数学理·辽宁省大连二十中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷（理科）+Word版含解析x 16页

2016-2017 学年辽宁省大连二十中高二（上）期中数学试卷（理 科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．下列所给点中，在方程 x2﹣xy+2y+1=0 表示的曲线上的是（ ） A．（0，0） B．（1，﹣1） C． D．（1，1） 2．椭圆 9x2+y2=36 的短轴长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．12 3．命题 P： ∀ x ∈ R，x2﹣2x+2＞0 的否定是（ ） A． ∀ x ∈ R，x2﹣2x+2≤0 B． ∃ x ∈ R，x2﹣2x+2≤0 C． ∃ x ∈ R，x2﹣2x+2＞0 D． ∃ x ∉ R，x2﹣2x+2≤0 4．对于常数 m、n，“mn＞0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知 ，a+1，a2﹣1 为等比数列，则 a=（ ） A．0 或﹣1 B．﹣1 C．0 D．不存在 6．命题“数列{an}前 n 项和是 Sn=An2+Bn+C 的形式，则数列{an}为等差数列”的逆命题，否 命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．设定点 F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ （a＞0），则点 P 的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 8．已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧，则实数 a 的取值范围为 （ ） A．（﹣24，7） B．（﹣∞，﹣24）∪（7，+∞）C．（﹣7，24） D．（﹣∞，﹣7）∪（24， +∞） 9．已知点（x，y）满足不等式组 ，则 的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 10．已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在椭圆上，若 P、F1、F2 是一个 直角三角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为（ ） A． B． C． 或 D． 11．椭圆 + =1 的离心率的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．关于 x 的方程 x2+（a+2b）x+3a+b+1=0 的两个实根分别在区间（﹣1，0）和（0，1）上， 则 a+b 的取值范围为（ ） A．（﹣ ， ） B．（﹣ ， ） C．（﹣ ，﹣ ）D．（﹣ ， ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．椭圆 2x2+3y2=1 的焦点坐标为 ． 14．设实数 x，y 满足约束条件 目标函数 z=ax+y 仅在点（ ， ）取最大值， 则实数 a 的取值范围为 ． 15．已知数列{an}满足 a1=10，an+1﹣an=n（n ∈ N*），则 取最小值时 n= ． 16．设 F1，F2 分别是椭圆 + =1 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为（6， 4），则|PM|+|PF1|的最大值为 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（Ⅰ）已知某椭圆的左右焦点分别为 F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点 P（ ， ）， 求该椭圆的标准方程； （Ⅱ） 已知某椭圆过点（ ，﹣1），（﹣1， ），求该椭圆的标准方程． 18．已知命题 p：“ + =1 是焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程”，命题 q：“不等式组 所表示的区域是三角形”．若 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数 m 的取 值范围． 19．已知正数 a，b 满足 ab=2a+b+2． （Ⅰ）求 ab 的最小值； （Ⅱ）求 a+2b 的最小值． 20．已知数列{an}满足 an+1=2an﹣1（n ∈ N+），a1=2． （Ⅰ）求证：数列{an﹣1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{nan}的前 n 项和 Sn（n ∈ N+）． 