专题51+不等式+基本不等式1-2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试 11页

‎2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎ 【考点讲解】‎ 一、具本目标：基本不等式： .‎ ‎　　（1） 了解基本不等式的证明过程.‎ ‎　　（2） 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.‎ 考点剖析：利用基本不等式求函数的最值.备考重点：含参数的不等式恒成立问题.基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．‎ 二、知识概述：‎ 基本不等式 ‎1.如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.‎ 推论：（）.‎ ‎2.如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.‎ 推论：（，）；.‎ 3. ‎.‎ ‎【方法提示】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．‎ ‎2.‎ 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．‎ 注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． ‎ ‎3.（1）在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．‎ ‎（2)多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．‎ ‎4.利用基本不等式解决实际问题时的一般步骤为：‎ ‎(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；‎ ‎(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；‎ ‎(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；‎ ‎(4)正确写出答案.‎ ‎4.利用均值不等式求最值要灵活运用两个公式，（1），当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.‎ 常见题型：1.利用基本不等式证明：已知、、都是正数，求证： ‎ ‎2.利用基本不等式求最值：‎ ‎（1）已知求函数的最小值；‎ 拼凑成两正数之和,使其积为定值,运用均值不等式可求出最小值.‎ ‎【解析】（1）由.‎ ‎,‎ 当且仅当,即时,函数取得最小值.‎ ‎（2）已知,求函数的最大值.‎ ‎【解析】由得,‎ 当且仅当,即时,函数取得最大值.‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【2017山东，文】若直线过点（1,2）,则2a+b的最小值为 .‎ ‎【解析】本题考点是基本不等式的具体应用.由直线过点（1,2）可得,‎ 所以.当且仅当时等号成立.‎ ‎【答案】‎ ‎2.【2017天津，理12文13】若， ，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎3.【2019优选题】若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．‎ ‎【解析】本题考点是基本不等式的运用.‎ ‎　(1)方法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，‎ ‎∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)＝＋＋＋≥＋＝5.‎ 当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立，‎ ‎∴3x＋4y的最小值是5.‎ 方法二　由x＋3y＝5xy得x＝，‎ ‎∵x>0，y>0，∴y>，‎ ‎∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4(y－)≥＋2＝5，‎ 当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.‎ ‎【答案】5‎ ‎4.【优选题】已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎5.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）‎ ‎（A）16 （B）18 （C）25 （D）‎ ‎【解析】本题考点是二次函数与基本不等式的综合应用.‎ 时，抛物线的对称轴为.据题意，‎ 当时，抛物线的开口向上，根据题意可得即.‎ ‎..由且得.‎ 当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..‎ ‎【答案】B ‎6.【2016优选题】已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　) A．9 B．8 C．4 D．2‎ ‎【答案】　A ‎7.【2016优选题】设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．‎ ‎【解析】本题考点是数列与基本不等式的综合应用问题.因数数列{an}为等差数列，所以通项与和分别为：an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，‎ ‎∴＝＝(n＋＋1)≥(2＋1)＝，‎ 当且仅当n＝4时取等号．∴的最小值是.‎ ‎【答案】 ‎8.【2017优选题】 若直线（）始终平分圆的周长，则 的最小值为 .‎ ‎【解析】本题考点是圆与基本不等式的综合应用.直线平分圆周，则直线过圆心，所以有 ‎（当且仅当 时取“=”）.‎ ‎【答案】‎ 9. ‎【2017优选题】 若两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎10.已知x,y均为正数,且x>y,求证:. ‎ ‎【解析】本题考点是基本不等式的具体应用，注意拚凑法的应用.‎ 因为x>0,y>0,x－y>0, ‎ ‎ = , ‎ 所以 ‎ ‎【模拟考场】‎ ‎1.已知，，且，则的最小值为( )‎ A. 8 B. 9 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎2.设，若的最小值为（ ）‎ A. B.8 C. D.‎ ‎【答案】D ‎3. 已知函数，若且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】由已知得：，‎ 所以.注意，因为，所以不能取等号.选D.‎ ‎【答案】D ‎4.下列函数中，最小值为2的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】当 时 ，当 时 ， ‎ ‎ ，当且仅当时取等号，由于无解，‎ 所以； ，当且仅当时取等号，所以选D. ‎ ‎【答案】D ‎5.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎6. 已知，则的最小值为 ( )‎ A. 4 B. 8 C. 9 D. 6‎ ‎【解析】=,当且仅当 成立时，等号成立，即。选B.‎ ‎【答案】B ‎7.设，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 9 C. 7 D. 13‎ ‎【答案】B ‎8.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值是(　　)‎ A．0 B．1 C. D．3‎ ‎【解析】＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，‎ 此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.【答案】B ‎9.若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆的弦长为2，则 的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 12 D. 16‎ ‎【解析】圆心坐标为，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即， ，所以 ，当且仅当时取等号，因此最小值为6，故选B．‎ ‎【答案】B ‎10.对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数且，则的上确界为（ ）‎ A. B. C. D. -4‎ ‎【解析】,当且仅当 时取等号,因此的上确界为,选A.‎ ‎【答案】A ‎11.已知正数满足，则的最小值为________.‎ ‎【答案】25‎ ‎12.设均为正数,且,证明:‎ 证明：由 得. ‎ 由题设得,‎ 即. ‎ 所以,即. ‎