2021高考数学一轮复习课时作业13变化率与导数导数的计算理 4页

课时作业13　变化率与导数、导数的计算 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)‎ A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)‎ C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)‎ 解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，‎ ‎∴f′(x)＝3(x2－a2)．‎ 答案：C ‎2．[2020·河南南阳月考]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f(e)＝(　　)‎ A．e B．－ C．－1 D．－e 解析：由f(x)＝2xf′(e)＋ln x，得f′(x)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝2f′(e)＋，所以f′(e)＝－，故f(x)＝－x＋ln x，所以f(e)＝－1.故选C项．‎ 答案：C ‎3．[2020·山西太原模拟]已知函数f(x)＝xln x＋a的图象在点(1，f(1))处的切线经过原点，则实数a的值为(　　)‎ A．1 B．0‎ C. D．－1‎ 解析：∵f(x)＝xln x＋a，∴f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，f(1)＝a，∴切线方程为y＝x－1＋a，∴0＝0－1＋a，解得a＝1.故选A项．‎ 答案：A ‎4．[2020·河北示范性高中联考]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)‎ A．3x＋y－4＝0 B．3x＋y＋4＝0‎ C．3x－y－2＝0 D．3x－y－4＝0‎ 解析：若x>0，则－x<0，所以f(－x)＝.又函数f(x)是定义在R 4‎ 上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝，此时f′(x)＝，f′(1)＝－3，f(1)＝1，所以切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.故选A项．‎ 答案：A ‎5．[2020·河南新乡模拟]若f(x)＝a－2＋asin(2x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为(　　)‎ A．－2 B．－4‎ C．2 D．4‎ 解析：∵f(x)是奇函数，∴a－2＝0，得a＝2，∴f(x)＝2sin(2x)，f′(x)＝4cos(2x)，∴f′(0)＝4.∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为4.故选D项．‎ 答案：D 二、填空题 ‎6．[2019·全国卷Ⅰ]曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．‎ 解析：∵y′＝3(x2＋3x＋1)ex，‎ ‎∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝3，‎ ‎∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y＝3x.‎ 答案：y＝3x ‎7．[2020·天津十二重点中学联考]已知函数f(x)＝(x2－a)ln x，f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(1)＝－2，则a的值为________．‎ 解析：∵f(x)＝(x2－a)ln x(x>0)，∴f′(x)＝2xln x＋，∴f′(1)＝1－a＝－2，得a＝3.‎ 答案：3‎ ‎8．[2020·湖南湘东六校联考]已知曲线f(x)＝ex＋x2，则曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为________．‎ 解析：由题意，得f′(x)＝ex＋2x，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点坐标分别为(－1,0)，(0,1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为×1×1＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；‎ ‎(2)y＝；‎ 4‎ ‎(3)y＝.‎ 解析：(1)解法一：因为y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，所以y′＝24x3＋9x2－16x－4.‎ 解法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.‎ ‎(2)y′＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎(3)y′＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.‎ ‎(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．‎ 解析：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，‎ 所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，‎ 即x－y－4＝0.‎ ‎(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x－8x0＋5，‎ 所以切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，‎ 又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，‎ 所以x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，‎ 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，‎ 所以经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．[2020·江西南昌模拟]已知f(x)在R上连续可导，f′(x)为其导函数，且f(x)＝ex＋e－x－xf′(1)·(ex－e－x)，则f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝(　　)‎ A．4e2＋4e－2 B．4e2－4e－2‎ 4‎ C．0 D．4e2‎ 解析：函数f(－x)＝e－x＋ex－(－x)f′(1)·(e－x－ex)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，两边对x求导数，得－f′(－x)＝f′(x)．即f′(－x)＝－f′(x)，则f′(x)是R上的奇函数，则f′(0)＝0，f′(－2)＝－f′(2)，即f′(2)＋f′(－2)＝0，则f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝0.故选C项．‎ 答案：C ‎12．[2020·河北保定乐凯中学模拟]设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　)‎ A．2 B. C．4 D．－ 解析：因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，所以g′(1)＝2.又f′(x)＝g′(x)＋2x，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝g′(1)＋2＝4.故选C项．‎ 答案：C ‎13．[2020·四川绵阳月考]过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，最多有(　　)‎ A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 解析：设切点为P(x0，x－3x0)．易知f′(x0)＝3x－3，则切线方程为y－x＋3x0＝(3x－3)(x－x0)，代入(2,1)得，2x－6x＋7＝0.令y＝2x－6x＋7，则y′＝6x－12x0.由y′＝0，得x0＝0或x0＝2，且当x0＝0时，y＝7>0，x0＝2时，y＝－1<0，所以方程2x－6x＋7＝0有3个解，则过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线的条数是3条．故选A项．‎ 答案：A 4‎