2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§11-3　条件概率、二项分布及正态分布（试题部分） 13页

‎§11.3　条件概率、二项分布及正态分布 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点一　条件概率、相互独立事件及二项分布 ‎1.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为‎1‎‎2‎,两次闭合后都出现红灯的概率为‎1‎‎5‎,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎10‎　　　B.‎1‎‎5‎　　　C.‎2‎‎5‎　　　D.‎‎1‎‎2‎ 答案　C ‎2.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为‎2‎‎3‎和‎3‎‎4‎,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　)‎ A.‎3‎‎4‎　　　B.‎2‎‎3‎　　　C.‎5‎‎7‎　　　D.‎‎5‎‎12‎ 答案　D ‎3.“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎27‎　　　B.‎2‎‎27‎　　　C.‎2‎‎81‎　　　D.‎‎8‎‎81‎ 答案　B ‎4.某个部件由三个元件按如图所示的方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎5‎　　　B.‎1‎‎2‎　　　C.‎3‎‎5‎　　　D.‎‎3‎‎8‎ 答案　D ‎5.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为(　　)‎ A.400　　　B.300　　　C.200　　　D.100‎ 答案　C ‎6.某次考试共有12个选择题,每个选择题的分值为5分,每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的,A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握,最后选择题的得分为X分,B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的,对其他三个选项都没有把握,最后选择题的得分为Y分,则D(Y)-D(X)=(　　)‎ A.‎125‎‎12‎　　　B.‎35‎‎12‎　　　C.‎27‎‎4‎　　　D.‎‎23‎‎4‎ 答案　A ‎7.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.当已知蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎12‎ 考点二　正态分布 ‎8.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X~N(800,502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为(　　)‎ ‎(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ0).若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,则ξ在(1,2)内取值的概率为(　　)‎ A.0.2　　　B.0.1　　　C.0.8　　　D.0.4‎ 答案　D ‎11.已知随机变量x服从正态分布N(3,σ2),且P(x≤4)=0.84,则P(2P(X=k+1),‎P(X=k)>P(X=k-1),‎ 得‎0.522 75C‎10 000‎k>0.477 25C‎10 000‎k+1‎,‎‎0.477 25C‎10 000‎k>0.522 75C‎10 000‎k-1‎,‎ 解得k=4 772.‎ 故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大.‎ 解题关键　对于(2),得出X服从B(10 000,0.477 25)是解题的关键.‎ 综合篇知能转换 ‎【综合集训】‎ 考法一　独立重复试验及二项分布问题的求解方法 ‎1.(2018山东潍坊模拟,6)某篮球队对队员进行考核,规则是:①每人进行3个轮次的投篮;②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过,已知队员甲投篮1次投中的概率为‎2‎‎3‎,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(　　)‎ A.3　　　B.‎8‎‎3‎　　　C.2　　　D.‎‎5‎‎3‎ 答案　B ‎2.(2018福建厦门二模,6)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)‎ A.‎2‎‎5‎　　　B.‎3‎‎5‎　　　C.‎18‎‎125‎　　　D.‎‎54‎‎125‎ 答案　D ‎3.(2018广东珠海一中等六校第一次联考)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为‎1‎‎3‎,出现1的概率为‎2‎‎3‎.若启动一次出现的数字为A=10101,则称这次试验成功,若成功一次得2分,失败一次得-1分,则100次独立重复试验的总得分X的方差为　　　　. ‎ 答案　‎‎30 800‎‎729‎ ‎4.(2019河北模拟,19)某种植户对一块地的n(n∈N*)个坑进行播种,每个坑播种3粒种子,每粒种子发芽的概率均为‎1‎‎2‎,且每粒种子是否发芽相互独立,对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.‎ ‎(1)当n取何值时,有3个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?‎ ‎(2)当n=4时,用X表示要补播种的坑的个数,求X的分布列与数学期望.‎ 解析　(1)对于一个坑而言,要补播种的概率为‎1‎‎2‎‎3‎+C‎3‎‎1‎‎1‎‎2‎‎3‎=‎1‎‎2‎.