则t=
(A) (B) (C) (D)
3.设a=log36,b=log310,c=e-2,则
(A)b>a>c (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c
4.函数f(x)=x3-x2-4x的一个零点所在的区间为
(A)(1,2) (B)(0,1) (C)(-1,0) (D)(-2,-1)
5.2019年11月2日,成都市青羊区开展了5种不同类型的 “垃圾分类,大家给力”社会服务活动,其中有3种活动在上午开展,2种活动在下午开展 .若小王参加了两种活动,则分别安排在上、下午的概率为
(A) (B) (C) (D)
6.已知是双曲线:的左焦点,则以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
(A) (B)
(C) (D)
7.设,x∈R,则
(A)f(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调递减 (B)f(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调递增
(C)f(x)为奇函数且在(0,+∞)上单调递减 (D)f(x)为奇函数且在(0,+∞)上单调递增8.设椭圆,a>b>0,点A,B为C的左,右顶点,点P为C上一点,若∠APB=120°,则C的离心率的最小值为
(A) (B) (C) (D)
9.过球的一条半径的中点,作与该半径所在直线成30°的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为
(A) (B) (C) (D)
10.若函数f(x)=ex-ax与x轴相切,则实数a=
(A) (B) (C) (D)
11.设,,且,则
(A) (B) (C) (D)
12.如图,圆的半径为1,是圆上的定点,是圆上的动点,角的始边为射线,终
边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将△AMP的面积表示为的函数,
则在上的图象大致为
一、 (B)
(C) (D)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共计20分.
13. 设i为虚数单位,则= .
14.函数,的最小值为 .
15.在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=120°,CD=3AB=3BC=,则AD的长度为 .
16.在四面体ABCD中,DA⊥底面,侧面ABD⊥侧面BCD,BD=BC=2,,三个侧面△DAB、△DBC、△DCA的面积的平方和为,则∠ADB= .
三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)设数列的前项和为.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18. (12分)第32届夏季奥林匹克运动会(英语:Games of the XXXII Olympiad)又称2020年东京奥运会.2013年9月7日雅克·罗格宣布2020年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功后,成为继巴黎(法国)、伦敦(英国)、洛杉矶(美国)和雅典(希腊)后的世界第5个至少两次举办夏季奥运会的城市,同时也是亚洲第一个.2018年7月22日,东京奥组委公布2020年东京奥运会吉祥物名字,蓝色吉祥物被命名为Miraitowa,寓意未来和永恒.现从甲,乙两所学校各随机抽取了名高三的学生参加了奥运知识测评(满分分),其中成绩不低于分的记为“优秀”.根据测试成绩,学生的分数(单位:分)频率分布直方图如下(左图为甲校的,右图为乙校的):
得分
(1)根据频率分布直方图估计乙校学生成绩的中位数.(结果保留两位小数)
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为学生测试成绩是否优秀与他所在学校有关:
非优秀
优秀
合计
甲校
乙校
合计
附:
P(K2>k)
19.(12分)图1是由△ABC,△BCD和△ABE组成的一个平面图形,其中AB=BC=CD=2,BE=,∠ABC=∠ABE=∠BCD=90°,将其沿,折起,使得与重合,连接,如图2.
(1)证明:图2中面;
(2)图2中,,N分别为,的中点,求四面体的体积.
(图1) (图2)
20. (12分)已知抛物线,设,为曲线上不同的两点,,且成等差数列.
(1)求的值;
(2)当的斜率为1时,求△FAB的面积.
21. (12分)已知函数().
(1)证明:,并说明等号成立的条件;
(2)设,是否存在实数,使得在其定义域恒成立?若存在,求出所有满足条件的实数的集合;若不存在,说明理由;
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直线坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求的最小值及此时P的直角坐标.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设,且.
(1)证明:;
(2)求的最大值.
数学试题(文科)详细解答
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.
