数学（理）卷·2017届江西省鹰潭市高三第二次模拟考试（2017 16页

鹰潭市2017届高三第二次模拟考试 数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.“（其中是虚数单位）是纯虚数.”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎3.等差数列的前项和是，且，则（ ）‎ A．39 B．91 C．48 D． 51‎ ‎4.我们知道：“平面中到定点等于定长的点轨迹是圆”拓展至空间：“空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知，则点集在空间中的轨迹描述正确的是（ ）‎ A．以为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面 B．以为焦点的椭球体 ‎ C. 以为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面 ‎ D．以上都不对 ‎5.余江人热情好客，凡逢喜事，一定要摆上酒宴，请亲朋好友、同事高邻来助兴庆贺.欢度佳节，迎亲嫁女，乔迁新居，学业有成，仕途风顺，添丁加口，朋友相聚，都要以酒示意，借酒表达内心的欢喜.而凡有酒宴，一定要划拳，划拳是余江酒文化的特色.余江人划拳注重礼节，形式多样；讲究规矩，蕴含着浓厚的传统文化和淳朴的民俗特色.在礼节上，讲究“尊老尚贤敬远客”一般是东道主自己或委托桌上一位酒量好的划拳高手来“做关”，——就是依次陪桌上会划拳的划一年数十二拳（也有半年数六拳）.十二拳 之后晚辈还要敬长辈一杯酒.‎ 再一次家族宴上，小明先陪他的叔叔猜拳12下，最后他还要敬他叔叔一杯，规则如下：前两拳只有小明猜叔赢叔叔，叔叔才会喝下这杯敬酒，且小明也要陪喝，如果第一拳小明没猜到，则小明喝下第一杯酒，继续猜第二拳，没猜到继续喝第二杯，但第三拳不管谁赢双方同饮自己杯中酒，假设小明每拳赢叔叔的概率为，问在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是多少（ ）‎ ‎（猜拳只是一种娱乐，喝酒千万不要过量！）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.函数的图象如图所示，则下列有关性质的描述正确的是（ ）‎ A． ‎ B．为其所有对称轴 ‎ C. 为其减区间 ‎ D．向左移可变为偶函数 ‎7. 若，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“_____”处应填（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 已知满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 如图是某几何体挖去一部分后得到的三视图，其中主视图和左视图相同都是一个等腰梯形及它的内切圆，俯视图中有两个边长分别为2和8的正方形且图中的圆与主视图圆大小相等并且圆心为两个正方形的中心.问该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知抛物线和的公切线（是与抛物线的切点，未必是与双曲线的切点）与抛物线的准线交于，若 ‎，则抛物线的方程是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. ，在不等式恒成立的条件下等式恒成立，求的取值集合（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，则 ．‎ ‎14.数列的前项和是，，则 ．‎ ‎15.，则 ．‎ ‎16.直线与函数图象相切于点，且，为图象的极值点，与轴交点为，过切点作轴，垂足为，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，角的对边分别为，并且.‎ ‎（1）若角成等差数列，求外接圆的半径；‎ ‎（2）若三边成等差数列，求内切圆半径的最大值.‎ ‎18. 如图半圆柱的底面半径和高都是1，面是它的轴截面（过上下底面圆心连线的平面），分别是上下底面半圆周上一点.‎ ‎（1）证明：三棱锥体积，并指出和满足什么条件时有 ‎（2）求二面角平面角的取值范围，并说明理由.‎ ‎19. 鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家级旅游景区——龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖.玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.‎ 某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）‎ 年龄 频数 频率 男 女 ‎10‎ ‎0.1‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎[10,20)‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎[20,30)‎ ‎25‎ ‎0.25‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎[30,40)‎ ‎20‎ ‎0.2‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎[40,50)‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎[50,60)‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎[60,70)‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎[70,80)‎ ‎3‎ ‎0.03‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎[80,90)‎ ‎2‎ ‎0.02‎ ‎0‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎45‎ ‎55‎ ‎（1）完成表格一中的空位①-④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数.