专题4-7 正弦定理和余弦定理的应用（练）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 9页

A 基础巩固训练 ‎1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是(　　)‎ A．α>β　　　　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据仰角和俯角的概念，可知.‎ ‎2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ A．北偏东15° B．北偏西15°‎ C．北偏东10° D．北偏西10°‎ ‎【答案】B ‎3. 要测量顶部不能到达的电视塔的高度, 在点测得塔顶的仰角是,在点测得塔顶的仰角是,并测得水平面上的，则电视塔的高度为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎4．两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都为a，灯塔A在C的北偏东‎30°‎，B在C的南偏东‎60°‎，则A,B两灯塔之间距离为( )‎ A. ‎2a B. ‎3‎a C. ‎2‎a D. ‎a ‎【答案】C ‎【解析】根据题意画出图形，如图所示：‎ 易得∠ACB=90°，AC=BC=a.‎ 在△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=2a2，‎ 所以AB=‎2‎a（km）.‎ 故选C . ‎ ‎5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进‎100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)‎ A．‎50 m B．‎‎100 m C．‎120 m D．‎‎150 m ‎【答案】A ‎ B能力提升训练 ‎1．如下图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是(　　)‎ A．c和α B．c和b C．c和β D．b和α ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据直角三角形的特征，只要知道一条边和一个夹角即可求出河宽.‎ ‎2．甲船在岛A的正南B处，以每小时‎4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时‎6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(　　)‎ A. 分钟 B. 分钟 C．21.5 分钟 D．2.15小时 ‎【答案】A ‎【解析】如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.‎ 当t＝时，DC2最小，DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．‎ ‎3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是(　　)‎ A．35海里 B．35海里 C．35海里 D．70海里 ‎【答案】D ‎4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　　)‎ A．1 B．2sin10°‎ C．2cos10° D．cos20°‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.‎ 在△ABD中，由正弦定理＝，‎ ‎∴AD＝AB·＝＝2cos10°. ‎ ‎5．【2017山西三区八校二模】为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求， 的长度大于1米，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，则最短为（ ）‎ A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 ‎【答案】D C思维扩展训练 1. 如图：D， C，B三点在地面同一直线上，DC＝，从C，D两点测得A点仰角分别是，()，则A点离地面的高度AB等于 ( ) ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以.‎ ‎2.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进‎100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)‎ A．‎50 m B．‎‎100 m C．‎120 m D．‎‎150 m ‎【答案】A ‎【解析】　设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.‎ ‎3.【2017安徽马鞍山二模】在边长为2的正三角形的边上分别取两点，点关于线段的对称点正好落在边上，则长度的最小值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎4.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若,则的最大值 .‎ ‎【答案】‎ ‎5. 【2018届江苏海安上学期第一次测试】如图，已知AB是一幢6层的写字楼，每层高均为3m，在AB正前方36m处有一建筑物CD，从楼顶A处测得建筑物CD的张角为‎45‎‎0‎.‎ ‎（1）求建筑物CD的高度；‎ ‎（2）一摄影爱好者欲在写字楼AB的某层拍摄建筑物CD.已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果（不计人的高度）？‎ ‎【答案】(1)30米;(2) 当n=6‎时，张角‎∠CMD最大，拍摄效果最佳. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先作AE⊥CD于E，构造直角三角形DAE，然后运用两角差的正切公式求出tan∠CAE，再求出CE=36tan∠CAE；（2）先依据题设求出tan∠CMN，tan∠DMN，然后建立目标函数tan∠CMD=‎‎120‎n‎2‎‎-12n+155‎，通过求函数的最值使得问题获解：‎ ‎ ‎