1.已知集合,,则=
(A) (B) (C) (D)
答案:C
【解析】 或 ∴A∩B=(-3,-1)
故选C
2. 已知向量,,∥,则t=
(A) (B) (C) (D)
答案:B
【解析】由∥得,故
故选B
3.设a=log36,b=log310,c=e-2,则
(A)b>a>c (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c
答案:A
【解析】 在定义域上单调递增 ∴1<a<b 又∵c<1 ∴b>a>c
故选A
4.函数f(x)=x3-x2-4x的一个零点所在的区间为
(A)(1,2) (B)(0,1) (C)(-1,0) (D)(-2,-1)
答案:D
【解析】
f(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,0)先增再减,在(0,2)单调递减
又∵f(-2)=-4<0, f(-1)=2>0, f(0)= 0
∴f(x)函数在(-2,-1)存在零点,在(-1,0),(0,2)中不存在零点
故选D
5.2019年11月2日,成都市青羊区开展了5种不同类型的 “垃圾分类,大家给力”社会服务活动,其中有3种活动在上午开展,2种活动在下午开展 .若小王参加了两种活动,则分别安排在上、下午的概率为
(A) (B) (C) (D)
答案:D
【解析】由题意知:小王一共满足的情况为 种情况,分别在上下午的有6
种情况,故概率为
故选D
6.已知是双曲线:的左焦点,则以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
(A) (B)
(C) (D)
答案:B
【解析】因为焦点到渐近线的距离为b=,以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
故选B
7.设,x∈R,则
(A)f(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调递减 (B)f(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调递增
(C)f(x)为奇函数且在(0,+∞)上单调递减 (D)f(x)为奇函数且在(0,+∞)上单调递增答案:C
【解析】∵,,∴f(x)为奇函数
又∵y=4x+1单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减
故选C
8.设椭圆,a>b>0,点A,B为C的左,右顶点,点P为C上一点,若∠APB=120°,则C的离心率的最小值为
(A) (B) (C) (D)
答案:A
【解析】设椭圆的上顶点为M ,则∠AMP≥120°,故,
∴,∴
故选A
9.过球的一条半径的中点,作与该半径所在直线成300的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为
(A) (B) (C) (D)
答案:C
【解析】设球的半径为r,∵球心到平面的距离为球的半径的,
∴截面的半径为,∴截面的面积为 ∵球的表面积为
∴所得截面的面积与球的表面积的比为
故选C
10.若函数f(x)=ex-ax与x轴相切,则实数a=
(A) (B) (C) (D)
答案:D
【解析】设切点为(x0,0), 则,所以,故x0=1,a=e
故选D
11.设,,且,则
(A) (B) (C) (D)
答案:C
【解析】,且,,∴
故选C
12.如图,圆的半径为1,是圆上的定点,是圆上的动点,角的始边为射线,终
边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将△AMP的面积表示为的函数,
则在上的图象大致为
(A) (B)
(C) (D)
答案:A
【解析】
∵当y=0时,sinx=0或cosx=1
∴x=0或π,故不选D
又因为,所以当x=时
故选A
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共计20分.
13. 设i为虚数单位,则i6=
答案:-1
【解析】i4=1,i6=i2=-1
14.函数,的最小值为 .
答案:2
【解析】令则,y=t2-2t+3,t0=1, 故当t=1时 ymin=2
15.在四边形ABCD中,,,则的长度为 .
答案:6
【解析】在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,故AC=3,∠ACB=30°所以∠ACD=90°
在△ADC中,AC=3, ,故AD=6
16.在四面体中,底面,侧面侧面,,三个侧面、、的面积的平方和为,则 .
答案:
【解析】由底面知侧面底面,结合侧面侧面有平面.故四面体三个侧面均为直角三角形.设(),则,,,.于是三个侧面的面积的平方和是,解得,所以.
三、解答题:
17.(12分)设数列的前项和为.
