专题05+函数的值域与最值（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习 17页

本专题特别注意：‎ ‎1.求值域时定义域陷阱；‎ ‎2.复合函数值域问题陷阱；‎ ‎3.隐含条件陷阱；‎ ‎4.抽象函数及其性质陷阱；‎ ‎5.抽象函数的隐含定义域问题陷阱；‎ ‎6.参数讨论陷阱；‎ ‎7.均值不等式求最值的三个条件；‎ ‎8.分段函数问题 ‎9.数形结合求值域问题 ‎10.函数实际应用 ‎【学习目标】‎ 理解函数的最大(小)值的概念及几何意义，熟练掌握基本初等函数的值域，掌握求函数的值域和最值的基本方法．‎ ‎【知识要点】‎ ‎1．函数的值域 函数f(x)的值域是函数值y的集合，记为{y|y＝f(x)，x∈A}，其中A为f(x)的定义域．‎ ‎2．常见函数的值域 ‎(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R．‎ ‎(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ 当a＞0时，值域为；‎ 当a＜0时，值域为.‎ ‎(3)反比例函数y＝(k≠0)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．‎ ‎(4)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的值域为(0，＋∞)．‎ ‎(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的值域为R．‎ ‎(6)正、余弦函数y＝sin x，y＝cos x的值域为[－1，1]；正切函数y＝tan x的值域为R．‎ ‎3．函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M：‎ ‎(1)若∀x∈I，f(x)≤M且∃x0∈I，f(x0)＝M，则称M为f(x)的最大值．‎ ‎(2)若∀x∈I，f(x)≥M且∃x0∈I，f(x0)＝M，则称M为f(x)的最小值．‎ 高考考点训练 一、单选题 ‎1．【山东、湖北部分重点中学2018届高考冲刺模拟】已知，记表示不超过的最大整数，如，则的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 方法总结：本题考查了函数的中心对称性，得到，从而可将函数的两个量转换为一个量的讨论，为整数时易得解，不为整数时，设为整数加小数部分的结构代入即可.‎ ‎2．【山西省运城市2018期中考试试题】已知函数, ，若对,，使成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得“对,，使成立”等价于“”．‎ ‎∵，当且仅当时等号成立．‎ ‎∴．‎ 在中，由，解得．‎ 方法总结：‎ ‎（1）对于求或型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如的函数只有最小值，形如的函数既有最大值又有最小值．‎ ‎（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解．‎ ‎3．【江西省2018届高三质量监测】函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数 为“成功函数”.若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 方法总结：本题以新定义为背景考查方程解的个数问题，利用变量分离的方法，把问题转化为两个图象的交点问题，通过换元的手段把问题归结为二次函数的图象与性质问题.‎ ‎4．设m∈Z，对于给定的实数x，若x∈，则我们就把整数m叫做距实数x最近的整数，并把它记为{x}，现有关于函数f(x)＝x－{x}的四个命题：‎ ‎①f＝－；‎ ‎②函数f(x)的值域是；‎ ‎③函数f(x)是奇函数；‎ ‎④函数f(x)是周期函数，其最小正周期为1.‎ 其中，真命题的个数为(　　)‎ A. 1 B. 2‎ C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】①由函数 的定义可得 故错误；；‎ ‎②中，令 ‎ 所以②正确； ②中， ， ∴点 不是 的图象的对称中心；函数不是奇函数；‎ 故③错； ④中， 所以周期为1，故④正确；‎ 故答案为B.‎ ‎5．【2018北京市中关村月考试题】设是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足:‎ ‎①;②对任意,当时,恒有;‎ 那么称这两个集合“保序同构”,以下集合对不是“保序同构”的是 A. ‎ B. 或 C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎ 对任意 当 时，恒有，所以选项B是“保序同构”； 对于，存在函数 ‎ 满足： 对任意 当 时，恒有，所以选项C是“保序同构”； 前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D． 故选：D．‎ ‎【方法总结】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题．‎ ‎6．【郑州市2018学年期末考试】已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎7．若函数的值域是，则函数的值域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令,则t∈，‎ 则，‎ 易知在(0,1)单调递减，在单调递增.‎ 所以当t∈时，‎ t=1时，y有最小值为2‎ 当时， ，当时， .‎ 则函数的值域是.‎ 故选项为B. ‎ ‎8．【广东省中山市2018期末考试试题】若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎9．【湖南省衡阳县2018届高三12月联考数学】若函数的定义域与值域相同，则（ ）‎ A. -1 B. 1 C. 0 D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎10．