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- 2021-06-23 发布
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小题专练·作业(十)
一、选择题
1.(2016·湖北七校)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=x3 B.y=ln|x|
C.y=sin(-x) D.y=-x2-1
答案 D
解析
选项
正误
原因
A
×
y=x3是奇函数
B
×
y=ln|x|在(0,+∞)上单调递增
C
×
y=sin(-x)=cosx在(0,+∞)上不单调
D
√
y=-x2-1是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
2.(2016·河北三市七校)命题p:∃a∈(-∞,-),使得函数f(x)=|x+|在[,3]上单调递增;命题q:g(x)=x+log2x在区间(,+∞)上无零点,则下列命题中正确的是( )
A.綈p B.p∧q
C.(綈p)∨q D.p∧(綈q)
答案 D
解析 设h(x)=x+,当a=-时,函数y=h(x)为增函数且h()=>0,则函数y=f(x)在[,3]上必单调递增,即p是真命题;∵g()=-<0,g(1)=1>0,故g(x)在(,+∞)有零点,即q是假命题,则p∧(綈q)是真命题.
3.(2016·洛阳调研)已知函数y=f(x)的大致图像如图所示,则函数y=f(x)的解析式应为( )
A.f(x)=exlnx B.f(x)=e-xln|x|
C.f(x)=e|x|ln|x| D.f(x)=exln|x|
答案 D
解析 因为函数定义域是{x|x≠0},排除A选项,当x→-∞,f(x)→0,排除B,根据函数图像不关于y轴对称可知函数不是偶函数,故可排除选项C,故选D.
4.(2016·贵州适应性考试)已知函数f(x)=(x2+x)(x2+ax+b),若对∀x∈R,均有f(x)=f(2-x),则f(x)的最小值为( )
A.- B.-
C.-2 D.0
答案 A
解析 由f(x)=f(2-x)得f(0)=f(2),f(-1)=f(3),则2a+b=-4,3a+b=-9,解得a=-5,b=6,则f(x)=(x2+x)(x2-5x+6)=x(x-2)(x+1)(x-3)=(x2-2x)(x2-2x-3),令x2-2x=t,t∈[-1,+∞),则f(x)=(x2-2x)(x2-2x-3)=t2-3t=(t-)2-,当t=时,f(x)取得最小值-,选项A正确.
5.(2016·福州五校)已知函数f(x)=如果对任意的n∈N*,定义fn(x)=f{f[f…f(x)]},那么f2 016(2)的值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 C
解析 ∵f1(2)=f(2)=1,f2(2)=f(1)=0,f3(2)=f(0)=2,∴fn(2)的值具有周期性,且周期为3,∴f2 016(2)=f3×672(2)=f3(2)=2,故选C.
6.(2016·金太阳模拟)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则( )
A.f(b)<00,∴00,∴10,g(a)<0,∴g(a)<0f(x0) D.∀x∈[0,π],f(x)≥f(x0)
答案 B
解析 由于f′(x)=cosx-,当x∈[0,π]时,若有cosx0=,由于y=cosx在x∈[0,π]上为减函数,故有x∈[0,x0]时,f′(x)>0,当x∈[x0,π]时,f′(x)<0,即函数的最大值为f(x0),故C,D选项错误,又函数在区间[x0,π]上为减函数,故选B.
8.(2016·黄冈调研)已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在[0,3]上的图像如图所示,则不等式<0的解集是( )
A.(-2,-1)∪(0,1) B.(0,1)∪(2,3)
C.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3) D.(-2,1)∪(2,3)
答案 C
解析 根据题意,结合图像可知<0成立的充要条件是f(x)g(x)<0,则说明函数值异号.由图像可知在y轴右侧,(0,1)∪(2,3)满足题意,利用对称性可知,在y轴左侧,满足题意的有(-2,-1).综上可知不等式<0的解集是(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3).
9.(2016·邯郸调研)已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥0时,有f(x+1)=
-f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1),给出下列命题:
①f(2 014)+f(-2 015)=0
②函数f(x)在定义域上是周期为2的函数
③直线y=x与函数f(x)的图像有2个交点
④函数f(x)的值域为(-1,1).