21．设椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率 ．已知点 到这个椭圆上 的点的最远距离为 ，求这个椭圆方程． 22．设 a＜1，集合 A={x ∈ R|x＞0}，B={x ∈ R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B． （Ⅰ）求集合 D（用区间表示）； （Ⅱ）求函数 f（x）=x2﹣（1+a）x+a 在 D 内的零点． 2016-2017 学年辽宁省大连二十中高二（上）期中数学试 卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．下列所给点中，在方程 x2﹣xy+2y+1=0 表示的曲线上的是（ ） A．（0，0） B．（1，﹣1） C． D．（1，1） 【考点】曲线与方程． 【分析】通过选项点的坐标代入方程，判断即可． 【解答】解：把（0，0）代入方程 x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（0，0）不在曲线上． 把（1，﹣1）代入方程 x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（1，﹣1）不在曲线上． 把（0，﹣ ）代入方程 x2﹣xy+2y+1=0，成立，所以点（0，﹣ ）在曲线上． 把（1，1）代入方程 x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（1，1）不在曲线上． 故选：C． 2．椭圆 9x2+y2=36 的短轴长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．12 【考点】椭圆的定义． 【分析】把椭圆的方程化为标准方程，求出它的短轴长即可． 【解答】解：椭圆 9x2+y2=36 的标准方程是 + =1， 它是焦点在 y 轴上的椭圆， 且 a=6，b=2； ∴它的短轴长为 2b=4． 故选：B． 3．命题 P： ∀ x ∈ R，x2﹣2x+2＞0 的否定是（ ） A． ∀ x ∈ R，x2﹣2x+2≤0 B． ∃ x ∈ R，x2﹣2x+2≤0 C． ∃ x ∈ R，x2﹣2x+2＞0 D． ∃ x ∉ R，x2﹣2x+2≤0 【考点】命题的否定． 【分析】全称量词改为存在量词，再否定结论，从而得到命题的否定． 【解答】解：命题 P： ∀ x ∈ R，x2﹣2x+2＞0 的否定是： ∃ x ∈ R，x2﹣2x+2≤0， 故选：B． 4．对于常数 m、n，“mn＞0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】先根据 mn＞0 看能否得出方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值 的方法来验证，再看方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出 mn ＞0，即可得到结论． 【解答】解：当 mn＞0 时，方程 mx2+ny2=1 的曲线不一定是椭圆， 例如：当 m=n=1 时，方程 mx2+ny2=1 的曲线不是椭圆而是圆；或者是 m，n 都是负数，曲 线表示的也不是椭圆； 故前者不是后者的充分条件； 当方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆时，应有 m，n 都大于 0，且两个量不相等，得到 mn＞0； 由上可得：“mn＞0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 故选 B． 5．已知 ，a+1，a2﹣1 为等比数列，则 a=（ ） A．0 或﹣1 B．﹣1 C．0 D．不存在 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】利用等比数列的性质即可得出． 【解答】解：∵ ，a+1，a2﹣1 为等比数列， ∴（a+1）2= ×（a2﹣1），化为：a+1=1，解得 a=0， 经过验证满足条件． 故选：C． 6．命题“数列{an}前 n 项和是 Sn=An2+Bn+C 的形式，则数列{an}为等差数列”的逆命题，否 命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】根据等差数列的前 n 项和是 Sn= n2+（a1﹣ ）n 的形式，逐一分析原命题的逆命 题，否命题，逆否命题的真假，可得答案． 【解答】解：命题“数列{an}前 n 项和是 Sn=An2+Bn+C 的形式，则数列{an}为等差数列”是假 命题， 故逆否命题也是假命题； 逆命题“若数列{an}为等差数列，则数列{an}前 n 项和是 Sn=An2+Bn+C 的形式”为真命题， 故否命题也是真命题， 故选：C 7．