(1)求通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
17.答案:(1)an=n,(2) Tn=(n-1)2n+1+2
【解析】(1)∵
∴当n=1时,a1=S1=1 2分
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n 4分
综上an=n 5分
(2)由(1)知:an=n,故 6分
∴
∴ 8分
∴ 10分
∴Tn=(n-1)2n+1+2 12分
18. 第32届夏季奥林匹克运动会(英语:Games of the XXXII Olympiad)又称2020年东京奥运会.2013年9月7日雅克·罗格宣布2020年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功后,成为继巴黎(法国)、伦敦(英国)、洛杉矶(美国)和雅典(希腊)后的世界第5个至少两次举办夏季奥运会的城市,同时也是亚洲第一个。2018年7月22日,东京奥组委公布2020年东京奥运会吉祥物名字,蓝色吉祥物被命名为Miraitowa,寓意未来和永恒.甲乙两所学校各随机抽取了名高三的学生参加了奥运知识测评(满分分),其中成绩不低于分的记为“优秀”。根据测试成绩,学生的分数(单位:分)频率分布直方图如下(左图为甲校,右图为乙校):
(1)根据频率分布直方图估计乙校学生成绩的中位数.(结果保留两位小数)
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为学生测试成绩是否优秀与他所在学校有关:
非优秀
优秀
合计
甲校
乙校
合计
附:
答案:(1),(2) 有的把握认为学生测试成绩是否优秀和他所在学校有关.
【解析】(1)在乙校学生测试成绩频率分布直方图中,成绩低于分直方图面积为5(0.004+0.020+0.044)=0.34<0.5;成绩低于分直方图面积为。因此乙校学生测试成绩的中位数的估计值是 6分
(2)
非优秀
优秀
合计
甲校
62
38
100
乙校
34
66
100
合计
96
104
200
。由于,因此有的把握认为学生测试成绩是否优秀和他所在学校有关 12分
19.(12分)图1是由,和组成的一个平面图形,其中,,将其沿,折起,使得与重合,连接,如图2.
(1)证明:图2中面;
(2)图2中,,N分别为,的中点,求四面体的体积.
(图1) (图2)
答案:(1)略,(2)
【解析】(1)在图2中,∵AB⊥BD,AB⊥BC
∴AB⊥CD ∴AB⊥CD 又∵CD⊥BC ∴CD⊥ABC 6分
(2) 图2中,,N分别为,的中点,所以
12分
20.已知抛物线,设,为曲线上不同的两点,,且
成等差数列.
(1)求的值;
(2)当的斜率为1时,求△FAB的面积.
答案:(1)8,(2) .
【解析】(1)由题意,在抛物线上,因此|MF|=4+1=5.
因此,即 5分
(2)设直线与轴交于点,则直线的方程为。代入抛物线,得。因此,因此.
解得,因此 12分
21.已知函数().
(1)证明:,并说明等号成立的条件;
(2)设,是否存在实数,使得在其定义域恒成立?若存在,求出所有满足条件的实数的集合;若不存在,说明理由;
答案:(1)略,(2) .
【解析】(1)令,则.因此在上单调递增,在上单调递减.因此,所以,当且仅当时等号成立.
(2)由题意,,于是可知在上单调递减,在上单调递增.于是.只需.由(1)可知,即,由此可知只能是,否则不符合题意.因此所求实数的集合是.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直线坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求的最小值及此时P的直角坐标.
答案:(1), (2) 的最小值为,此时.
【解析】(1)曲线C1的参数方程为(为参数)
将代入得:,即 3分
由曲线C2的极坐标方程为得
∴,即 5分
(2)设,则P到C2的距离为 8分
故当时,的最小值为,此时 10分
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设,且.
(1)证明:;
(2)求的最大值.
答案:(1)略 (2) .
【证明】:
5分
(2)令a=2cos,b=2sin,,则
t=a+b=2cos+ 2sin
故,
又∵,,对称轴为t0=1
∴当时,ymax= 10分