数学文卷·2018届广东汕头市高三普通高中毕业班教学质量监测试题（2018 12页

绝密★启用前 试卷类型：A 汕头市2017~2018学年度普通高中毕业班第一学期统一监测试题 文 科 数 学 本试卷4页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅 ‎ 笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴 ‎ 处”。‎ ‎ 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点 ‎ 涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎ 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 ‎ 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂 ‎ 改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎ 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。‎ ‎1.已知集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎2.已知复数，则 A． B． C．的实部为 D．为纯虚数 ‎ ‎3.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，π-，则 A． B． C． D． ‎ ‎4.已知向量，，．若，则实数 A． B． C． D． ‎ ‎5．袋中装有大小相同且编号分别为1，2，3，4的四个小球，甲从袋中摸出一个小球，其号码记为，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码记为，则由、组成的两位数中被6整除的概率为 A． B． C． D． ‎ ‎6.如图，在三棱锥中，，，平面平面.‎ ‎①②③平面平面④平面平面.‎ 以上结论正确的个数有 A．1 B．2 C．4 D．5‎ ‎7．执行下面的程序框图，如果输入的，，则输出的 A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为 A. B．　　　 C．　　　　 D．‎ 第8题图 第7题图 ‎ ‎ ‎9.若函数的图象经过点，则 A．在上单调递减 B．在上单调递减 C. 在上单调递增 D．在上单调递增 ‎10.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.‎ 学生序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 立定跳远（单位：米）‎ ‎1.92‎ ‎1.96‎ ‎1.78‎ ‎1.76‎ ‎1.74‎ ‎1.72‎ ‎1.80‎ ‎1.82‎ ‎1.68‎ ‎1.60‎ ‎30秒跳绳（单位：次）‎ ‎63‎ a ‎75‎ ‎60‎ ‎63‎ ‎72‎ ‎70‎ a−1‎ b ‎65‎ 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则 A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 ‎11.设，则是 ‎ A．奇函数,且在上是减函数 B．奇函数，且在上是增 函数 ‎ C．有零点，且在上是减函数 D．没有零点，且是奇函数 ‎12.已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知实数满足，则目标函数的最小值为___________ . ‎ ‎14.已知 则___________ .‎ ‎15.已知为偶函数，当 时，，则曲线在处的切线 方程为______________.‎ ‎16．已知（），则 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且满足．‎ ‎（1）求证为等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某大型企业为鼓励员工多利用络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据，其频率分布直方图如下：‎ ‎0.0008‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎700‎ ‎800‎ ‎900‎ ‎1000‎ 流量L/M ‎0.0002‎ ‎ a ‎0.0025‎ ‎0.0035‎ ‎1100‎ 将频率视为概率，回答以下问题：‎ ‎(1) 求出的值，并计算这100位员工每月手机使用流量的平均值；‎ ‎(2)据了解，某络营运商推出两款流量套餐，详情如下：‎ 套餐名称 月套餐费(单位：元)‎ 月套餐流量(单位：M)‎ A ‎20‎ ‎700‎ B ‎30‎ ‎1000‎ 流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费。如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含200M的流量）需要10元，可以多次购买；如果当月流量有剩余，将会被清零.‎ ‎ 该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需费用.若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐最经济？‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 第19题图 如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设，若三棱锥的 体积为，求点到平面的距离．‎ ‎20（本小题满分12分）‎ 已知圆的圆心在直线，且圆经过曲线与轴的交点.‎ （1） 求圆的方程；‎ （2） 已知过坐标原点的直线与圆交两点，若，求直线的方程.‎ ‎21（本小题满分12分）‎ 已知函数. ‎ ‎（1）求的单调区间； ‎ ‎（2）讨论在上的零点个数.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，两条曲线交于两点. ‎ ‎（1）求两点的极坐标；‎ ‎（2）为曲线（为参数）上的动点，求的面积的最小值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）求函数的最小值.‎ 汕头市2017~2018学年度普通高中毕业班第一学期统一监测 文科数学答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答 案 B D C A B C B D D B A C 二、填空题：每小题5分，满分20分．‎ ‎ 13． ； 14． ； 15． ； 16． ．‎ 说明：15．写成 或或 都给分。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ‎ ‎17.