设定点 F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ （a＞0），则点 P 的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 【考点】轨迹方程． 【分析】由基本不等式可得 a+ ≥6，当 a+ =6 时，点 P 满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|，P 的 轨迹是线段 F1F2；a+ ＞6 时，点 P 满足|PF1|+|PF2|为常数，且大于线段|F1F2|的长，P 的 轨迹是椭圆． 【解答】解：∵a＞0，∴a+ ≥2 =6． 当 a+ =6=|F1F2|时，由点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ =|F1F2|得，点 P 的轨迹是线段 F1F2． 当 a+ ＞6=|F1F2|时，由点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ ＞|F1F2|得，点 P 的轨迹是以 F1、 F2 为焦点的椭圆． 综上，点 P 的轨迹是线段 F1F2 或椭圆， 故选 D． 8．已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧，则实数 a 的取值范围为 （ ） A．（﹣24，7） B．（﹣∞，﹣24）∪（7，+∞）C．（﹣7，24） D．（﹣∞，﹣7）∪（24， +∞） 【考点】直线的斜率． 【分析】根据点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧，可得（﹣9+2﹣a） （12+12﹣a）＜0，解出即可． 【解答】解：∵点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧， ∴（﹣9+2﹣a）（12+12﹣a）＜0， 化为（a+7）（a﹣24）＜0， 解得﹣7＜a＜24． 故选：C． 9．已知点（x，y）满足不等式组 ，则 的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 的几何意义是：可行域内的点与坐标原点连线的斜率， 由图形可知 OC 的斜率最大， 由 可得 C（3，5）． kOC= = ． 故选：D． 10．已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在椭圆上，若 P、F1、F2 是一个 直角三角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为（ ） A． B． C． 或 D． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点，分两种情况：两焦点连线段 F1F2 为直角 边；两焦点连线 F1F2 为斜边，计算 P 点横坐标，代入方程得纵坐标，即可得到 P 到 x 轴距 离． 【解答】解：a=4，b= ，c=3， 第一种情况，两焦点连线段 F1F2 为直角边，则 P 点横坐标为±3，代入方程得纵坐标为± ， 则 P 到 x 轴距离为 ； 第二种情况，两焦点连线 F1F2 为斜边，设 P（x，y），则|PF2|=4﹣ ，|PF1|=4+ ∵|F1F2|=6，∴（4﹣ ）2+（4+ ）2=36，∴P 点横坐标为± ，代入方程得纵坐标 为± ，则 P 到 x 轴距离为 ； 故选 C． 11．椭圆 + =1 的离心率的最小值为（ ） A． B． C． D． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】求出离心率的表达式，然后求解最小值即可． 【解答】解：椭圆 + =1，可知 a＞0，3a﹣a2﹣1＞0， 椭圆的离心率：e= = ≥ = = ． 当且仅当 a=1 时取等号． 故选：A． 12．关于 x 的方程 x2+（a+2b）x+3a+b+1=0 的两个实根分别在区间（﹣1，0）和（0，1）上， 则 a+b 的取值范围为（ ） A．（﹣ ， ） B．（﹣ ， ） C．（﹣ ，﹣ ）D．（﹣ ， ） 【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系． 【分析】令 f（x）=x2+（a+2b）x+3a+b+1，由题意可得 ．画出 不等式组表示的可行域，令目标函数 z=a+b，利用简单的线性规划求得 z 的范围． 【解答】解：令 f（x）=x2+（a+2b）x+3a+b+1，由题意可得 ． 画出不等式组表示的可行域，令目标函数 z=a+b，如图所示： 由 求得点 A（﹣ ， ）， 由 ，求得点 C（﹣ ，﹣ ）． 当直线 z=a+b 经过点 A 时，z=a+b= ；当直线 z=a+b 经过点 C 时，z=a+b=﹣ ， 故 z=a+b 的范围为（﹣ ， ）， 故选：A． