高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系 12页

一、选择题 ‎1．异面直线是指(　　)‎ A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 ‎[答案]　D ‎[解析]　对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．‎ 对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．‎ 对于C，如右图的a，b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.‎ 规律总结：‎ 解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．‎ ‎2．a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β，若α∩β＝l，则直线l必定(　　)‎ A．与a，b都相交 B．与a，b都不相交 C．至少与a，b之一相交 D．至多与a，b之一相交 ‎[答案]　C ‎[解析]　若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直线矛盾．故选C.‎ ‎3．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能 ‎[答案]　D ‎[解析]　如图所示，长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，所以AB∥A1B1；又AD与AA1相交，所以AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，所以AB与A1D1异面．故选D.‎ ‎4．正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有(　　)‎ A．3条 B．4条 C．6条 D．8条 ‎[答案]　C ‎[解析]　画一个正方体，不难得出有6条．‎ ‎5．下列命题中，正确的结论有(　　)‎ ‎①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎[答案]　B ‎[解析]　②④是正确的．‎ ‎6. 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中 ∠EFH＝90°，‎ HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，‎ 故选A.‎ ‎7．正方体A1B‎1C1D1－ABCD中，BD与B‎1C所成的角是(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵A1D∥B‎1C，∴A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角，连接A1B.∵△A1DB为正三角形，‎ ‎∴∠A1DB＝60°.‎ ‎8．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别为P、Q、R，且AC＝4，BD＝2，PR＝3，则AC和BD所成的角为(　　)‎ A．90° B．60°‎ C．45° D．30°‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　如图，P、Q、R分别为AB、BC、CD中点，∴PQ∥AC，QR∥BD，‎ ‎∴∠PQR为AC和BD所成角 又PQ＝AC＝2，‎ QR＝BD＝，RP＝3‎ ‎∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°‎ 即AC和BD所成的角为90°，故选A.‎ 二、填空题 ‎9．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是________，不平行的两条直线的位置关系是________，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是________，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为________．‎ ‎[答案]　平行、相交、异面　相交、异面　平行、异面　平行、相交、异面．‎ ‎10．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：‎ ‎①∠ACB＝∠A′C′B′；‎ ‎②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；‎ ‎③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.‎ 一定成立的是________．‎ ‎[答案]　③‎ ‎11．正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点，则 ‎①MN与PQ的位置关系为________，它们所成的角为________．‎ ‎②DB1与MN的位置关系为________，它们所成的角是________．‎ ‎[答案]　①相交　60°　②异面　90°‎ ‎[解析]　①连接AC、D‎1C由于P、Q分别为C1D1、C‎1C的中点，‎ 所以PQ∥D‎1C，‎ 同理MN∥AC，‎ 则AC与D‎1C所成角即为MN与PQ所成角，∠D1CA＝60°.‎ ‎②连接AC、BD交于O，‎ 取BB1的中点H，连OH，则OH∥B1D，‎ 连AH，HC，则AH＝HC，∴OH⊥AC，‎ 又MN∥AC，OH∥B1D，∴MN⊥B1D.‎ ‎12．正方体ABCD－A1B‎1C1D1中 ‎①AC和DD1所成角是________度．‎ ‎②AC和D‎1C1所成的角是________度．‎ ‎③AC和B1D1所成的角是________度．‎ ‎④AC和A1B所成的角是________度．‎ ‎⑤O为B1D1中点，AC和BO所成角是________度．‎ ‎⑥A1B和B1D1所成角是________度．‎ ‎[答案]　①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°.‎ ‎[解析]　①DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥AC；‎ ‎②D‎1C1∥DC，∠DCA＝45°，∴D‎1C1与AC成45°角；‎ ‎③B1D1∥BD，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC；‎ ‎④A1B∥D‎1C，△D‎1AC为等边三角形，∴成60°角；‎ ‎⑤在正方体中，∵O是B1D1中点，∴O为A‎1C1中点，‎ 又A1B＝BC1∴BO⊥A‎1C1，‎ 又AC∥A‎1C1，∴BO⊥AC，∴AC与BO成90°角；‎ ‎⑥B1D1∥BD，△A1BD为等边三角形，∴成60°角．‎ 三、解答题 ‎13．如图所示，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中的面A‎1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．‎ ‎[分析]　由于BC∥B‎1C1，所以平行于BC的直线只需要平行于B‎1C1即可．‎ ‎[解析]　如图所示，在面A‎1C1内过P作直线EF∥B‎1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．‎ 理由：∵EF∥B‎1C1，BC∥B‎1C1，∴EF∥BC.‎ ‎14．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．‎ ‎[解析]　由已知得BC⊥AC，‎ 又BC＝AC，∴∠ABC＝45°.‎ 又在△VBC中，D、E分别为VB、VC中点，‎ ‎∴DE∥BC，∴DE与AB所成的角为∠ABC＝45°.‎ ‎15．如右图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．‎ ‎[分析]　根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与 CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．‎ ‎[解析]　取AC的中点F，连接BF、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，‎ ‎∴EF∥CD，‎ ‎∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．‎ 在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.‎ 在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.‎ 在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.‎ 在等腰△EBF中，cos∠FEB＝＝＝，‎ ‎∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.‎ ‎16．如下图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F、E1、F1分别为棱AD、AB、B‎1C1、C1D1的中点．‎ 求证：∠EA‎1F＝∠E1CF1.‎ ‎[证明]　如下图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，取A1B1的中点M，则BF＝A‎1M＝AB.‎ 又∵BF∥A‎1M，‎ ‎∴四边形A1FBM为平行四边形．‎ ‎∴A‎1F∥BM.‎ 而F1、M分别为C1D1、A1B1的中点，‎ 则F‎1M綊C1B1，‎ 而C1B1綊BC，∴F‎1M∥BC，且F‎1M＝BC.‎ ‎∴四边形F1MBC为平行四边形，‎ ‎∴BM∥F‎1C.又BM∥A‎1F，∴A‎1F∥CF1.‎ 同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，‎ 则A1N綊DE，‎ ‎∴四边形A1NDE为平行四边形．‎ ‎∴A1E∥DN.‎ 又E1N∥CD，且E1N＝CD，‎ ‎∴四边形E1NDC为平行四边形．‎ ‎∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1.‎ ‎∴∠EA‎1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，‎ 且方向都相反．‎ ‎∴∠EA‎1F＝∠E1CF1.‎ 规律总结：证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法．另外，通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明，如本例还可通过证明△EA‎1F与△E1CF1全等来证明角相等．‎