有3个坑需要补播种的概率为Cn‎3‎×‎1‎‎2‎n,要使Cn‎3‎×‎1‎‎2‎n最大,只需Cn‎3‎‎1‎‎2‎n‎≥Cn‎2‎‎1‎‎2‎n,‎Cn‎3‎‎1‎‎2‎n‎≥Cn‎4‎‎1‎‎2‎n,‎解得5≤n≤7,∵n∈N*,故n=5,6,7.‎ ‎(2)n=4时,要补播种的坑的个数X的所有可能的取值为0,1,2,3,4,X~B‎4,‎‎1‎‎2‎,P(X=0)=C‎4‎‎0‎‎1‎‎2‎‎4‎=‎1‎‎16‎,P(X=1)=C‎4‎‎1‎×‎1‎‎2‎‎4‎=‎1‎‎4‎,P(X=2)=C‎4‎‎2‎‎1‎‎2‎‎4‎=‎3‎‎8‎,P(X=3)=C‎4‎‎3‎‎1‎‎2‎‎4‎=‎1‎‎4‎,P(X=4)=C‎4‎‎4‎‎1‎‎2‎‎4‎=‎1‎‎16‎.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1‎‎16‎ ‎1‎‎4‎ ‎3‎‎8‎ ‎1‎‎4‎ ‎1‎‎16‎ 因为X~B‎4,‎‎1‎‎2‎,所以E(X)=4×‎1‎‎2‎=2.‎ ‎5.(2020届辽宁阜新中学10月月考,18)某市政府为了节约生活用电,计划在本市试行居民生活用电定额管理,即确定一户居民月用电量标准a,用电量不超过a的部分按平价收费.超出a的部分按议价收费,为此,政府调查了100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图所示,用电量在[240,260)的居民户数比用电量在[160,180)的居民户数多11户.‎ ‎(1)求直方图中x,y的值;‎ ‎(2)①用样本估计总体,如果希望至少85%的居民用电量低于标准,求月用电量的最低标准应定为多少度,并说明理由;‎ ‎②若将频率视为概率,现从该市所有居民中随机抽取3户,其中月用电量低于①中最低标准的居民户数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).‎ 解析　(1)由题意,得 ‎(x+0.009 5+0.010 0+0.013 5+y+0.005 0+0.002 5)×20=1,‎‎100×(y-x)×20=11,‎ 所以x=0.002 0,‎y=0.007 5.‎ ‎(2)①样本中月用电量不低于260度的居民户数为(0.005 0+0.002 5)×20×100=15,占样本总量的15%,用样本估计总体,要保证至少85%的居民月用电量低于标准,故最低标准应定为260度.‎ ‎②将频率视为概率,设A(单位:度)代表居民月用电量,易知P(A<260)=‎17‎‎20‎,由题意得,ξ~B‎3,‎‎17‎‎20‎,‎ P(ξ=i)=C‎3‎i‎17‎‎20‎i‎3‎‎20‎‎3-i(i=0,1,2,3).‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎27‎‎8 000‎ ‎459‎‎8 000‎ ‎2 601‎‎8 000‎ ‎4 913‎‎8 000‎ 所以E(ξ)=0×‎27‎‎8 000‎+1×‎459‎‎8 000‎+2×‎2 601‎‎8 000‎+3×‎4 913‎‎8 000‎=2.55.‎ 或由ξ~B‎3,‎‎17‎‎20‎及二项分布的期望公式可得E(ξ)=3×‎17‎‎20‎=2.55‎ 考法二　正态分布问题的解题方法 ‎6.(2018山东淄博一模,5)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为(　　)‎ A.‎7‎‎3‎　　　B.‎5‎‎3‎　　　C.5　　　D.3‎ 答案　A ‎7.(2019河北冀州期末,4)已知随机变量ξ服从正态分布N(4,62),P(ξ≤5)=0.89,则P(ξ≤3)=(　　)‎ A.0.89　　　B.0.78　　　C.0.22　　　D.0.11‎ 答案　D ‎8.(2019江西南昌模拟,6)在某次高三联考数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>0),若ξ在(85,115)内的概率为0.75,则任意选取一名学生,该生成绩高于115分的概率为(　　)‎ A.0.25　　　B.0.1　　　C.0.125　　　D.0.5‎ 答案　C ‎9.(2019山西运城一模,19)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布,旨在保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位:小时)并绘制成如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);‎ ‎(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.‎ ‎①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若X~N(μ,σ2),令Y=X-μσ,则Y~N(0,1),且P(X≤a)=PY≤‎a-μσ,利用直方图得到的正态分布,求P(X≤10);‎ ‎②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的数学期望.‎ 参考数据:‎178‎≈‎40‎‎3‎,0.773 419≈0.007 6.若Y~N(0,1),则P(Y≤0.75)=0.773 4.‎ 解析　(1)x=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,‎ s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78.‎ ‎(2)①由题知μ=9,σ2=1.78,∴X~N(9,1.78),σ=‎1.78‎=‎178‎‎100‎≈‎4‎‎3‎.‎ ‎∴P(X≤10)=PY≤‎‎10-9‎‎4‎‎3‎=P(Y≤0.75)=0.773 4.‎ ‎②由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6,‎ 由题意得Z~B(20,0.226 6),P(Z≥2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)‎ ‎=1-0.773 420-C‎20‎‎1‎×0.226 6×0.773 419≈1-(0.773 4+20×0.226 6)×0.007 6≈0.959 7.‎ Z的数学期望E(Z)=20×0.226 6=4.532.‎ ‎【五年高考】‎ 考点一　条件概率、相互独立事件及二项分布 ‎1.