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．椭圆 2x2+3y2=1 的焦点坐标为 ． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】把椭圆方程化为标准方程，得到 a2，b2 的值，由隐含条件求出 c，则答案可求． 【解答】解：由 2x2+3y2=1，化为标准方程得： ， ∴椭圆是焦点在 x 轴上的椭圆，且 ， ∴ ，则 c= ． ∴焦点坐标为 ． 故答案为： ． 14．设实数 x，y 满足约束条件 目标函数 z=ax+y 仅在点（ ， ）取最大值， 则实数 a 的取值范围为 （﹣3，1） ． 【考点】简单线性规划． 【分析】作出可行域，由目标函数 z=ax+y 仅在点（ ， ）取最大值，分 a=0，a＜0，a＞0 三种情况分类讨论经，能求出实数 a 的取值范围． 【解答】解：∵实数 x，y 满足约束条件 ， ∴作出可行域，如右图可行域为△OAB， ∵目标函数 z=ax+y 仅在点 B（ ， ）取最大值， 当 a=0 时，z=y 仅在点 B（ ， ）取最大值，成立； 当 a＜0 时，目标函数 z=ax+y 的斜率 k=﹣a＜kOB=3，∴a＞﹣3． 当 a＞0 时，目标函数 z=ax+y 的斜率 k=﹣a＞kAB=﹣1，∴a＜1． 综上，﹣3＜a＜1． ∴实数 a 的取值范围为（﹣3，1）． 故答案为：（﹣3，1）． 15．已知数列{an}满足 a1=10，an+1﹣an=n（n ∈ N*），则 取最小值时 n= 4 或 5 ． 【考点】数列递推式． 【分析】通过 an+1﹣an=n（n ∈ N+），利用累加法可知 an= n2﹣ n+10，进而化简 表达式， 利用基本不等式计算即得结论． 【解答】解：∵an+1﹣an=n（n ∈ N+）， ∴an﹣an﹣1=n﹣1， an﹣1﹣an﹣2=n﹣2， … a2﹣a1=1， 累加可知：an﹣a1=1+2+…+（n﹣1）= ， 又∵a1=10， ∴an= +10= n2﹣ n+10， ∴ = ． ∵ ＞2 ﹣ = ﹣ ，n ∈ N ， 当且仅当 ，即 n=2 ．因为 n ∈ N， =4， =4． 所以 n=4 或 5 时表达式取得最小值， 故答案为：4 或 5 16．设 F1，F2 分别是椭圆 + =1 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为（6， 4），则|PM|+|PF1|的最大值为 15 ． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|=2a+|MF2|，由此可得结论． 【解答】解：由题意 F2（3，0），|MF2|=5， 由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|=10+|PM|﹣|PF2|≤10+|MF2|=15， 当且仅当 P，F2，M 三点共线时取等号， 故答案为：15． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（Ⅰ）已知某椭圆的左右焦点分别为 F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点 P（ ， ）， 求该椭圆的标准方程； （Ⅱ） 已知某椭圆过点（ ，﹣1），（﹣1， ），求该椭圆的标准方程． 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义，结合焦点坐标求出基本量，即可求该椭圆的标准方程； （Ⅱ） 设椭圆方程为 mx2+ny2=1，利用待定系数法求该椭圆的标准方程． 【解答】解：（Ⅰ） ， 又椭圆焦点为（±1，0），所以 b=1， 所以椭圆方程为 ．… （Ⅱ）设椭圆方程为 mx2+ny2=1，则有 ， 解得 ，所以椭圆方程为 ．… 18．已知命题 p：“ + =1 是焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程”，命题 q：“不等式组 所表示的区域是三角形”．若 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数 m 的取 值范围． 【考点】命题的真假判断与应用；简单线性规划． 【分析】求出命题 P 是真命题时，m 的范围，利用线性规划求出命题 q 是真命题时，m 的 范围，然后求解即可． 【解答】解：（理科）如果 p 为真命题，则有 m＞m﹣1＞0，即 1＜m＜2；… 若果 q 为真命题，不等式组 所表示的区域是三角形，则由图可得 或 m≥2．… 因为 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，所以 p 和 q 一真一假， 所以实数 m 的取值范围为 … 19．已知正数 a，b 满足 ab=2a+b+2． （Ⅰ）求 ab 的最小值； （Ⅱ）求 a+2b 的最小值． