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- 2021-06-23 发布
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1.2 定积分
[学习目标]
1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．
2．理解定积分的几何意义．
3．掌握定积分的基本性质．
[知识链接]
定积分和曲边梯形的面积有什么联系？
答 函数f(x)的图像和直线x＝a，x＝b以及x轴围成的曲边梯形的面积可以通过分割区间、近似替代、求和、逼近得到，当分割成的小区间长度趋于零时，曲边梯形的面积趋于某一个固定的常数A，A就是f(x)在[a，b]上的定积分．
[预习导引]
1．定积分的定义
一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份．分点为a＝x0 <
4.dx＝________.
答案
解析 根据定积分的几何意义，dx表示x2＋y2＝1(y≥0)与x轴围成的面积的一半，
所以dx＝.
1．定积分f(x)dx是一个确定的常数，和积分变量无关．
2．当f(x)≥0时f(x)dx表示由曲线y＝f(x)、直线x＝a、x＝b与x轴围成的曲边梯形的面积，可以利用定积分的这种几何意义求定积分．
3．定积分的性质可以帮助简化定积分运算．
一、基础达标
1．S1＝2xdx，S2＝3xdx的大小关系是( )
A．S1＝S2 B．S＝S2
C．S1＞S2 D．S1＜S2
答案 D
解析 2xdx表示的是由曲线y＝2x，x＝0，x＝1及x轴所围成的图形面积,而
3xdx表示的是由曲线y＝3x，x＝0，x＝1及x轴围成的图形面积．因为在
x∈[0,1]内曲线y＝2x在曲线y＝3x的下方，所以S2＞S1.
2.
一物体的运动速度v＝2t＋1，则其在1秒到2秒的时间内该物体通过的路程为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
答案 A
解析 即求(2t＋1)dt.可由其几何意义求解．
S＝＝4.
3．由曲线y＝ex和x＝0，y＝2围成图形的面积S表示为( )
A．exdx B．2ln 2－exdx
C． (2＋ex)dx D．以上都不对
答案 B
解析
如图所示，可先求得由x＝0，x＝ln 2和y＝ex围成的曲边梯形的面积I即为
exdx，再由矩形面积减去该曲边梯形面积可得．
4．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx＞0
D．若f(x) 在[a，b]上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
答案 D
解析 对于A，f(－x)＝－f(x)，f(x)dx＝
f(x)dx＋f(x)dx＝－f(x)dx＋f(x)dx＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)>0时，
f(x)dx>0即C正确；但f(x)dx>0，不一定有f(x)恒正，故选D.
5．定积分(x＋1)dx的值是__________．
答案
解析 (x＋1)dx表示的是由直线y＝x＋1，x＝1，x＝2及x轴所围成的直角梯形的面积，所以(x＋1)dx＝.
6．若f(x)的图像关于y轴对称且有f(x)dx＝3，
则－6f(x)dx＝________.
答案 6
解析 数形结合可知－6f(x)dx＝2f(x)dx＝6.
7．化简下列各式，并画出各小题所表示面积的图形：
(1)x2dx＋x2dx；
(2)(1－x)dx＋(x－1)dx
解 (1)x2dx＋x2dx＝x2dx，
所表示面积的图形如图1：
(2)(1－x)dx＋(x－1)dx＝dx，它所表示面积的图形如图2：
二、能力提升
8．若函数f(x)的图像在[a，b]上是一条连续曲线，用n－1个等分点xi(i＝1,2，…，n－1)把[a，b]分成n个小区间，记x0＝a，xn＝b，每个小区间长度为Δx，任取ξi∈[xi－1，xi]，则f(x)dx等于当n→＋∞时( )
A.(xi)所趋近的某个值
B.(ξi)(b－a)所趋近的某个值
C.(ξi)Δx所趋近的某个值
D.(xi)所趋近的某个值
答案 C
解析 ξiΔx为第i个小曲边梯形的面积，和式f(ξ1)Δx＋f(ξ2)Δx＋…＋f(ξn)Δx表示x＝a，x＝b，y＝0及函数f(x)的图像所围成图形的面积的近似值，当分割无限变细，即n趋向于＋∞时，(ξi)Δx所趋近的值就是曲边图形的面积，即f(x)dx.
9．已知f(x)＝x3－x＋sin x，则f(x)dx的值为( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．不确定
答案 A
解析 易知f(x)为奇函数，由奇函数的性质f(x)dx＝－f(x)dx，而f(x)dx＝
f(x)dx＋f(x)dx＝0.
10．若xdx＝1，则实数a的值为________．
答案
解析 由定积分的几何意义知：xdx＝×a×a＝
1(a＞0)，则有a＝.
11．比较sin5xdx与 sin xdx的大小．
解 ∵x∈[0，]，0≤sin x≤1，
∴sin5x≤sin x．(只有x＝0，时“＝”成立)
∴sin5xdx
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