其中正确的是( )
A.①② B.②③
C.①④ D.①②③④
答案 C
解析 由于当x≥0时,有f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),从而当x∈[1,2)时,x-1∈[0,1),有f(x-1)=log2x,又f[(x-1)+1]=-f(x-1)⇒f(x-1)=-f(x)=log2x,即f(x)=-log2x,
所以f(x)=又f(x)为定义在R上的偶函数,所以可作出函数f(x)的图像如图所示.由题意,得f(2 015)=-f(2 014),所以f(-2 015)=-f(2 014),所以f(2 014)+f(-2 015)=0,故①正确;根据题意作出函数f(x)的图像如图所示,由图知函数f(x)在定义域上不是周期函数,故②错误;直线y=x与函数f(x)的图像有1个交点,故③错;函数f(x)的值域为(-1,1),故④正确.综上所述,其中正确的是①④.
10.(2016·广州综合测试)设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3,则函数g(x)=|cos(πx)|-f(x)在区间[-,]上的所有零点的和为( )
A.7 B.6
C.3 D.2
答案 A
解析 令g(x)=|cos(πx)|-f(x)=0,得|cos(πx)|=f(x),所以函数g(x)在区间[-
,]上的所有零点之和可转化为函数y=|cos(πx)|与函数y=f(x)图像的交点的横坐标之和,由于两图像都关于x=1成轴对称图形,所以在[-,]上共有7个交点,从左到右依次为x1,x2,…,x7,故===x4=1,所以g(x)在区间[-,]上的所有零点之和为7.
11.(2016·河北七校)设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,
a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1] B.[1,4]
C.[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞)
答案 D
解析 如图,画出f(x)=的图像,若使函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则a+1≤2或a≥4,解得实数a的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞),故选D.
12.(2016·山西四校)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )
A.2 B.3
C.5 D.7
答案 D
解析 ∵f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,∴f(x+3)=f(x),f(0)=0,f(3)=0,∵f(2)=0,∴f(-2)=0,∴f(-2)=-f(2)=0,f(2+3)=f(5)=f(2)=0,则f(-2+3)=f(1)=f(4)=0,当x=-时,f(-+3)=f(-)=-f(),即f()=
-f(),则f()=0,则f()=f(+3)=f()=0,则1,2,3,4,5,,为方程f(x)=0在区间(0,6)内的解,此时至少有7个,故选D.
13.(2016·江西七校)已知函数f(x)=sinx++a,x∈[-5π,0)∪(0,5π].记函数f(x)的最大值为M,最小值为m,若M+m=20,则实数a的值为( )
A.10 B.11
C.8 D.9
答案 A
解析 令函数g(x)=sinx+,因为x∈[-5π,0)∪(0,5π],且g(-x)=-g(x),故函数g(x)为奇函数,故g(x)max+g(x)min=0,故M+m=g(x)max+a+g(x)min+a=20,解得a=10.
二、填空题
14.(2016·唐山调研)函数f(x)=是奇函数,
则实数a=________.
答案 -2
解析 因为函数f(x)为奇函数,所以=
-,即(x+2)(x+a)=(x-2)(x-a),
整理得2x(a+2)=0,所以a=-2.
15.(2016·湖南四校)若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是________.
答案 [-4,0]
解析 ∵f(x)=x2+a|x-2|,∴f(x)=又∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴⇒-4≤a≤0,即实数a的取值范围是[-4,0].
16.(2016·长沙模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,令F(x)=(x-b)f(x-b)+2 014,若b是a,c的等差中项,则F(a)+F(c)=________.
答案 4 028
解析 依题意得F(a)+F(c)=(a-b)f(a-b)+2 014+(c-b)f(c-b)+2 014.又b是a,c的等差中项,因此a-b=-(c-b).记g(x)=xf(x),则有g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),即函数g(x)=xf(x)是奇函数,
从而有(a-b)f(a-b)+(c-b)f(c-b)=0,因此F(a)+F(c)=4 028.
17.(2016·合肥调研)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(00,解得x>1或x<-1.
因为f(-x)=log2=log2=-log2=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,所以其图像关于原点对称.因为f(x)=log2=log2(1+),所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以函数f(x)的图像与平行四边形ABCD如图所示,
所以|AB|==,直线AB的方程为:3x+4y-13=0,因为点A(3,1)关于原点对称的点为C(-3,-1),所以点C到直线AB的距离d==,所以平行四边形ABCD的面积S=|AB|·d=×=.
1.(2016·重庆测试)下列函数为奇函数的是( )
A.y=x3+3x2 B.y=
C.y=xsinx D.y=log2
答案 D
解析 依题意,对于选项A,注意到当x=-1时,y=2;当x=1时,y=4,因此函数y=x3+3x2不是奇函数.对于选项B,注意到当x=0时,y=1≠0,因此函数y=不是奇函数.对于选项C,注意到当x=-时,y=;当x=时,y=,因此函数y=xsinx不是奇函数.对于选项D,由>0得
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