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）利用换元法，结合基本不等式，即可求 ab 的最小值； （Ⅱ）化二元为一元，利用基本不等式求 a+2b 的最小值． 【解答】解：（Ⅰ） ，设 ，所以 ，解得 ，… 所以 ab 最小值为 ，当 b=2a，即 时取到．… （Ⅱ）由题可得 ， 所以 ，即 a+2b 最小值为 ，… 当 ，即 时取到．… 20．已知数列{an}满足 an+1=2an﹣1（n ∈ N+），a1=2． （Ⅰ）求证：数列{an﹣1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{nan}的前 n 项和 Sn（n ∈ N+）． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】（Ⅰ）通过对 an+1=2an﹣1（n ∈ N+）变形可知数列{an﹣1}是首项为 1、公比为 2 的等 比数列，进而可得结论； （Ⅱ）通过 an=2n﹣1+1 可知 nan=n•2n﹣1+n，利用错位相减法计算即得结论． 【解答】（Ⅰ）证明：∵an+1=2an﹣1（n ∈ N+）， ∴an+1﹣1=2（an﹣1）（n ∈ N+）， 又∵a1﹣1=2﹣1=1， ∴数列{an﹣1}是首项为 1、公比为 2 的等比数列， ∴an﹣1=1•2n﹣1=2n﹣1， ∴an=2n﹣1+1； （Ⅱ）解：∵an=2n﹣1+1， ∴nan=n•2n﹣1+n， 设 Tn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n﹣1， ∴2Tn=1•21+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n， 两式相减得：﹣Tn=（1+21+22+23+…+2n﹣1）﹣n•2n = ﹣n•2n =（1﹣n）•2n﹣1， ∴Tn=（n﹣1）•2n+1， ∴Sn=Tn+ =（n﹣1）•2n+1+ ． 21．设椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率 ．已知点 到这个椭圆上 的点的最远距离为 ，求这个椭圆方程． 【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义；椭圆的标准方程． 【分析】先设椭圆方程为 ，M（x，y）为椭圆上的点，由离心率得 a=2b，利用两点间的距离公式表示出|PM|2 若 ，则当 y=﹣b 时|PM|2 最大，这种情况 不可能；若 时， 时 4b2+3=7，从而求出 b 值，最后求得所求方程． 【解答】解：设椭圆方程为 ，M（x，y）为椭圆上的点，由 得 a=2b， ， 若﹣b＞﹣ 即 ，则当 y=﹣b 时|PM|2 最大，即 ， ∴b= ，故矛盾． 若﹣b≤﹣ ≤b，即 时， 时， 4b2+3=7， b2=1，从而 a2=4． 所求方程为 ． 22．设 a＜1，集合 A={x ∈ R|x＞0}，B={x ∈ R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B． （Ⅰ）求集合 D（用区间表示）； （Ⅱ）求函数 f（x）=x2﹣（1+a）x+a 在 D 内的零点． 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】（Ⅰ）对于方程 2x2﹣3（1+a）x+6a=0，判别式△=3（a﹣3）（3a﹣1）因为 a＜1， 所以 a﹣3＜0，分类讨论求出 B，即可求集合 D（用区间表示）； （Ⅱ）f（x）=（x﹣1）（x﹣a），a＜1，分类讨论求函数 f（x）=x2﹣（1+a）x+a 在 D 内的 零点． 【解答】解：（Ⅰ）对于方程 2x2﹣3（1+a）x+6a=0 判别式△=3（a﹣3）（3a﹣1） 因为 a＜1，所以 a﹣3＜0 ①当 1 时，△＜0，此时 B=R，所以 D=A； ②当 a= 时，△=0，此时 B={x|x≠1}，所以 D=（0，1）∪（1，+∞）； 当 a＜ 时，△＞0，设方程 2x2﹣3（1+a）x+6a=0 的两根为 x1，x2，且 x1＜x2，则 ③当 0 时，x1+x2= （1+a）＞0，x1x2=3a＞0，所以 x1＞0，x2＞0 此时，D=（0，x1）∪（x2，+∞）； ④当 a≤0 时，x1x2=3a≤0，所以 x1≤0，x2＞0． 此时，D=（x2，+∞）．… （Ⅱ）f（x）=（x﹣1）（x﹣a），a＜1， ①当 1 时，函数 f（x）的零点为 1 与 a； ②当 a= 时，函数 f（x）的零点为 ； ③当 0 时，因为 2×12﹣3（1+a）+6a＜0，2×a2﹣3（1+a）a+6a＞0，所以函数 f（x） 零点为 a； ④a≤0，因为 2×12﹣3（1+a）+6a＜0，2×a2﹣3（1+a）a+6a＜0，所以函数 f（x）无零点． 2016 年 11 月 21 日