【湖北省重点高中联考协作体】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ， ，已知函数，则函数的值域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】， 为奇函数， ‎ 函数化简得出： ，‎ ‎，， ‎ 当时， ，‎ 当时， ，‎ 当时， ， ‎ 函数的值域为，故选D.‎ ‎【方法总结】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的.‎ ‎11．【黑龙江省大庆第一中学2018学年第二次阶段测试】设函数 ， ，若对任意 ，都存在 ，使得 ，则实数 的最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 故选A 方法总结：本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，对任意 ，都存在 ，使得 ，转化为在上的值域是在上值域的子集.‎ ‎12．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎13．【】四川省成都市第七中学2018学年试题】函数的值域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数 ,即函数的值域为,故选A.‎ 二、填空题 ‎14．函数的值域为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的定义域为，则：‎ ‎，，，‎ 即函数的值域为.‎ ‎15．函数的最小值是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，函数是轴上的点与两定点距离之和，的最小值就是的最小值，由平面几何知识可知，若关于轴的对称点为，的最小值等于，即，，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查两点间距离公式及求最值问题，属于难题.求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.‎ ‎16．已知函数f（＋2）＝x＋2，则函数f（x）的值域为________.‎ ‎【答案】[0，＋∞）‎ ‎【解析】令＋2=t ,则,‎ ‎ ‎ ‎,‎ 在上单调递增, ,即函数f（x）的值域为.‎ ‎17．定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎18．已知函数 ，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题，则 ‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎19．【上海市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.‎ ‎（1）若函数，求实数和的值；‎ ‎（2）当时，若， ，求函数在闭区间 上的值域；‎ ‎（3）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.‎ ‎【答案】(1) (2) (3)见解析 ‎（3）由函数的值域为得， 的取值集合也为，当时， ，则，即. 由得，则函数是以为周期的函数，同理可得当时，函数是以为周期的函数.‎ 试题解析：（1）由得， 对恒成立，‎ 即对恒成立，则， ‎ 即. ‎ ‎（3）（证法一）由函数的值域为得， 的取值集合也为，‎ 当时， ，则，即. ‎ 由得，‎ 则函数是以为周期的函数. ‎ 当时， ，则，即. ‎ 即，则函数是以为周期的函数.‎ 故满足条件的函数为周期函数. ‎ ‎（证法二）由函数的值域为得，必存在，使得，‎ 当时，对，有，‎ 对，有，则不可能；‎ 当时，即， ，‎ 由的值域为得，必存在，使得，‎ 仿上证法同样得也不可能，则必有 ，以下同证法一. ‎ ‎20．【安徽省宿州市汴北三校联考2018届高三期中考试试题】已知是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）若，求的值;‎ ‎（2）若是函数的一个零点，求函数在区间的值域.‎ ‎【答案】（1）a=1，b=2；（2）[-7.5,-3].‎ ‎【解析】试题分析：（1）由奇函数定义域关于原点对称得(b-3)+(b-1)=0，解得b=2，再由可得；‎ ‎（2）由是函数的一个零点，得a=-2，进而得函数单调性，由单调性求值域即可.‎ 方法总结：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好三个问题：‎ ‎（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；‎ ‎（2）f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式；‎ ‎（3）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.‎ ‎21．（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）已知实数满足，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将函数转化为动点到两定点距离的和，根据平面几何知识，利用两点间距离公式求解即可；（2）将问题转化为直线与有公共点，利用圆心到直线的距离与半径的关系，列不等式求解即可.‎ ‎【方法总结】求函数值域的常用方法：①单调性法，②配方法，③分离常数法，④数形结合法，⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，⑥判别式法，⑦不等式法，⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域；对于二元函数的值域问题，其解法要针对具体题目的条件而定．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．‎