数学文卷·2018届湖南师大附中高二上学期期末考试（2017-01） 11页

湖南师大附中 2016－2017 学年度高二第一学期期末考试 文 科 数 学 命题人：高二文科数学备课组 (内容： 必修 3，选修 1－1，选修 1－2，选修 4－4) 时量：120 分钟 满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50 分(必考试卷Ⅱ) 得分：____________ 必考试卷Ⅰ(满分 100 分) 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数－i＋1 i ＝ A．－2i B.1 2i C．0 D．2i 2．下列选项叙述错误的是 A．命题“若 x≠1，则 x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1” B．若命题 p： x∈R，x2＋x＋1≠0，则綈 p： x0∈R，x20＋x0＋1＝0 C．若 p∨q 为真命题，则 p，q 均为真命题 D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件 3．若商品的年利润 y(万元)与年产量 x(百万件)的函数关系式：y＝－x3＋27x＋123(x>0)， 则获得最大利润时的年产量为 A．1 百万件 B．2 百万件 C．3 百万件 D．4 百万件 4．“k>4”是“方程 x2 k－4 ＋ y2 10－k ＝1 表示焦点在 x 轴上的双曲线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则 y＝f(x)的图象可能为 6．在△ABC 的边 AB 上随机取一点 P，记△CAP 和△CBP 的面积分别为 S1 和 S2，则 S1>2S2 的概率是 A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 5 7．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第 3 项是 A．870 B．30 C．6 D．3 8．在某次测量中得到的 A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88. 若 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所得的数据，则 A，B 两样本的下列数字特征对应 相同的是 A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差 9．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 的一个焦点与抛物线 y2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 5，则该双曲线的方程为 A．5x2－4y2 5 ＝1 B.x2 5 －y2 4 ＝1 C.y2 5 －x2 4 ＝1 D．5x2－5y2 4 ＝1 10．设函数 f(x)＝1 3x3－a 2x2＋2x＋1，若 f(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实 数 a 的取值范围是 A．(2 2，＋∞) B．[2 2，＋∞) C．(－∞，－2 2) D．(－∞，－2 2] 答题卡 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 答 案 二、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填在答题卷对应题 号后的横线上． 11．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时，应假设 ________________． 12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样 本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要 从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在[2 500，3 000](元)月收入 段应抽出________人． 13．对于定义域为 R 的函数 f(x)，若函数 f(x)在(－∞，x0)和(x0，＋∞)上均有零点，则 称 x0 为函数 f(x)的一个“给力点”．现给出下列四个函数： ①f(x)＝3|x－1|＋1 2 ；②f(x)＝2＋lg|x－1|；③f(x)＝x3 3 －x－1；④f(x)＝x2＋ax－1(a∈R)．则 存在“给力点”的函数是________．(填序号) 三、解答题：本大题共 3 小题，共 35 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．(本小题满分 11 分) 已知曲线 C 的极坐标方程是ρ－6cos θ＋2sin θ＋1 ρ ＝0，以极点为平面直角坐标系的 原点，极轴为 x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l 经过点 P(3，3)，倾斜角α＝π 3 . (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； (2)设 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|AB|的值． 15.(本小题满分 12 分) 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对 30 名小学生进行了问卷调查得 到如下列联表：(平均每天喝 500 ml 以上为常喝，体重超过 50 kg 为肥胖) 常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18 合计 30 已知在全部 30 人中随机抽取 1 人，抽到肥胖的学生的概率为 4 15. (1)请将上面的列联表补充完整； (2)是否有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由； (3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(其中有 2 名女生)，抽取 2 人参加竞技运动，则正 好抽到一男一女的概率是多少？ 附参考数据： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式：K2＝ n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中 n＝a＋b＋c＋d) 16.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2＝2px(p>0)于 点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交抛物线 C 于点 H. (1)求|OH| |ON| ； (2)除 H 以外，直线 MH 与抛物线 C 是否有其他公共点？说明理由． 必考试卷Ⅱ(满分 50 分) 一、选择题：本大题共 1 个小题，每小题 5 分，共 5 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 17．已知函数 f(x)＝x2＋xsin x＋cos x 的图象与直线 y＝b 有两个不同交点，则 b 的取值 范围是( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 二、填空题：本大题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分．请把答案填在答题卷对应题 号后的横线上． 18．如图，已知 F1，F2 是椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上， 线段 PF2 与圆 x2＋y2＝b2 相切于点 Q，且点 Q 为线段 PF2 的中点，则椭圆 C 的离心率为 ________． 19．把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶 数，得到如图乙所示三角形数阵，设 ai j 为图乙三角形数阵中第 i 行第 j 个数，若 amn＝2 017， 则实数对(m，n)为____________． 三、解答题：本大题共 3 小题，共 35 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．(本小题满分 10 分) 设 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相交于 点(0，6)． (1)确定 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值． 