解：（1）证明：因为 所以当时，，‎ 即．………………………………………………………………… 1分 ‎ 当时，①‎ ‎ ②………………………………………… 2分 ①- ‎②得：，‎ 即，………………………………………………………… 3分 所以，……………………………………… 4分 即，…………………………………………………… 5分 ‎ 又，‎ ‎ 所以是以为首项以为公比的等比数列.………………………… 6分 （2） 由（1）知是以为首项以为公比的等比数列，‎ 所以， ‎ 所以，………………………………………………………… 7分 所以 所以 ‎ ……………………… 8分 ‎ ……………… 9分 ‎ （等比给1分，等差给1分）……… 11分 ‎ ……………………………………………… 12分 ‎ 18.解：（1）依题意得：…… 1分 ‎ ‎ 解得：…………………………………………………………… 2分 ‎ 这100位员工每月手机使用流量的平均值为：‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………………………………………………… 4分 ‎（M） …………………………………………………………… 6分 ‎（2）若订购A套餐则这100位员工每月手机使用流量的平均费用为：‎ ‎………………… 7分 ‎ （元）………………………………………………………………… 8分 ‎ 若订购B套餐则这100位员工每月手机使用流量的平均费用为：‎ ‎………………………… 9分 ‎ （元）……………………………………………………………… 10分 ‎ ……………………………………………………………… 11分 ‎ 该企业订购A套餐更经济.……………………………………………… 12分 ‎19.解:(1) 证明：四边形是菱形，‎ ‎ ， …………………………………………………………………… 1分 ‎ ，，…………………………………………………… 2分 ‎ 平面 ‎ ，……………………………………………………………………… 3分 ‎ ，是的中点，‎ ‎ ，……………………………………………………………………… 4分 ‎ ，‎ ‎ 平面．…………………………………………………………… 5分 ‎ ‎（2）第19题图 设菱形的边长为，‎ 由四边形是菱形，‎ 得是等边三角形，则，……………… 6分 由（1）知，又是的中点，‎ ‎，又，‎ 是等边三角形，则，‎ 在中，， ………………………………………… 7分 ‎ …………………………………………………… 8分 ‎，‎ ‎．………………………………………………………………………… 9分 在中，，‎ 在中，，‎ ‎，…………………………… 10分 设点到平面的距离为，由， …………………… 11分 得，解得，‎ 即点到平面的距离为．…………………………………………………… 12分 ‎20.解：（1）因为，令得，解得：或 ‎ 所以曲线与轴的交点坐标为 ……………………1分 ‎ 设圆的方程为：，则依题意得：‎ ‎ ， （只要列对一个方程就给1分） ……………………2分 解得：（解对1个给1分，解对2个给2分，全解对给2分，） ………4分 ‎ 所以圆的方程为：. ……………………………………5分 ‎ （2）解法一：‎ ‎ 直线的斜率显然存在，故设直线的斜率为，则直线的方程为： ……6分 ‎ 联立消并整理得： ………7分 ‎ 设则， ………………………8分 ‎ 因为所以， …………………………………………………9分 ‎ 所以， …………………………10分 ‎ 解得：或， …………………………………………………………11分 所以直线的方程为或.……………………………………………12分 解法二：‎ 如图取的中点，连接，‎ 则 设，‎ 由，得：‎ 由,……………………………6分 所以：……………………………7分 解得： ………………………………………8分 所以圆心到直线的距离等于2‎ 设直线的方程为，即：…………9分 所以：,……………………………10分 解得：或 ……………………………11分 所以：直线的方程为：或.…………12分 解法三：‎ 设直线的倾斜角为则直线的参数方程为：（为参数）…………6分 ‎ 把代入并整理得：‎ ‎ ……………………………7分 ‎ 设对应的参数分别为则，……………8分 ‎ 因为所以，，所以……………………9分 ‎ 所以，‎ ‎ 所以 ‎ 所以， …………………………………………………10分 所以或 …………………………………………………11分 ‎ 所以直线的方程为或.……………………………………………12分 ‎21.解：（1）， …………………………………………………… 1分 ‎ 若，则恒成立，……………………………………… 2分 ‎ 所以的单调递增区间为， …………………………… 3分 ‎ 若，令得， …………………………………… 4分 ‎ 令得， ………………………………………… 5分 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， ‎ ‎……………………………………………………………………… 6分 ‎ （2）令得，又所以 ………… 7分 ‎ ‎ 因为所以，‎ ‎ 故，若，则无零点，即有0个零点，………………… 8分 ‎ 若，令，，……………… 9分 ‎ 当时，当时,‎ ‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，………………… 10分 ‎ 所以，‎ ‎ 又因为，当时，，当时，，…… 11分 ‎ 若则有1个零点，‎ ‎ 若则有2个零点.……………………………………………12分 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.解:（1）由及得：‎ ‎ ，…………………………………………………………………1分 ‎ 由得：‎ 又，所以得：，………………………………2分 ‎ 联立解得：或（一组解给1分）………………4分 所以直线与曲线交点的极坐标为，，………………………5分 （2） 由（1）知直线与曲线交点的直角坐标为，，‎ 所以，……………………………………………6分 ‎ 因此，的面积取得最小时也就是到直线的距离最小的时候 设点，则点到直线的距离为：‎ ‎ ,…………………………………………………………7分 ‎（其中，）‎ ‎…………………………………………………………………………8分 ‎ 当时，取得最小值，， …………………………9分 ‎ 所以面积的最小值为：………10分 ‎23.解：（1）当时, ………………………………………………1分 时，，得，即有………………………………………2分 时，，得，即有 ………………………………3分 时，，得，即有 …………………………………………4分 综上，不等式的解集为R. …………………………………………………………5分 ‎（2） ……………………6分 ‎ ‎ ‎ …………………………………………………7分 ‎ …………………………………………………………………………………8分 ‎…………………………………………………………………………9分 当且仅当且时取“=”‎ 函数的最小值为……………………………………………………………………10分