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的‎1‎‎5‎,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为(　　)‎ A.150　　　B.200　　　C.300　　　D.400‎ 答案　C ‎5.(2020届山西大学附中第二次诊断,9)已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(01.75,则p的取值范围为(　　)‎ A.‎0,‎‎1‎‎2‎　　　B.‎0,‎‎7‎‎12‎　　　C.‎1‎‎2‎‎,1‎　　　D.‎‎7‎‎12‎‎,1‎ 答案　A ‎6.(2020届广东深圳七中第二次月考,5)某班有60名学生,一次考试后数学成绩符合ξ~N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为(　　)‎ A.10　　　B.9　　　C.8　　　D.7‎ 答案　B ‎7.(2020届广东广州执信中学10月月考,5)社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为‎3‎‎5‎和‎2‎‎3‎,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为(　　)‎ A.‎3‎‎5‎　　　B.‎2‎‎15‎　　　C.‎13‎‎15‎　　　D.‎‎8‎‎15‎ 答案　C 二、多项选择题(每题5分,共10分)‎ ‎8.(改编题)下列对各事件发生的概率判断正确的是(　　)‎ A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是‎1‎‎3‎,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为‎4‎‎27‎ B.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为‎1‎‎5‎,‎1‎‎3‎,‎1‎‎4‎,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为‎2‎‎5‎ C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为‎1‎‎2‎ D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为‎1‎‎9‎,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是‎2‎‎9‎ 答案　AC ‎9.(改编题)已知随机变量X~B(2,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.64,P(04)=0.1　　　　　D.P(Y>4)=0.3‎ 答案　AC 三、填空题(每题5分,共15分)‎ ‎10.(2020届湖北十堰二中月考,13)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X≤4)=0.88,则P(0182)=P(Y>195-13)=1-‎1-0.682 6‎‎2‎=0.841 3,‎ ‎0.841 3×2 000=1 682.6≈1 683(人).‎ ‎∴预估全年级恰好有2 000名学生时,正式测试每分钟跳182个以上的人数为1 683.‎ ‎②由Y服从正态分布N(195,132)知,全年级所有学生中任意选取1人,每分钟跳195个以上的概率为0.5,‎ 易得ξ~B(3,0.5),∴P(ξ=0)=C‎3‎‎0‎(1-0.5)3=0.125,P(ξ=1)=C‎3‎‎1‎0.5×(1-0.5)2=0.375,‎ P(ξ=2)=C‎3‎‎2‎0.52×(1-0.5)=0.375,P(ξ=3)=C‎3‎‎3‎0.53=0.125,‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.125‎ ‎0.375‎ ‎0.375‎ ‎0.125‎ E(ξ)=3×0.5=1.5.‎ ‎15.(2019北京朝阳二模,16)某电视台举行文艺比赛,并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分,场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如下表:‎ 专家 A B C D E 评分 ‎9.6‎ ‎9.5‎ ‎9.6‎ ‎8.9‎ ‎9.7‎ 场外有数万名观众参与评分,将评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组,绘成频率分布直方图如图.‎ ‎(1)求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9分的概率;‎ ‎(2)从5名专家中随机选取3人,X表示评分不小于9分的人数;从场外观众中随机选取3人,用频率估计概率,Y表示评分不小于9分的人数;试求E(X)与E(Y)的值;‎ ‎(3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分:‎ 方案一:用所有专家与观众的评分的平均数x作为该选手的最终得分;‎ 方案二:分别计算专家评分的平均数x‎1‎和观众评分的平均数x‎2‎,用x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎作为该选手的最终得分.‎ 请直接写出x与x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎的大小关系.‎ 解析　(1)由题图知a=1-0.2-0.5=0.3,某场外观众评分不小于9分的概率是‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)X的可能取值为2,3.P(X=2)=C‎4‎‎2‎C‎1‎‎1‎C‎5‎‎3‎=‎3‎‎5‎;P(X=3)=C‎4‎‎3‎C‎5‎‎3‎=‎2‎‎5‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ P ‎3‎‎5‎ ‎2‎‎5‎ 所以E(X)=2×‎3‎‎5‎+3×‎2‎‎5‎=‎12‎‎5‎.由题意可知,Y~B‎3,‎‎1‎‎2‎,所以E(Y)=np=‎3‎‎2‎.(3)x