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的右焦点为 F，A 为短轴的一个端点且|OA|＝|OF|＝ 2(其中 O 为坐标原点)． (1)求椭圆的方程； (2)若 C、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 M 满足 MD⊥CD，连接 CM，交椭圆 于点 P，试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q，使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP、MQ 的交点，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由． 22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)＝1 2x2，g(x)＝aln x. (1)设 h(x)＝f(x)＋g(x)，若对任意两个不等的正数 x1，x2，都有h（x1）－h（x2） x1－x2 >0 恒成 立，求实数 a 的取值范围； (2)若在[1，e]上存在一点 x0，使得 f′(x0)＋ 1 f′(x0)0，不存在“给力点”；对于②，取 x0＝ 1，f (x)在(－1，1)上有零点 x＝ 99 100 ，在(1，＋∞)上有零点 x＝101 100 ，所以 f (x)存在“给力点” 为 1； 对于③，f′(x)＝(x＋1)(x－1)，易知 f(x)只有一个零点． 对于④，f(x)＝x2＋ax－1(a∈R)定义域为 R，因为判别式 a2＋4>0，则一定存在“给力 点”．综上可得，②④正确． 三、解答题：本大题共 3 小题，共 35 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．【解析】(1)曲线 C 化为：ρ2－6ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，再化为直角坐标方程为 x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，化为标准方程是(x－3)2＋(y＋1)2＝9， 直线 l 的参数方程为 x＝3＋tcosπ 3 y＝3＋tsinπ 3 .(t 为参数)(5 分) (2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程， 整理得：t2＋4 3t＋7＝0， Δ＝(4 3)2－4×7＝20>0，则 t1＋t2＝－4 3，t1·t2＝7， 所以|AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1·t2＝ 48－28＝2 5.(11 分) 15．【解析】(1)设常喝碳酸饮料中肥胖的学生有 x 人，由x＋2 30 ＝ 4 15 ，即得 x＝6.(2 分) 补充列联表如下： 常喝 不常喝 合计 肥胖 6 2 8 不胖 4 18 22 合计 10 20 30 (5 分) (2)由已知数据可求得：K2＝30（6×18－2×4）2 10×20×8×22 ≈8.523>7.879， 因此有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(8 分) (3)设常喝碳酸饮料的肥胖者中男生为 A、B、C、D，女生为 E、F，则任取两人有 AB， AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共 15 种基本事件． 设抽中一男一女为事件 A，事件 A 含有 AE，AF，BE，BF，CE，CF, DE，DF 这 8 个 基本事件．故抽出一男一女的概率是 p＝ 8 15.(12 分) 16．【解析】(1)由已知得 M(0，t)，P t2 2p ，t .(2 分) 又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N t2 p ，t ，(3 分) 所以 ON 的方程为 y＝p tx，(4 分) 代入 y2＝2px 整理得 px2－2t2x＝0，解得 x1＝0，x2＝2t2 p ，(5 分) 因此 H 2t2 p ，2t .(6 分) 所以 N 为 OH 的中点，即|OH| |ON| ＝2.(8 分) (2)直线 MH 与抛物线 C 除 H 以外没有其他公共点．(9 分) 直线 MH 的方程为 y－t＝p 2tx，(10 分) 即 x＝2t p(y－t)．代入 y2＝2px 得：y2－4ty＋4t2＝0， 解得 y1＝y2＝2t，(11 分) 即直线 MH 与抛物线 C 只有一个公共点， 所以除 H 以外直线 MH 与抛物线 C 没有其他公共点．(12 分) 必考试卷Ⅱ 一、选择题：本大题共 1 个小题，每小题 5 分，共 5 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 17．D 【解析】f′(x)＝x(2＋cos x)，令 f′(x)＝0，得 x＝0.∴当 x>0 时，f′(x)>0，f(x) 在(0，＋∞)上递增．当 x<0 时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为 f(0)＝ 1.∵函数 f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当 b>1 时，曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，b 的取值范围是(1，＋∞)． 二、填空题：本大题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分．请把答案填在答题卷对应题 号后的横线上． 18. 5 3 【解析】连接 PF1，QO，显然|OF1|＝|OF2|，由已知点 Q 为线段 PF2 的中点，则 PF1∥QO，故|PF1|＝2b，又根据椭圆的定义得：|PF2|＝2a－2b，在直角三角形 PF2F1 中，(2c)2 ＝(2b)2＋(2a－2b)2b a ＝2 3 e＝ 5 3 . 19．(45，41) 【解析】分析乙图，可得(1)第 k 行有 k 个数，则前 k 行共有k（k＋1） 2 个 数；(2)第 k 行最后一个数为 k2；(3)每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大 1；(4) 从第二行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为 2 的等差数列．又 442＝1 936，452 ＝2 025，则 442<2 017<452，则 2 017 出现在第 45 行，第 45 行第 1 个数是 442＋1＝1 937， 这行中第2 017－1 937 2 ＋1＝41 个数为 2 017，前 44 行共有44×45 2 ＝990 个数，则 2 017 为第 990＋41＝1 031 个数，则实数对(m，n)为(45，41)． 三、解答题：本大题共 3 小题，共 35 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．【解析】(1)因为 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，所以 f′(x)＝2a(x－5)＋6 x. 令 x＝1，得 f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a， 所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－16a＝(6－8a)(x－1)， 由点(0，6)在切线上，可得 6－16a＝8a－6，故 a＝1 2.(4 分) (2)由(1)知，f(x)＝1 2(x－5)2＋6ln x(x>0)，f′(x)＝x－5＋6 x ＝（x－2）（x－3） x . 令 f′(x)＝0，解得 x＝2 或 3.(6 分) 当 03 时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数； 当 20， 设 x1>x2，则 h(x1)－h(x2)>0，问题等价于函数 h(x)＝f(x)＋g(x)＝1 2x2＋aln x 在(0，＋∞)上 为增函数．(2 分) 所以 h′(x)＝x＋a x ≥0 在(0，＋∞)上恒成立，即 a≥－x2 在(0，＋∞)上恒成立．∵－x2<0， 所以 a≥0，即实数 a 的取值范围是[0，＋∞)．(6 分) (2)不等式 f′(x0)＋ 1 f′(x0)0，所以 x＋1>0，即令 m′(x)＝0，得 x＝1＋a. ①当 1＋a≤1，即 a≤0 时，m (x)在[1，e]上单调递增， 只需 m(1)＝2＋a<0，解得 a<－2.(9 分) ②当 1<1＋ae2＋1 e－1 . 综上所述，实数 a 的取值范围是(－∞，－2)∪ e2＋1 e－1 ，＋∞ .(13 分)