‎ ‎（2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？‎ ‎（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为，求的分布列 ‎（表二）‎ ‎50岁以上 ‎50岁以下 合计 男生 女生 合计 ‎0.15‎ ‎0．10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中.）‎ ‎20. 已知 ‎（1）求的轨迹 ‎（2）过轨迹上任意一点作圆的切线，设直线的斜率分别是，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，是否是定值，请说明理由，并加以证明.‎ ‎21. 已知函数 ‎（1）若，证明；‎ ‎（2）若，求的取值范围；并证明此时的极值存在且与无关.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.曲线 曲线（是参数）‎ ‎（1）求曲线的普通方程，并指出它是什么曲线.‎ ‎（2）当变化时指出曲线是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线截曲线所得弦长的最小值.‎ ‎23. ，‎ ‎（1）若，解不等式 ‎（2）若对，使得不等式成立，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: B B B C A 6-10: D D A A B 11、12： B A 二、填空题 ‎13. 1 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.（1）由角成等差数列及得，‎ 设外接圆的半径为由正弦定理 ‎（2）由三边成等差数列得，所以，‎ 设内切圆半径为，面积为，则 所以 方法一：∵∴‎ ‎（取等号）‎ ‎∴所以（时取等号）‎ ‎∴（时取等，即三角形为正三角形时）‎ 方法二：‎ ‎∵，∴‎ ‎∴∴‎ ‎∴‎ ‎18.（1）‎ 证明：，其中是到平面的距离，（由条件及圆柱性质）即平面到的距离且为定值1‎ 由半圆性质所以 所以由均值不等式 要有因为等价于要有面 所以需要即可！‎ 注：1、不用均值不等式证明老师斟酌给分，若数形结合证明，只要说清楚了就给满分2、（等价说法：，面都可以！）‎ ‎（2）‎ 如图以为原点、为轴、为轴建坐标系作垂直于平面于，‎ 记 ‎ ‎ 平面法向量可取 设平面的法向量 ‎ ‎ 得可令 所以二面角平面角范围 ‎19.（1）完成表（一）；完成频率分布直方图 ‎30岁以下频率 以频率作为概率，估计2017年7月1日当日接待游客中30岁以下人数：‎ ‎（表一）‎ 年龄 频数 频率 男 女 ‎10‎ ‎0.1‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎[10,20)‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎[20,30)‎ ‎25‎ ‎0.25‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎[30,40)‎ ‎20‎ ‎0.2‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎[40,50)‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎[50,60)‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎[60,70)‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎[70,80)‎ ‎3‎ ‎0.03‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎[80,90)‎ ‎2‎ ‎0.02‎ ‎0‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎45‎ ‎55‎ ‎（2）完成表格 ‎50岁以上 ‎50岁以下 合计 男生 ‎5‎ ‎40‎ ‎45‎ 女生 ‎15‎ ‎40‎ ‎55‎ 合计 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ 所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关 ‎（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数：人，50岁以下人数8人取值可能0,1,2‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎20.（1）方法一：‎ 如图因为所以四边形是平行四边形 所以，‎ 由得 所以的轨迹是以为焦点的椭圆易知 ‎ 所以方程为 方法二：‎ 设由得 再得 移项 平方化简得：‎ ‎（从发现是椭圆方程也可以直接得 ，分档批阅老师自己把握）‎ ‎（2）设，过的斜率为的直线为，由直线与圆相切可得 即：‎ 由已知可知是方程（关于）的两个根，‎ 所以由韦达定理：‎ 两式相除：‎ 又因为所以 代入上式可得：即：为一个定值.‎ ‎21.（1）若 当单调递减；当单调递增 所以，得证 ‎（1）若，变形得到，‎ 令，得到 ‎，令，可得在单增，在单减，所以，‎ 在单减，当所以，∴‎ ‎（注：若令），得到 令，‎ ‎，所以在单减，在单增，所以，‎ 即在单增，当所以，∴‎ 下面再证明的极值存在且与无关：‎ ‎①,‎ 与无关.‎ ‎②‎ ‎（其中）所以且在处取极小值 因为，∴是关于的函数（与无关），‎ 所以也是关于（与无关）.‎ ‎22.‎ ‎（1）∵‎ 圆心（1,0）半径为3的圆 ‎（2）消去参数是一条恒过定点的直线（但不包括），当直线与圆心连线垂直时弦长最小，设圆心到直线的距离为，则，所以弦 ‎23.（1）‎ 当 或或 得或 ‎（2）∵使得不等式 ‎∴‎ 令 ‎∴由①得