数学理卷·2018届四川省遂宁市高三一诊考试（2018 9页

遂宁市高中2018届一诊考试 数学（理科）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题，满分60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。‎ ‎2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎3．考试结束后，将答题卡收回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎2．已知复数，若，则复数z的共轭复数 A. B. C. D. ‎ ‎3．“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4．已知随机变量服从正态分布，若，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎5．已知满足，则 A. B. C. D. ‎ ‎6．执行如图所示的程序，若输入的，‎ 则输出的所有的值的和为 A．243　　　　‎ B．363　　　　‎ C．729　　　　‎ D．1092‎ ‎7．要排出某理科班一天中语文、数学、物理、‎ 英语、生物、化学6堂课的课程表，要求 语文课排在上午(前4节)，生物课排在下午 ‎(后2节)，不同排法种数为 A．144 B．192 C．360 D．720‎ ‎8．若且函数在处有极值，则 的最大值等于 A．121 B．144 C．72 D．80‎ ‎9．已知数列的前项和为，若为函数的最大值，且满足，则数列的前2018项之积 A．1 B． C． D．2‎ ‎10．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 A．2 B. C. D. ‎ ‎11．已知O为△ABC的外心，A为锐角且，若，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎12．定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围 A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）‎ 注意事项：‎ ‎1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。‎ ‎2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设，满足约束条件，则目标函数的最小值是 ▲ .‎ ‎14．二项式的展开式中常数项为 ▲ . （用数字表达）‎ ‎15．已知点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为 ▲ .‎ ‎16．设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为 ▲ .‎ 三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，向量，满足条件⊥‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎▲‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数，在中，角，，的对边分别为，，‎ ‎（1）当时，求函数的取值范围；‎ ‎（2）若对任意的都有，，点是边的中点，求的值.‎ ‎▲‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎1993年，国际数学教育委员会（ICMI）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表：（单位：人）‎ 几何题 代数题 总计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？‎ ‎（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；‎ ‎（3）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.‎ 附表及公式 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎▲‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设椭圆的离心率，左焦点为，右顶点为，过点的直线交椭圆于两点，若直线垂直于轴时，有 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线：上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.‎ ‎▲‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ‎（1）若，求曲线在点处的切线；‎ ‎（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎▲‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.‎ ‎▲‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知函数 ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若 , 判断与的大小关系并证明.‎ ‎▲‎ 遂宁市高中2018届一诊考试 数学（理科）试题参考答案及评分意见 一、选择题（12×5=60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B C B A D B C A A D D 二、填空题（45=20分）‎ ‎13．-1514．-160 15. 16．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）∵⊥,∴, …………2分 当时，，‎ 当时，满足上式，∴…………6分 ‎（2）‎ 两边同乘，‎ 得，两式相减得： …………8分，‎ ‎． …………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1），‎ ‎…………2分 当时，，，‎ 所以；…………6分 ‎（2）由对任意的都有得：‎ ‎.‎ ‎ 又 ‎…………8分 ‎，…………10分 所以.…………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）由表中数据得的观测值 所以根据统计有97.5%和空间能力与性别有关. …………3分 ‎（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为分钟，则基本事件满足的区域为 ‎，如图所示 ‎ 设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为 由几何概型，得，即乙比甲先解答完的概率为 ‎…………7分 ‎（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有种；恰有一人被抽到有；两人都被抽到有种.‎ 可能取值为0,1,2，，，‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 所以． …………12分 ‎20本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）设，因为所以有，又由得，‎ 且，得，因此椭圆的方程为：…4分 ‎（2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得， …………6分 解得，或.‎ 由点异于点，‎ 可得点.由，可得直线的方程为 ‎，令，‎ 解得，故. …………9分 所以.‎ 又因为的面积为，故，‎ 整理得，解得，所以.‎ 所以，直线的方程为，或.………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】已知函数.‎ ‎（1）当时，，，‎ ‎，，‎ 则切线为：，即. …………3分 ‎（2），‎ 由定义域内为增函数，所以在上恒成立，‎ 所以即，对任意恒成立，‎ 设 易知，在上单调递增，在上单调递减，‎ 则，所以，即. …………7分 ‎（3）设函数，，‎ 则原问题在上至少存在一点，‎ 使得.‎ ‎， …………8分 当时，，则在上单调递增，‎ ‎，舍；‎ 当时，，‎ ‎∵，∴，，，则，舍；‎ 当时，，‎ 则在上单调递增，，‎ 整理得， …………11分 综上，. …………12分 请考生在第22、23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（1）∵圆的极坐标方程为，‎ ‎∴，‎ 又∵，，， …………5分 ‎∴，‎ ‎∴圆的普通方程为；‎ ‎（2）设，‎ 故圆的方程，‎ ‎∴圆的圆心是，半径是，‎ 将代入得，‎ 又∵直线过，圆的半径是，‎ ‎∴，∴，即的取值范围是.……10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（1）因为，所以. ‎ ‎① 当时，得，解得，所以; ‎ ‎② 当时，得，解得，所以;‎ ‎③ 当时，得，解得，所以; ‎ 综上所述，实数的取值范围是. …………5分 ‎（2） ，因为,‎ 所以 ‎…………10分